牛頓早在1665年才23歲時，就創造了流數法（微分學），並發展到能求曲線上任意一點的切線和曲率半徑。他的《流數法》寫於1671年，但直到死後9年的1736年才發表。牛頓考慮了兩種類型的問題，等價於現在的微分和解微分方程。他定義了流數（導數）、極大值、極小值、曲線的切線、曲率、拐點、凸性和凹性，並把它的理論應用於許多求積問題和曲線的求長問題。
牛頓創立的微積分原理是同他的力學研究分不開的，他借此發現並研究了力學三大定律和萬有引力定律，1687年出版了名著《自然哲學的數學原理》。這本書是研究天體力學的，包括了微積分的一些基本概念和原理。
萊布尼茨是在1673年到1676年之間，從幾何學觀點上獨立發現微積分的。1676年，他第一次用長寫字母“∫”表示積分符號，像今天這樣寫微分和微商。1684年-1686年，他發表了一係列微積分著作，力圖找到普遍的方法來解決問題。今天課本中的許多微分的基本原則就是他推導出來的，如求兩個函數乘積的n階導數的法則，現在仍稱作萊布尼茨法則。萊布尼茨的另一最大功績是創造了反映事物本質的數字符號，數學分析中的基本概念的記號，例如微分dx，二級微分d2x，積分∫ydx，導數dy/dx等都是他提出來的，並且沿用至今，非常方便。
牛頓與萊布尼茨的創造性工作有很大的不同。主要差別是牛頓把x和y的無窮小增量作為求導數的手段，當增量越來越小的時候，導數實際上就是增量比的極限，而萊布尼茨卻直接用x和y的無窮小增量（就是微分）求出它們之間的關係。
這個差別反映了他們研究方向的不同，在牛頓的物理學方向中，速度之類是中心概念；而在萊布尼茨的幾何學方向中，卻著眼於麵積體積的計算。其他差別是，牛頓自由地用級數表示函數，采用經驗的、具體和謹慎的工作方式，認為用什麼記號無關緊要；而萊布尼茨則寧願用有限的形式來表示函數，采用富於想象的、喜歡推廣的、大膽的工作方式，花費很多時間來選擇富有提示性的符號。
到1700年，現在大學學習的大部分微積分內容已經建立起來。第一部微積分課本出版於1696年，是洛比達寫的。1769年，論述了二重積分。1773年，考察了三重積分。1837年，波爾查諾給出了級數的現代定義。19世紀分析學的嚴謹化，是由柯西奠基的。現在課本中的極限、連續性定義、把導數看作差商的極限、把定積分看作和的權限等等，實質上都是柯西給出的。進一步完成這一工作的是威爾斯特拉斯，他給出了現在使用的精確的極限定義，並同狄德金、康托於19世紀70年代建立了嚴格的實數理論，使微積分有了堅固可靠的邏輯基礎。
2.微分方程
凡是表示未知函數和未知函數的導數以及自變量之間的關係的方程，就叫做微分方程。如果未知函數是一元函數，則稱為常微分方程，如果未知函數是多元函數，則稱為偏微分方積。微分方程的基本問題是在一定條件下，從所給出的微分方程解出未知函數。
微分方程幾乎是與微積分同時發展起來的，由於它與力學、物理學的淵源很深，所以在13世紀便已自成一門獨立的學科了。兩個多世紀來，這一學科已發展得相當完善。
1676年，萊布尼茨在致牛頓的信中，首先提出了“微分方程”這個名稱。在他們兩人的著作中，都包含了許多微分方程的實例。早期的研究側重於探討各類一階方程的解法，並由此導致了方程的分類。18世紀，歐拉解決了全微分方程和“歐拉方程”（一類高階變係數線性微分方程），提出了通解和特解的概念，指出了n階線性方程通解的結構。其後，泰勒得到了方程的奇解；拉格朗日推導了非齊次線性方程的常數交易法。
對於微分方程組的研究始於19世紀前半葉，柯西開始研究解的存在性和唯一性。19世紀後半葉，數學家們開始利用群論來研究微分方程，由此建立連續群和李群的新理論。龐加萊引入了極限環的概念，李雅普諾夫引入了微分方程組解的穩定性概念。他們的方法都不必直接求解，稱為定性理論。1927年，畢爾霍夫建立了“動力係統”的一段定性理論。
一階偏微分方程的研究首先是從幾何學問題開始的。拉格朗日指出，解一階線性偏微分方程的技巧，在於把它們化為常微分方程。一階非線性偏微分方程的研究，始於歐拉和拉格朗日，蒙日為偏微分方程的幾何理論奠定了基礎。到18世紀末葉，在引入奇解、通解、全積分、通積分、特積分等概念之後，偏微分方程已形成一門獨立的學科。
二階偏微分方程的研究，始於18世紀的弦振動理論。通常見的二階偏微分方程均來自物理或力學的實際問題，它們構成了這門學科中一個獨立的係統——數學物理方程。
積分方程源於阿貝爾1826年的工作，但是直到1888年杜·波阿·雷蒙的著作中，才正式提出了積分方程這個名詞。1896年開始，伏特拉給出了兩類積分方程的一般理論；不久，弗雷德荷姆大體上完成了一類重要的線性積分方程理論。由於這類積分方程常出現在一些物理問題中，因此積分方程論常被包含在數學物理方程內。