又d(C′)dQ=8，顯然d(C′)dQQ=9798＞0.
故當Q=9798≈10台時，平均成本最低，其值為C｜Q=10=1164萬元.
例7設生產函數為Q=f(L)=-34L3+12L2；
(1)求平均產量的最大值；
(2)求邊際產量的最大值.
解(1)由生產函數得平均產量函數和邊際產量函數得
Q-=f(L)L=-34L2+12L，Q′=dQdL=f′(L)=-94L2+24L.
令Q-=Q′，得-34L2+12L=-94L2+24L，可得L1=0，L2=8.
又d(Q′)dL=f″(L)=-184L+24＜0，L=8時；
＞0，L=0時，
所以當L=8時，平均產量取最大值，其值為
Q-=(-34L2+12L)｜L=8=48.
(2)令d(Q′)dL=-184L+24=0，得L=513.又d2(Q′)dL2=f(L)=-92
∴f(513)＜0，故L=513時，邊際產量取最大值，其值為
Q′=(-94L2+24L)L=513=64.
例8廠商的總收入函數和總成本函數分別為R(Q)=30Q-3Q2，C(Q)=Q2+2Q+2.
廠商追求最大利潤，政府對其產品的征稅，求：
(1)廠商納稅前的最大利潤和此時的產量及價格；
(2)征稅收入最大值及此時的稅率t；
(3)廠商納稅後的最大利潤及此時產品的價格.
解(1)易求得納稅前，當產量Q0=72時，可獲最大利潤，其值L=47，此時產品的價格P=1912.
(2)目標函數是T=tQ，納稅後的總成本函數是：
Ct=Ct(Q)=Q2+2Q+tQ+2.
由於R′(Q)=30-6Q，C′t(Q)=2Q+2+t,由R′(Q)=C′t(Q)，
即30-6Q=2Q+2+t,可解得Qt=28-t8.
又因R″(Q)=-6，C″t(Q)=2,顯然有R″(Q)＜C″t(Q).所以，納稅後廠商獲最大利潤的產出水平是Qt=28-t8.
這時，征稅收入函數為T=tQt=18(28t-t2).
由此式確定稅率t，以使T取最大值.
根據極大值存在的條件，因為
dTdt=18(28-2t)=0時，t0=14，d2Tdt2=-14＜0，
所以當稅率t0=14時，Qt=28-148=74，征稅收入最大，其值為
7=t0·Qt=14×74=2412.
(3)納稅後，利潤函數為
Lt=R(Q)-Ct(Q)=-4Q2+(28-t)Q-2.
當Q=74，t=14時，最大利潤為Lt=1014.
此時，產品價格P=R(Q)Q｜Q=74=(30-3Q)｜Q=74=2434.
例9設某種商品的單價為P時，售出的商品數量Q可以表示成Q=aP+b-c其中a，b，c均為正常數，且a＞bc,
(1)求P在什麼範圍內變化時，使相應的銷售額增加或減少；
(2)要使銷售額最大，商品單價P應取何值?最大銷售額是多少?
解由經濟意義知，銷售額為R=PQ，而其增減性可由R′(P)的符號來確定.
(1)∵R=PQ=P(aP+b-c)R′=ab-c(P+b)2(P+b)2，令R′=0.得
P0=abc-b=bc(a-bc)＞0.
當0＜P＜bc(a-bc)時，有R′＞0，所以隨著單價的提高，相應的銷售額也將增加；
當P＞bc(a-bc)時，有R′＜0，所以隨著單價的提高，相應的銷售額將減少.
(2)由(1)可知，當P=bc(a-bc)時，銷售額R取得最大值，最大銷售額為
Rmax=(abc-b)(aabc-c)=(a-bc)2.
例10假設某種商品的需求量Q是單價P元的函數：Q=12000-80P，商品的總成本C是需求量Q的函數；C=25000+50Q；每單位商品需納稅2元，試求使銷售利潤最大的商品單價和最大利潤額.
解本題的關鍵在於建立利潤關係式，注意減去成本及稅收.以L表示銷售利潤額，則
L=(12000-80P)(P-2)-(25000+50Q)
=-80P2+16160P-649000.
L′=-160P+16160，令L′=0，得P=101.
由於L″｜P=101=-160＜0，可見當P=101時，L有極大值，也是最大值(因為P=101是唯一駐點).
最大利潤額為L｜P=101=167080元.
例11設某酒廠有一批新釀的好酒，如果現在(設為t=0)就出售，總收入為R0元.若窖藏起來待陳酒價格出售，t年後總收入為R=P0e25t，假定銀行的年利率為r，並以連續複利計算，試求窖藏多少年售出可使總收入的現值最大，並求r=006時t的值.
分析本題的關鍵在於利用連續複利公式：在年利率為r的情況下，現時的A元在t時的總收入為R(t)=Aert;反之，t時的總收入R(t)的現值為A(t)=R(t)e-rt.
解根據連續複利公式，這批酒在窖藏t年末售出的總收入R的現值A(t)=Re-rt，而R=R0e25t，所以A(t)=R0e25t-rt.
令dA(t)dt=R0e25-rt·(15t-r)=0，得唯一駐點為t0=125r2.
又d2Adt2=R0e25t-rt［(15t-r)2-110t3］，則有d2Adt2t=t0=R0e125r(-125r3)＜0.
於是，t0=125r2是極大值點，即是最大值點，故窖藏t=125r2年售出，總收入的現值最大.
當r=006時，t=1009≈11年.
［真題在線］
例12(1998年)設某酒廠有一批新釀的好酒，如果現在(假定t＝0)就售出，總收入為R0(元)，如果窖藏起來待來日按陳酒價格出售，t年末總收入為
R＝R0e25t
假設銀行的年利率為r，並以連續複利計算，試求窖藏多少年售出可使總收入現值最大，並求r＝0.06時的t值.
分析根據連續複利公式，在年利率為r的情況下，現時的A(元)在t時的總收入為R(t)＝Aert，反之，t時總收入為R(t)的現值為A(t)＝R(t)e－rt，將R＝R0e25t代入媽得到總收入的現值與窖藏時間t之間的關係式，從而可用微分法求其最大值.
解由連續複利公式知，這批酒在窖藏t年未售出總收入R的現值為A(t)＝Re－rt，而R＝R0e25t，則
A(t)＝R0e25t-rt
令dAdt=R0e25t-rt(15t-)＝0，得唯一駐點t0＝125r2
又d2Adt2＝R0e25t-rt1t-r2+110t3
則有d2Adt2t＝t0＝R0e125r(-12.5r3)＜0
於是，t0＝125r2是極大值點即最大值點，故窖藏t＝125r2(年)售出，總收入現值最大.
當r＝0.06時，t＝1009≈11(年)
例13(2001年)設生產函數為Q＝ALαKβ，其中Q是產出量，L是勞動投入量，K是資本投入量，而A、α、β均為大於零的參數，則當Q＝1時K關於L的彈性為.
應填－αβ
解當Q＝1時，1＝ALαKβ
等式兩邊對L求導得
Q＝αALα－1Kβ＋βALαKβ－1dKdL
解得dKdL＝αKβL
由彈性計算公式知，K關於L的彈性為
dKdL·LK＝－αLβK·LK＝－αβ
例14(2001年)某商品進價為a(元/件)，根據以往經驗，當銷售價為b(元/件)時，銷售量為c件(a、b、c均為正常數，且b≥43a)，市場調查表明，銷售價每下降10%，銷售量可增加40%，現決定一次性降價.試問，當銷售價定為多少時，可獲得最大利潤?並求出最大利潤.
解設P表示降價後的銷售價，x為增加的銷售量，L(x)是總利潤，那麼
xb-P＝0.4c0.1b
則P＝b-b4cx
從而L(x)＝(b-b4cx-a)(c+x)
對x求導得L′(x)＝-b2cx+34b-a
令L′(x)＝0，得惟一駐點
x0＝(3b-4a)c2b
由問題的實際意義或L″(x0)＝－b2c＜0可知，x0是極大值點，也是最大值點，故定價為
P＝b-(38b-12a)＝58b+12a(元)
時，得最大利潤L(x0)＝c16b(5b-4a)2元
§112二元微積分在經濟學中的初步應用
一、本節知識串講
有關二元經濟函數的最值問題，通常用二元函數求極限的方法解決，分為無條件極值和條件極值二種情況.在條件極值問題中，應采用拉格朗日乘數法處理.
二、能力、思維、方法
［能力素質］
例1某廠生產的一種商品同時在兩個市場銷售，售價分別為P1和P2，銷售量分別為q1和q2，需求函數分別為q1=24-02P1和q2=10-005P2；總成本函數為C=35+40(q1+q2).試問廠家如何確定兩個市場的售價，能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤為多少?