第十一章微積分在經濟學中的應用
§111一元微積分在經濟學中的初步應用
一、熟知考綱考點
1了解導數的經濟意義(含邊際與彈性的概念).
2會利用定積分求解簡單的經濟應用問題.
二、本節知識串講
1導函數(函數的變化率)：邊際函數
若函數y=f(x)可導，則在經濟學中稱其導函數f′(x)為邊際函數.
2函數的相對變化率：函數的彈性
若函數y=f(x)可導，則稱
f′(x)·xf(x)=limΔx→0ΔyΔxyx=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δxyx
為函數f(x)在x處的彈性函數，記為EyEx，即EyEx=f′(x)·xf(x).它表示當自變量改變1%時，函數相應改變的百分數.
3成本函數
成本函數C(x)表示生產x單位產品的總的費用：
C(x)=C0+C1(x)，
其中x是產量；C0是固定成本；C1(x)是可變成本.
平均成本：C(x)=C(x)x=C0x+C1(x)x.
邊際成本：成本的導數C′(x)=C′1(x).
且有C(x)=∫x0C′(t)dt+C0.
4收入函數
收入函數R(x)是銷售量x的函數，表示銷售x單位產品的總收入.
若P=P(x)為價格函數，則
總收入函數：R(x)=x·P(x).
平均收入：R(x)=R(x)x=P(x).
邊際收入：R′(x)=(xP(x))′=P(x)+xP′(x).
且有R(x)=∫x0R′(t)dt=∫x0［P(t)+tP′(t)］dt.
5利潤函數
總利潤：L=L(x)=R(x)-C(x).
邊際利潤：L′(x)=R′(x)-C′(x).
L(x)獲得最大利潤的必要條件：L′(x)=0，即R′(x)=C′(x)，
L(x)獲得最大利潤的充分條件：L′(x)＜0，即R″(x)＜C″(x).
6需求函數
商品的需求量x是價格P的函數x=f(P)，稱為需求函數，它是單調減少的，其反函數P=f-1(x)也稱為需求函數.
邊際需求：dxdP=f′(P).
需求對價格的彈性：ηExEP=PdxxdP.
7供給函數
商品的供給量x是價格的函數x=g(P)，稱為供給函數，它是單調增加的，其反函數P=g-1(x)也稱為供給函數.
邊際供給：dxdP=g′(P).
供給對價格的彈性：εExEP=PdxxdP.
三、能力、思維、方法
［能力素質］
例1設某種產品的成本函數C(q)=aq2+bq+c，需求函數q=1e(d-p)，其中p為單價，a，b，c，d，e為正常數，且d＞b，求：
(1)利潤函數及利潤最大時的產量和最大利潤；
(2)需求對價格的彈性；
(3)需求對價格彈性的絕對值為1時的產量.
解(1)利潤函數L=pq-C(q)=(d-eq)q-(aq2+bq+c)
=(d-b)q-(e+a)q2-c.
∴L′=(d-b)-2(e+a)q.
令L′=0，得q=d-b2(e+a).
∵L″=-2(e+a)＜0，∴當q=d-b2(e+a)時，利潤最大，即
Lmax=(d-b)24(e+a)-C.
(2)∵q′=-1e，∴需求對價格的彈性為
η=-pqq′=-d-eqq(-1e)=d-eqeq.
(3)由｜η｜=1，得q=d2e.
例2已知總收入R=13x-x2-2x3，總成本C=2+4x+12x2，其中x為產品的產量，求利潤函數、邊際收入函數、邊際成本函數和獲得最大利潤時的產量及最大利潤.
解利潤函數L(x)=R-C
=(13x-x2-2x3)-(2+4x+12x2)
=-2+9x-32x2-2x3，
邊際收入函數：R′(x)=13-2x-6x2，
邊際成本函數：C′(x)=4+x.
∵L′(x)=9-3x-6x2.
令L′(x)=0，有9-3x-6x2=0，得x1=1，x2=-1.5＜0(舍去).
L″(1)=(-3-12x)｜x=1=-15＜0，可知x=1時，獲利最大，最大利潤為
L(1)=(-2+9x-32x2-2x3)x=1=3.5.
例3設某種產品的需求函數Q=Q(P)，收入函數R=PQ，其中P是產品價格；Q為需求量(產量)；Q(P)單調遞減.若當價格為P0時，對應的產量為Q0，邊際收入R′=R′(R0)=a＞0，收入對價格的邊際效應dRdPP=P0=C＜0，需求對價格的彈性為EP=b＞1.求P0及Q0.
解收入函數R=PQ對Q求導，有
dRdQ=P+Q·dPdQ=P+［-dPPdQQ］(-P)=P(1-1EP)，
dRdQQ=Q0=P0(1-1b)=a，∴Po=abb-1.
收入函數R=PQ對P求導，有
dRdP=Q+PdQdP=Q-dQQdPP·(-Q)=Q(1-EP)，
dRdPP=P0=Q0(1-EP)=C，得Q0=C1-b.
例4設平均收入函數和總成本函數分別為R-=a-bq(a＞0，b＞0)；C=13q3-7q2+100q+50.當邊際收入R′=67、需求價格彈性E=-8922時，其利潤最大.
(1)求利潤最大時的產量；
(2)確定a，b的值.
解(1)由總成本函數得邊際成本函數：C′=q2-14q+100，
利潤最大時，應有R′=C′，即67=q2-14q+100解此方程，得
q1=3，q2=11.
因為d(C′)dq=2q-14，d(C′)dq｜q=11=22-14＞0，
d(C′)dqq=3＜0，R=P·q=R-·q=(a-bq)q=aq-bq2，
d2Rdq2=-2b＜0(∵b＞0).
故當q=11時，有d2Rdq2＜d2Cdq2，從而利潤最大時，產量q=11.
(2)因R′與E之間有關係R′=P(1+1E).
將R′=67，E=-8922代入上式，有67=P(1+1-8922)，
由此，可解得利潤最大時的價格P=89.
由於R=a-bq，R′=a-2bq，將R′=67，P=R=89，ε=11代入上麵二式，得
89=a-11b，
67=1-22b.
解該線性方程組，有：
a=111，b=2.
例5某商品，若定價每件5元，則可賣出1000件；假若每件每降低001元，估計可多賣出10件.在此情形下，每件售價為多少時可獲收入最大，最大收入是多少?
解法一設賣出的件數為Q，每件售價應降低Q-100010×001=0001Q-1元
從而每件售價為P=5-(0001Q-1)元，
總收入函數R=P·Q=［5-(0001Q-1)］·Q=6Q-0001Q2.
因dRdQ=6-0002Q＞0，Q＜3000；
=0，Q=3000；
＜0，Q＞3000.
故Q=3000件時，收入最大，其值
R｜Q=3000=(6Q-0001Q2)｜Q=3000=9000元.
收入最大時的商品售價為P｜Q=3000=(6-0001Q)｜Q=3000=3元.
解法二用需求價格求解，設賣出的件數為Q，則價格函數為P=6-0001Q，
從而需求函數Q=6000-1000P.
需求價格彈性：E=PQ·dQdP=P6000-1000P(-1000)
=P6-P，令E=-1，即P6-P=-1.
可得收入最大時的價格P=3元／件.
收入函數R=P·Q=P(6000-1000P)=6000P-1000P2.
當P=3時，收入最大，其值R｜P=3=9000元.
解法三設Q為超過1000的件數，若賣出商品為1000+Q件時，每件售價應降低
001×Q10元.
從而商品的售價為P=5-001×Q10元／件.
總收入為R=(1000+Q)(5-001×Q10)=5000+4Q-0001Q2.
因dRdQ=4-0002Q＞0，Q＜2000；
=0，Q=2000；
＜0，Q＞2000.
故Q=2000件時，收入最大，其值R｜Q=2000=9000元.
商品售價：P｜Q=2000=5-001×200010=3元／件.
例6設某種產品的總成本(單位：萬元)是產量Q(單位台)的函數C=C(Q)=4Q2+38Q+384.求使平均成本最低的產量及最低平均成本.
解由C的表達式，有
C=CQ=4Q+38+384Q，而C′=8Q+38.
由C=C′，得8Q+38=4Q+38+384Q，
且得Q=3844=96=9798台(隻取Q＞0).