5.拓撲學
1736年，歐拉發表論文，討論哥尼斯堡七橋問題。18世紀在哥尼斯堡城（今俄羅斯加裏寧格勒）的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結，如圖1所示。
城中的居民經常沿河過橋散步，於是提出了一個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋隻許通過一次，最後仍回到起始地點。這就是七橋問題，一個著名的圖論問題。
這個問題看起來似乎不難，但人們始終沒有能找到答案，最後問題提到了大數學家歐拉那裏。
歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D 4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖2所示。
於是“七橋問題”就等價於圖3中所畫圖形的一筆畫問題了。歐拉注意到，每個點如果有進去的邊就必須有出來的邊，從而每個點連接的邊數必須有偶數個才能完成一筆畫。圖3的每個點都連接著奇數條邊，因此不可能一筆畫出，這就說明不存在一次走遍7座橋，而每座橋隻許通過一次的走法。
龐加萊（1954-1912），法國人，是19世紀後期的領袖數字家，被稱為“最後一位數學天才”。給後人留下了著名的“龐加萊猜想”。
歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓撲學的研究提供了一個初等的例子。
龐加萊於1895-1904年建立了拓撲學，采用代數組合的方法研究拓撲性質。他把歐拉公式推廣為歐拉—龐加萊公式，與此有關的理論現在稱為同調理論和同倫理論。以後的拓撲學主要按照龐加萊的設想發展。
拓撲學開始是幾何學的一個分支，在20世紀得到了極大的推廣。1906年，弗雷歇發表博士論文，把函數作為一個“點”來看，把函數收斂描繪成點的收斂，這就把康托的點集論和分析學的抽象化聯係起來了。他在函數所構成的集合中引入距離的概念，構成距離空間，展開了線性距離空間的理論。在這個基礎上，產生了點集拓撲學。在豪斯道夫的《點集論綱要》一書中，出現了更一般的點集拓撲學的完整想法。第二次世界大戰後，把分析引進拓撲，發展了微分拓撲。
現在的拓撲學可以粗略地定義為對於連續性的數學研究。任何事物的集合都能在某種意義上構成拓撲空間，拓撲學的概念和理論已基本成為數學的基礎理論之一，滲入到各個分支，並且成功地應用於電磁學和物理學的研究。
分析學範疇
1.微積分
所謂微積分學是微分學和積分學的統稱，它是研究函數的導數、積分的性質和應用的一門數學分支學科。
微積分的出現具有劃時代意義，時至今日，它不僅成了學習高等數學各個分支必不可少的基礎，而且是學習近代任何一門自然科學和工程技術的必備工具。現在的微積分學的教程，通常的講授次序是先極限、再微分、後積分，這與其曆史發展順序正好相反。
在微積分曆史中，最初的問題是涉及計算麵積、體積和弧長的。阿基米德（公元前3世紀）的方法最接近於現行的積分法。在17世紀探索微積分的至少有十幾位大數學家和幾十位小數學家。牛頓和萊布尼茨分別進行了創造性的工作，各自獨立地跑完了“微積分這場接力賽的最後一棒”。
1609年，開普勒為了計算行星運動第二定律中包含的麵積，和在他的論文中討論的酒桶的體積，而借助了某種積分方法。1635年，卡瓦列利發表了一篇闡述不可分元法的論文，提出卡瓦列利原理，它是計算麵積和體積的有價值的工具。1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法係統化，並作了推廣。
微分起源於作曲線的切線和求函數的極大值或極小值問題。雖然它的起源最終可以追溯到古希臘，但是第一個真正值得世人注意的先驅工作，應該是費爾馬1629年陳述的概念。1669年，巴羅對微分理論做出了重要的貢獻，他用了微分三角形，很接近現代微分法。一般認為，他是充分地認識到微分法為積分法的逆運算的第一個人。
至此，還有什麼要做的呢？首要的是，創造一般的符號和一整套形式的解析規則，形成可以應用的微積分學，這項工作是由牛頓和萊布尼茨彼此獨立地做出的。接著的工作是在可接受的嚴格的基礎上，重新推導基本理論，這必須等到此課題想到多方麵應用之後。柯西和他的後繼者們完成了這一工作。