但是，射影幾何真正獨立的研究是由彭賽勒開創的。1822年，他發表了《論圖形的射影性質》一文，給該領域的研究以巨大的推動作用。他的許多概念被斯坦納進一步發展。1847年，斯陶特發表了《位置幾何學》一書，使射影幾何最終從測量基礎中解脫出來。
後來證明，采用度量適當的射影定義，能在射影幾何的範圍內研究度量幾何學。將一個不變二次曲線添加到平麵上的射影幾何中，就能得到傳統的非歐幾何學。在19世紀晚期和20世紀初期，對射影幾何學作了多種公設處理，並且有限射影幾何也被發現。事實證明，逐漸地增添和改變公設，就能從射影幾何過渡到歐幾裏得幾何，其間經曆了許多其他重要的幾何學。
3、解析幾何
解析幾何是中學生比較常見的一種，解析幾何即坐標幾何，包括平麵解析幾何和立體解析幾何兩部分。解析幾何通過平麵直角坐標係和空間直角坐標係，建立點與實數對之間的一一對應關係，從而建立起曲線或曲麵與方程之間的一一對應關係，因而就能用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題。
我們大家都能感覺到，在初等數學中，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支；在方法上，它們也基本是互不相關的。
而解析幾何的建立，不僅由於在內容上引入了變量的研究而開創了變量數學，而且在方法上也使幾何方法與代數方法結合起來。
就在迪沙格和帕斯卡開辟了射影幾何的同時，笛卡兒和費爾馬也在開始構思現代解析幾何的概念。這兩項研究之間存在一個根本區別：前者是幾何學的一個分支，而後者是幾何學的一種方法。
1637年，笛卡兒發表了《方法論》及其三個附錄，他對解析幾何的貢獻，就在第三個附錄《幾何學》中，他提出了幾種由機械運動生成的新曲線。在《平麵和立體軌跡導論》中，費爾馬解析地定義了許多新的曲線。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開始，然後求它的方程；費爾馬則從方程出發，然後來研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方麵，“解析幾何”的名稱是以後才定下來的。
這門課程達到現在課本中我們熟悉的形式，是100多年以後的事。像今天這樣使用坐標、橫坐標、縱坐標這幾個術語，是於1692年提出的。1733年，年僅18歲的克雷洛出版了《關於雙重曲率曲線的研究》一書，這是最早的一部空間解析幾何著作。1748年，寫的《無窮分析概要》，可以說是符合現代意義的第一部解析幾何學教程。1788年，開始研究有向線段的理論。1844年，格拉斯曼提出了多維空間的概念，並引入向量的記號。於是多維解析幾何出現了。
解析幾何在近代的發展，產生了無窮維解析幾何和代數幾何等一些分支。普通解析幾何隻不過是代數幾何的一部分，而代數幾何的發展同抽象代數有著密切的聯係。
4、非歐幾何
一般來說，非歐幾何包括三種不同的含義：狹義的，單指羅氏幾何；廣義的，泛指一切和歐氏（歐幾裏得）幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。
歐幾裏得的第五公設（平行公設）在數學史上占有特殊的地位，它與前4條公設相比，性質顯得太複雜了。它在《幾何原本》中第一次應用是在證明第29個定理時，而且此後似乎總是盡量避免使用它。因此人們懷疑第五公設的公理地位，並探索用其他公理來證明它，以使它變為一條定理。在三千多年的時間中，進行這種探索並有案可查的就達兩千人以上，其中包括許多知名的數學家，但他們都失敗了。
羅巴契夫斯基於1826年，鮑耶於1832年分別發表了劃時代的研究成果，共同開創了非歐幾何。在這種幾何中，他們假設“過不在已知直線上的一點，可以引至少兩條直線平行於已知直線”，用以代替第五公設，同時保留了歐氏幾何的其他公設。
1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何。在這種幾何中，他假設“過已知直線外一點，沒有和已知直線平行的直線可引”，用以代替第五公設，同時保留了歐氏幾何的其他公設。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基—鮑耶的、歐幾裏得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。
非歐幾何的發現不僅最終解決了平行公設的問題——平行公設被證明是獨立於歐氏幾何的其他公設的，而且把幾何學從其傳統模型中解放出來，創造了許多不同體係的幾何的道路被打開了。
1854年，黎曼發表了“關於作為幾何學基礎的假設的講演”。他指出：每種不同的（兩個無限靠近的點的）距離公式決定了最終產生的空間和幾何的性質。1872年，克萊因建立了各種幾何係統按照不同變換群不變量的分類方法。
19世紀以後，幾何空間概念發展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類，每一種幾何都對應著一種定理係統。1899年，希爾伯特發表了《幾何基礎》一書，提出了完備的幾何公理體係，建立了歐氏幾何的嚴密的基礎，並給出了證明一個公理體係的相容性（無矛盾性）、獨立性和完備性的普遍原則。按照他的觀點，不同的幾何空間乃是從屬於不同幾何公理要求的元素集合。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何係統中，隻不過是極其特殊的情形罷了。