“數學昧”不能靠簡單下放。而需要深度思考
施：課改賦予教師更多的“教什麼”的自主權。實際教學中，我們還常看到不少課擁有十分華麗的尾巴——把一些中學甚至大學的數學知識或方法下放。比如小學裏就講實數的連續性和有理數的稠密性，教學平行時談到黎曼幾何，往往這樣的課也因為“有數學味”得到大家的肯定。對於這一點，您怎麼看？
王：有一點我們應該清楚，就是不見得老師知道的一定要讓學生知道。前不久我剛和老師們討論過小學的《確定位置》一課，老師們都舍不得放棄研究一條直線上各點或一個三角形各定點數對的特點這個環節，甚至還有老師提要滲透直線的斜率等，我想說，就一個特殊圖形做文章這是以後會處理的事，沒有必要在剛接觸坐標時蜻蜒點水地做。確定位置最重要的是什麼？應該是對參照點、方向、單位的體會！用數對刻畫位置，是實現空間有序化結構化的基礎。這是我們要重點做的文章。我們的認識可能有一些誤區，我們往往崇拜高深的，欣賞簡潔巧妙的，其實重要的思想方法往往能以極其樸素的形式表達出來。
施：蜻蜒點水般把中學數學中的某些知識在小學課堂中走一遭不是好辦法，教師要下的工夫應該是怎樣在簡單中顯深刻，淺顯中見經典。您能再舉一些例子具體談談嗎？
王：最近幾年我和小學老師有些接觸，我們會討論一些具體問題，挺有意思。
比如估計。它是本次課程改革特別加強的內容。小學階段，大家比較認同地把“估計”分為3種類型：計算“估計”(簡稱為估算)、測量“估計”(簡稱為估測)和數量“估計”(簡稱為估數)。我們可以看出，它們是依據“估計”對象和內容的不同劃分的。但是從數學的角度看，這3種“估計”類型擁有共同的特點，例如：都需要首先確定數量級(或單位)；結果的正確與否都需要評價者給定誤差範圍才能確定；結果的正確與否與實際情境密切相關等。所以這樣的分類對估計的數學內涵的認識沒什麼實質的幫助。在“估計”的數學本質沒有闡述清楚之前，就想討論估計的策略、技巧等可能意義不大。我們不妨結合實際案例來分析，如我們常常見到這樣的題目：估算24，82x48的結果。但是這樣的估算題目並沒有對結果的誤差範圍作要求，所以我們可以進行以下幾種“估計”：一是利用四舍五入法取近似數，把原算式變為20x50。從而估計出結果的數量級為10<；sup>；3<；/sup>；；二是將24.82和48都往大估，把原算式變為30x50確定出1500是原計算結果的一個上界。再將24.82和48都往小估，把原算式變為20x40確定出800是原計算結果的一個下界，這樣就確定出原計算結果在800到1500這個區間中。我們還可以在此基礎上，不斷縮小誤差範圍，求得更佳近似值。再如要估計一座15層樓的高度約是多少米，可以以自己的身高為基準量，估計出每一層的樓高約是多少倍的身高，再推測整個樓的高。這裏最重要的是選定“估計”的單位，這些單位可以是科學中已經規定好的單位，如“厘米、千克”等，也可以是自己規定的單位，如剛才我們把自己的身高當作基準量。從上麵分析可以看出，“估計”中包含的數學內涵有“界、單位、數量級、誤差與近似”，而這些則是我們從小學到大學的數學學習中反複出現、貫穿始終的數學思想和方法。顯然從這4個不同維度再去審視估計，比“估數、估算、估測”更能反映數學的本質。
施：您的分析讓我們很受啟發！很多時候由於我們自身數學修養的欠缺，不能站在更高的層次來審視小學數學。可能我們最急需的還是加強學習，您能給我們提些建議嗎？
王：我覺得單純的學習不一定有效。不少老師有這樣的經驗：上大學學了高等數學，忘了中小學數學，回到中小學又徹底忘了高等數學。關鍵還在於深度的思考，從整體上去把握數學課程。我讓我的學生思考，在小學(或中學)數學裏，最重要的是什麼？有哪些主線？我和學生有這樣的共識：凡是反複出現的必然是重要的！我們要清楚，教材呈現的是線性序，但孩子的認識不一定是線性序。比如，四則運算，教材呈現的是加、減、乘、除的順序，但是一定要學了加法後才能學減法嗎？減法也可以由“倒著數數”過來。多一些這樣基礎性的思考，就多了講道理的可能。再如，教材都是先安排字母表示數，然後才有方程。但是不學字母表示數就不能學方程嗎？我並非要抹殺字母符號的作用，或說教材必須調整順序。我想如果能換一個角度思考，你可能更容易發現孩子代數思維的萌芽並加以適當的引導。如何引導學生觸摸數學的本質
施：您從具體數學知識中談應突出的數學本質。很親切。而把對數學的認識轉化成實踐智慧又是很重要的一環。您可否也結合案例，從數學的角度，對我們教學的實施給出一些具體的分析和建議呢？