1900年，在巴黎召開的第二屆國際數學家大會上，希爾伯特（david hilbert，1862—1943）作了題為《數學問題》的演講，提出了23個他認為會對20世紀數學發展起重大作用的問題，這就是著名的希爾伯特的23個問題。時至今日，110年已經過去了。這23個問題有些徹底解決了，有些得到了部分地解決，還有幾個沒有解決。無論如何，這些問題對最近100多年的數學研究確實是起了極大的推動作用的，為了解決其中的某些問題，甚至發展出了一些新的數學領域或分支。在尋求解決這些問題的過程中，那些作出過重要貢獻的人被數學界譽為“榮譽班”的成員。關於他們有不少挺有意思的故事，有悲劇，也有喜劇。而提出這23個問題的希爾伯特更是數學界的一代大宗師，大概應該算是這個“榮譽班”當之無愧的班主任吧。他的學生之一、諾貝爾物理學獎獲得者勞厄（max von laue，1879—1960）在回憶他時說“在我的記憶中，這個人可能是我所見過的最偉大的天才”。
希爾伯特出生的哥尼斯堡（k?nigsberg）是拓撲學的發祥地，著名的“七橋問題”中的七座橋就在那兒。哥尼斯堡也是大哲學家康德的故鄉，在那裏長大的孩子們（尤其是男孩）可以說都是浸泡在康德的思想裏成長起來的。每年4月22日（康德的誕生日），康德長眠的地窟會對公眾開放，希爾伯特的酷愛哲學的母親總會帶他去向這位偉大的哲學家致敬。也許正是由於這種哲學上的熏陶，使他一生對數學體係本身的完備性、相容性、確定性等等基本問題情有獨鍾。
希爾伯特8歲時才上學，比一般孩子晚了兩年。他上的是頗負盛名的馮檢基（friedrichskolleg）書院。在他之前140年，康德就在那裏讀書。在這所既傳統又保守的名校裏，最受重視的是拉丁文和希臘文，數學次之，根本不教授其他科學課程。因而記憶力並不出眾的希爾伯特沒有太大的用武之地，表現平平，基本上處在疲於應付的狀態。數學對他來說毫不費力，可他也沒花多少精力在上麵。按他自己的話說“在學校裏，我沒怎麼在數學上下功夫，因為我知道以後會有機會去鑽研它”。直到中學的最後一年，希爾伯特轉學去了非常注重數學和科學的威廉（wilhelm）書院，他才如魚得水，各科成績突飛猛進。尤其是數學，他不但獲得了最高的分數，還被破格免去了口試。畢業時得到的評語是“對於數學，他總是表現出濃厚的興趣和深刻的理解，他以令人激賞的方式掌握了學校裏教授的所有科目，並且能將其以令人信服和富有創造性的方式加以應用”。
中學畢業後，希爾伯特進了哥尼斯堡大學。這所大學以自由著稱，教授想教什麼就教什麼，學生想學什麼就學什麼，沒有任何限製。甚至每門課上後完連考試都沒有，隻在畢業時需要通過考試。希爾伯特沒有按照父親的願望去學法律（他父親是法官），而是選擇了數學。那時德國的大學允許學生到其他學校去遊學，希爾伯特曾到著名的洪堡大學就讀過一學期。但他沒有像大多數學生那樣，繼續前行去當時的學術中心柏林，而是返回了哥尼斯堡。1882年具有數學神童之稱的閔可夫斯基（hermann minkowski，1864—1909）也回到哥尼斯堡，兩人誌趣相投，從此結為終生的摯友。這個閔可夫斯基後來教過愛因斯坦數學，盡管他對愛因斯坦的數學才能評價很低，他引入的四維時空（閔可夫斯基空間）概念卻為相對論的後續發展奠定了關鍵的數學基礎。1884年，24歲的赫爾維茨（adolf hurwitz，1859—1919）來到哥尼斯堡大學當助理教授，他對希爾伯特的影響極大，可以說是他真正的老師。有相當長的一段時間，每天下午5點整，赫爾維茨、希爾伯特和閔可夫斯基3人都要聚在一起，散步到一棵蘋果樹下。以希爾伯特自己的說法，“在無休止的散步中，我們全神貫注於當時的各種數學問題，交流我們對這些問題的最新理解、想法和研究計劃。同時形成了終身的友誼”。
與閔可夫斯基和赫爾維茨相比，希爾伯特應該算是大器晚成的那種（當然不是以我們今天的標準）。閔可夫斯基18歲還在上大學時就贏得了國際知名度很高的巴黎科學院科學數學大獎賽的大獎（1883年）。赫爾維茨則年紀輕輕就已經發表了多篇重量級的數學論文，並獲得了令人羨慕的職位。
希爾伯特之所以後來在許多領域裏取得了重大成果，與他做學問的方法密切相關。一般人開始研究一個新課題時，通常是以前人的結果為起點接著往前走。希爾伯特卻不是這樣，他總是要從問題的起源開始，將它的來龍去脈徹底梳理一遍。這往往能讓他站在新的製高點上，從與前人不同的角度重新審視問題，發現意想不到的新方法來攻克難題。一個典型的例子就是在他剛出道時解決的不變量理論中的戈爾丹問題。戈爾丹（paul gordan，1837—1912）在1868年使用構造性方法給出了二元型係統的證明。此後20年間，很多數學家花了大量的時間想將其推廣到更多元的係統，都以失敗告終。希爾伯特仔細分析了戈爾丹問題，斷定沿著老路走下去是沒有希望的。他於是從一個全新的視角重新審視這個問題，在1888年利用反證法一舉給出了任意多元係統的證明。
到1900年，希爾伯特已經成為可以和龐加萊（henri poincaré，1854—1912）比肩的頂尖數學家了。第二屆國際數學家大會邀請他作一個專題演講，題目自選。希爾伯特認為，如果能歸納出對新世紀的數學發展具有重要影響的一批問題將會比僅僅講一個他自己的研究成果更有意義。為此，他寫信征求了閔可夫斯基和赫爾維茨的意見，並在其後多次與他們通信商定問題的取舍。應該說在最後確定的這23個問題中，也有閔可夫斯基和赫爾維茨不少的心血。
由於時間限製，希爾伯特在大會上隻來得及講了23個問題中的10個，其餘的13個被列在會議的通報中。這些問題大體上可以分成四大類：數學的基礎問題及特定數學領域的基礎問題（第1-6），數論問題（第7-12），代數與幾何問題（第13-18）和數學分析問題（第19-23）。
巴黎數學家大會之後，這23個問題成了20世紀數學界的指路燈。希爾伯特所在的哥廷根大學則被很多人視為數學的聖地，成百名青年學生從世界各地雲集到那裏。在鼎盛時期（第一次世界大戰為這一時期畫上了句號），希爾伯特講課時經常連走道上和窗戶外都站著學生。他的很多學生和助手後來都成為數學界或物理學界的重要人物，說他桃李滿天下一點也不為過。
1950年，美國數學學會要求當時最有影響的數學家之一外爾（hermann weyl，1885—1955）總結一下過去50年數學的進展，他寫道，要不是因為“巴黎問題”所用術語太過專業，則隻需直接將已經解決和部分解決的希爾伯特問題開列下來就已經可以完成任務了，“（希爾伯特問題）就是數學家們經常用來衡量自己進展的進度表”。
希爾伯特第二問題
希爾伯特第二問題是關於“公理係統相容性的問題”（即判定一個公理係統內的所有命題是彼此相容無矛盾的），希爾伯特希望能以嚴格的方式來證明任意公理係統內命題的相容性。公理係統的一個簡單例子，是我們大家上中學時都學過的歐氏幾何學，歐幾裏德列出了10條公理，所有別的幾何定理都可以從這些公理出發推導出來。
解決希爾伯特第二問題的，是被譽為亞裏士多德之後最偉大的邏輯學家的哥德爾（kurt godel，1906—1978）。除了希爾伯特第二問題，哥德爾對希爾伯特第一問題的解決也起了關鍵性的作用，若不是他的興趣突然莫名其妙地轉移了，第一問題很可能也會成為他的囊中物。
哥德爾出生在摩拉維亞省的布爾諾（當時屬奧匈帝國，現屬捷克）。他天資聰穎，隻用了4年時間就完成了一般需要8年的初等教育。1918年上高中後，幾乎門門功課都得最高分，而唯一沒拿到最高分的課竟是數學！在進入維也納大學之初，他是準備搞物理的。後來他的導師、數學家哈恩（hans hahn，1879—1934）介紹他加入了當時非常有名的vienna circle（一個以探討數學和物理學的哲學基礎為目標的、由科學家和哲學家組成的小團體），使他的興趣一下子從物理學轉向了邏輯學。
1930年2月，哥德爾獲得博士學位，他的博士論文是證明數理邏輯中最基本的形式係統——謂詞演算（又稱一階邏輯）的完備性和相容性。這一年稍後，他證明了他的最著名的兩個關於公理係統的不完備性定理（發表於1931年3月）。哥德爾的論證與古希臘哲學家埃庇米尼得斯（epimenides，公元前6世紀）的克裏特悖論（身為克裏特人的埃庇米尼得斯宣稱“所有的克裏特人都是騙子”）有點類似。其大意是說，對於任何一個公理係統，必定存在一個用形式語言表述的語句（statement）無法用形式語言的推理來證實或證偽，即這個語句是不確定的，因而隻能靠增加一個新的公理來對付它。換句話說，為了堵住公理係統的一個漏洞，就需要引入新的公理，而新公理的引入又導致新漏洞的出現——魚總是比網大！正是這個不完備性定理從完全出乎預料的、相反的方向解決了希爾伯特第二問題。比較準確的說法可能應該是：不完備性定理證明了公理係統相容性的不可證明（也就是說，希爾伯特想要的，是根本不可能被證明的）。這個消息剛剛傳到希爾伯特那裏時，他的最初反應是難以置信，甚至還有些憤怒。後來在他的助手伯內斯（paul bernays）的說服之下，他仔細研究了哥德爾的證明，很快意識到其正確性和重要性。當時希爾伯特正在哥廷根大學講授一門關於公理係統的課，看了哥德爾的論文後，他馬上把剩餘課程全部取消了。