哥德爾是數學界公認的天才，也是眾所周知的大怪物。他生性怕羞，據說他第一次講課時整整一節課全都是麵對黑板，沒朝學生看一眼。有人認為這也許與他那時就已經患了某種程度的抑鬱症或狂想症有關。早在學生時代，醫生就懷疑哥德爾可能患有抑鬱症或精神病，而他的一大樂趣就是與他的一個朋友共同策劃如何誤導醫生，以使其無法判斷他到底有什麼病。也許正是這種諱疾忌醫的態度要了他自己的命。到了晚年，他的狂想症最終發展到拒絕進食（因為懷疑食物裏有毒），以致由於器官功能衰竭而死。
哥德爾還有過被誤認為是德國間諜的經曆。1942年夏天，他到緬因州的濱海小鎮藍山（blue hill）度假。那時他正致力於選擇公理的獨立性的研究，為了不受幹擾，他總在晚上去海灘邊散步邊思考。散步就散步，卻還要自言自語，而且還用德文。那時第二次世界大戰正打得如火如荼，德國潛艇曾經在美國大西洋沿岸出沒過，哥德爾的長相恐怕也有點容易令人起疑。所有這些因素加在一起，讓當地的居民很難不疑心他是前來接應德國潛艇的間諜。當局不時接到舉報電話，好在他們並不糊塗，從未把哥德爾弄到警察局去。
作為邏輯學家，哥德爾一生認死理、愛鑽牛角尖，凡事都以邏輯推理為準。有時候讓人覺得他好像是個不食人間煙火異類。他為數不多的朋友之一，對策論的奠基人、經濟學家摩根斯坦（oskar morgenstern，1902—1977）講過一個很有趣的故事，頗能反映哥德爾的這一特點。1948年4月，哥德爾準備加入美國籍。入籍前必須通過一個例行的簡單考試。他花了極大的精力認真進行準備，尤其深入地鑽研了美國憲法。考試前不久，哥德爾十分興奮地跑來對摩根斯坦說“我發現了一個使美國能在邏輯上合法轉化為獨裁政權的可能性”。摩根斯坦當然知道不管哥德爾的論證多麼精辟，這項發現對入籍考試來說都是災難性的。所以他特別叮囑哥德爾在考試時一定不要提這項新發現。考試那天，愛因斯坦和摩根斯坦兩人作為證人陪同哥德爾來到移民局。入籍考試通常隻允許申請人一人進入移民官的辦公室。可能是出於對愛因斯坦的尊重，移民官把他們3個人一起請了進去。移民官開場說道，“到目前為止，你持有德國國籍……”，哥德爾馬上糾正說是奧地利國籍。移民官接著說“不管怎樣，它是在邪惡的獨裁統治之下……幸運的是，這在美國是不可能發生的……”這下可捅了馬蜂窩，哥德爾立刻高聲打斷道，“正相反，我知道這是可能發生的！”摩根斯坦等3人費了九牛二虎之力才總算阻止住他繼續深入闡述他的重要發現，讓考試回歸正軌。
愛因斯坦與哥德爾的交情匪淺，兩人經常一起從普林斯頓高等研究所散步回家。一路上他們會討論涵蓋範圍極廣的各種各樣的問題。哥德爾是為數不多的願意挑戰愛因斯坦想法的人，比如，他曾直言對統一場論持懷疑態度。在晚年時，愛因斯坦有一次跟摩根斯坦說，他自己的工作對其本身已經沒有多大意義，他之所以仍然每天去研究所，僅僅是為了“能獲得與哥德爾一起散步回家的特權”。哥德爾也把愛因斯坦視為知己。1949年，為了慶祝愛因斯坦的70大壽，《在世哲學家文庫》準備出一本專輯《阿爾伯特·愛因斯坦：哲學家-科學家》。主編希歐普（p.a.schilpp）邀請哥德爾也貢獻一篇文章。哥德爾突發奇想，決定要為專輯寫一篇關於廣義相對論的論文。於是重操物理舊業，開始認真研究廣義相對論。讓人不得不服氣的是，他還真發現了愛因斯坦場方程的一個不為人知的新解——這個解對應於一個“沒有時間的世界”（有興趣的讀者可以去看palle yourgrau的《a world without time》）。
希爾伯特第八問題
希爾伯特第八問題是黎曼假說和其他質數問題（質數就是隻能被它自己和1整除的自然數，例如：2，3，5，7）。黎曼假說（即關於ζ函數零點的分布的猜想）：ζ函數的所有非平凡零點的實數部分都是1/2。“其他質數問題”的代表之一就是哥德巴赫猜想：任何一個大於2的偶數，都可表示成兩個質數之和（數學圈裏稱其為1+1，就是說可表示成一個質數加另一個質數）。
哥德巴赫猜想看上去真是很簡單，對任何一個比較小的偶數，似乎都不難把它寫成兩個質數之和。比如，偶數8可表示成3+5，3和5是質數；又如偶數12可表示成5+7，5和7是質數，等等。可要證明對任何一個大於2的偶數都能成立，卻比登天還難。對哥德巴赫猜想以及和它連在一起的一個名字——陳景潤（1933—1996），很多人可能並不陌生。在文化大革命剛剛結束的1978年，陳景潤可以說是家喻戶曉的超級明星，這在很大程度上是著名作家徐遲的一篇報告文學《哥德巴赫猜想》（《人民文學》1978年1月號）所賜。文章發表後，一時間洛陽紙貴，各大報刊爭相轉載。陳景潤成為科學與獻身的代名詞，至於他究竟在哥德巴赫猜想上證明的是什麼反而成了次要問題。其實陳景潤的這項工作在1966年5月就已經完成了，隻是由於*正好在那年開始，沒辦法拿出來發表。他所證明的是（陳氏定理）：任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者最多僅僅是兩個質數的乘積（即他證明了任何大偶數都可寫成一個質數加不超過兩個質數的乘積，所以稱為1+2）。陳氏定理看上去離證明哥德巴赫猜想隻有一步之遙，可這最後一道坎時至今日也沒人能跨得過去。
有人將哥德巴赫猜想比作數學皇冠上的一顆明珠，但與黎曼假說相比，它的重要性終究還是略遜一籌。這主要是因為ζ函數與質數的分布緊密相關，而質數的分布不但在數論的研究中至關重要，在實際應用上也意義重大。特別是在密碼的加密與解密方麵，比如，公開金鑰加密的rsa算法就是以大質數為基礎的。
黎曼（g.f.b.riemann，1826—1866）在數學史上占有極重要的地位，是黎曼幾何學創始人及複變函數論創始人之一，對數學分析、微分幾何和微分方程有都有重要貢獻。黎曼自上小學開始就被視為數學天才，校長專門派了一位老師教他數學。但是很快老師就發現，他從黎曼那兒學到的東西比他能教給黎曼的要多得多！在中學裏，校長幹脆讓黎曼到他的私人圖書室（那裏有很多高深的數學專著）去自己找書看。有一次黎曼要求校長給他推薦一本難一點的書，為了試試黎曼的潛力，校長建議他去讀勒讓德（a.legendre）的859頁的巨著《數論》。一星期後，黎曼把書還了回來，校長問他書是否太難，他回答說，非常高興校長給了一本能讓他讀了一星期之久的書。兩年後，黎曼請求學校以勒讓德的《數論》作為他畢業考試的一部分。盡管兩年來他從未再摸過這本書，對所有的問題卻全能對答如流。毫無疑問，《數論》對黎曼具有很大影響，使他對研究質數的分布產生了濃厚的興趣。
提出黎曼假說的論文發表於1859年。為了闡述和解釋這篇僅僅8頁長的論文，愛德華茲（h.m.edwards）寫了一部300頁的專著《黎曼的ζ函數》（1974）。ζ函數本身其實並不複雜，學過初等數學的人大概都能看懂：
黎曼斷言ζ函數的所有非平凡零點的實數部分都是1/2。到目前為止，所有已知的15億個非平凡零點（絕大部分是用計算機得到的）全部都與黎曼的猜想相吻合。