數論在數學裏可能算是最難、卻又“最沒用”的領域，可它同時又具有相當崇高的地位。人們甚至把是否在數論中有過重要貢獻作為衡量一位數學家是不是數學全才的標準。常說的三個半數學全才：高斯，龐卡萊，希爾伯特和馮·諾依曼，前三個都對數論研究有過巨大的貢獻，唯獨馮·諾依曼沒有，所以隻能算半個。數論另一個引人入勝的地方，是它所提出的不少問題非常簡明、易懂，即使沒研讀過多少高深數學的人也能知其所雲，因而業餘愛好者頗多。比如，著名的哥德巴赫猜想，說起來確實很簡單：任何一個大於2的偶數，都可表示成兩個素數之和（素數就是隻能被它自己和1整除的自然數，例如：2，3，5，7）。又比如本文中要講的孿生素數猜想：孿生素數是指兩個相差為2的素數（例如3和5，17和19等素數對），古希臘數學家歐幾裏德猜測，存在無窮多的素數對。像這些問題，一般人都能明白，可要想證明卻又千難萬難。黎曼假說、哥德巴赫猜想及孿生素數猜想等素數問題，被同列為著名的希爾伯特第八問題——也是極少的幾個未被解決的希爾伯特問題之一。
孿生素數猜想看似簡單，誰都不難找出幾對來，3-5，5-7，11-13，17-19，29-31……如果繼續往下找，就會發現這種素數對出現的頻率越來越低，但也不會完全銷聲匿跡。近年來，人們利用大型計算機來尋找素數對，到目前為止，找到的最大素數對是3756801695685×2 666669±1。這對素數已經是十分巨大的天文數字了，而且隨著計算機功能的不斷加強，可以肯定今後還能發現更大的素數對。然而這都無助於證明孿生素數猜想，因為不管找到多少素數對，它們畢竟是有限多的，與存在無窮多的素數對有著本質的區別。
為了後麵敘述的方便，我們先來說一個簡單的數學名詞——下確界。給定一個數集，比如說{1、2、3}，如果能找到一個數（可以是這組數中的一個，也可在其外）小於或等於這組數中所有的數，這個數就是這組數的一個下界。在我們的例子裏，0和1都是下界。在所有的下界中如果有一個最大的下界，就稱為其為下確界。一個有界數集可以有無數個下界，但是下確界卻隻有一個。具體到{1、2、3}這個數集，1就是它的下確界。
兩個相鄰素數的差最小隻能是2，所以2永遠是兩個相鄰素數的差的下界，但不見得是最大的下界（下確界）。如果我們能夠證明當素數趨於無窮大時，兩個相鄰素數的差的下確界是2，就相當於證明了孿生素數問題。因為這就等於是說永遠可以找到要多大有多大並且差為2的素數對。幾百年來，許許多多的數學家和業餘數論愛好者花費了無數的心血想要證明孿生素數猜想，但沒人能取得任何實質性的進展。於是數學家們退而求其次，將注意力集中到一個相對容易一點的問題：當素數趨於無窮大時，兩個相鄰素數的差的下確界是有限的還是無限的？研究這個問題不光是解決孿生素數問題的第一步，同時也有它自身的意義，可以告訴我們當素數趨於無窮大時，兩個相鄰素數的差是否會無限擴大，從而對了解素數的分布有所助益。然而即便是這個問題，多年來仍然讓數論研究者們一籌莫展。直到今年5月，一位名不見經傳的華裔學者張益唐終於取得了決定性的突破。張益唐證明了當素數趨於無窮大時，兩個相鄰素數的差的下確界小於70000000，即永遠可以找到要多大有多大並且差為2、4、6、……、70000000之一的素數對。這個結論看似離證明孿生素數問題還差得很遠，不過我們必須認識到，在張益唐之前，人們甚至無法確知上麵所說的下確界究竟是有限的還是無限的。他的結論之所以重要，就在於明確給出了該下確界的一個有限邊界，從而在廣義的角度上確認了孿生素數猜想是可以被證明的。他的工作的另一層意義在於，其使用的方法具有相當的彈性，意味著這個邊界的數值很可能還可以大幅減小。張益唐在他的論文裏就指出，他所得到的結果可能並非最優的，其中一個關鍵參數的設定也是比較粗略的，因而存在著改進的空間。張益唐的論文出現沒幾天，素有數學神童之稱的菲爾茲獎獲得者陶哲軒（他9歲進入大學，10歲、11歲、12歲參加國際數學奧林匹克競賽，分獲銅牌、銀牌、金牌，16歲獲得學士學位，17歲獲得碩士學位，21歲獲得普林斯頓大學博士學位）就宣稱他已將70000000降到了5000000。互聯網上現在還有一個網站，專門登錄最新的進展，我剛剛查過的最新紀錄是60744（2013/6/16）。更有傳言說戈德斯頓（goldston）等人甚至可以把這個“魔術數字”降到16！當然這些都需要數學界進一步地推敲和證實。