分析這是多元函數(無條件)極值問題.
解法一將總利潤表示為售價P1，P2的函數；
總收入函數為
R=P1q1+P2q2=24P1-02P21+10P2-005P22，
總利潤函數為L=R-C=(P1q1+P2q2)-［35+40(q1+q2)］
=32P1-02P21+12P2-005P22-1395.
由極值的必要條件，得方程組：
LP1=32-04P1=0，
LP2=12-01P2=0，其解為P1=80，P2=120.
由問題的實際含義可知，當P1=80，P2=120時，廠家所獲得的總利潤最大，其最大總利潤為L｜P1=80，P2=120=605.
解法二兩個市場的價格函數分別為P1=120-5q1和P2=200-20q2.
總收入函數為R=P1q1+P2q2
=(120-5q1)q1+(200-20q2)q2-［35+40(q1+q2)］
=80q1-5q21+160q2-20q22-35.
由極值的必要條件，得方程組
Lq1=80-10q1=0，
Lq2=160-40q2=0，其解為q1=8，q2=4.
由問題的實際含義可知，當q1=8，q2=4，即P1=80，P2=120時，廠家所獲的總利潤最大，其最大利潤為L｜q1=8，q2=4=605.
例2設生產某種產品需設入兩種要素，x1和x2分別為兩要素的投入量，Q為產出量；若生產函數為Q=2xα1xβ2，其中α，β為正常數，且α+β=1.假設兩種要素的價格分別為P1和P2，試問當產出量為12時，兩要素各投入多少可以使得投入的總費用最小.
分析：這是一個條件極值問題，約束條件為2xα1xβ2=12.
解構造拉格朗日函數
F(x1，x2；λ)=P1x1+P2x2+λ(12-2xα1xβ2)
令Fx1=P1-2λαxα-11xβ2=0，
Fx2=P2-2λβxα1xβ-12=0，
12-2xα1xβ2=0，(1)
(2)
(3)
由式(1)、(2)得P2P1=βx1αx2，x1=P2αP1βx2.
代入式(3)得x2=6P1βP2αα，x1=6P2αP1ββ.
因駐點惟一，且實際問題存在最小值，故計算結果說明x1=6P2αP1ββ，x2=6P1βP2αα時，投入總費用最小.
［解法總結］條件2xα1xβ2=12取對數，有αlnx1+βlnx2+ln6.這樣可構造拉格朗日函數
F(x1，x2，λ)=P1x1+P2x2+λ(ln6-αlnx1-βlnx2).
這樣可降低運算的複雜性，請讀者體會.
［真題在線］
例3(1999年)設生產某種產品必須投入兩種要素，x1和x2分別為兩要素的投入量，Q為產出量；若生產函數Q＝2xα1xβ2,其中α，β為正常數，且α＋β＝1，假設兩種要素的價格分別為p1和p2，試問：當產量為12時，兩要素各投入多少可以使得投入總費用最小?
分析本題實際上是一個多元函數條件極值問題，由於參數變量較多，在求解過程中要注意弄清自變量，應變量及參數.
解需要在產出量2xα1xβ2＝12的條件下，求總費用p1x1+p2x2的最小值，為此作拉格朗日函數.
F(x1，x2,λ)＝p1x1+p2x2+λ(12-2xα1xβ2)
令Fx1＝p1－2λaxα－11xβ2＝0(1)
Fx2＝p2－2λaxα1xβ－12＝0(2)
Fλ＝12－2xα1xβ2＝0(3)
則(1)和(2)得p2p1＝βx1αx2,x1＝p2αp1βx2
將x1代入(3)得x2＝6(p1βp2α)α，x＝6(p2αp1β)β
因駐點惟一，且實際問題存在最小值.
例4(2000年)假設某企業在兩個相互分割的市場上出售同一種產品，兩個市場的需求函數分別為
p1＝18－2Q1，p2＝12－Q2
其中p1和p2分別表示該產品在兩個市場的價格(單位：萬元/噸)，Q1和Q2分別表示該產品在兩個市場的銷售量(即需求量，單位：噸)並且該企業生產這種產品的總成本函數是
C＝2Q+5
其中Q表示該產品在兩個市場的銷售總量，即Q＝Q1＋Q2.
(1)如果該企業實行價格差別策略，試確定兩個市場上該產品的銷售量和價格，使該企業獲得最大利潤；
(2)如果該企業實行價格無差別策略，試確定兩個市場上該產品的銷售量及其統一的價格，使該企業的總利潤最大化；並比較兩種價格策略下的總利潤大小.
分析本題的關鍵是寫出總利潤與該產品在兩個市場上的銷售量Q1，Q2之間的關係，即寫出總利潤表達式.
解(1)根據題意，總利潤函數為
L＝R-C＝p1Q1+p2Q2-(2Q+5)
＝－2Q21-Q22+16Q1+10Q2-5
令LQ1＝－4Q1+16＝0
LQ2＝－2Q1+10＝0
解得Q1＝4，Q2＝5，則p1＝10(萬元/噸)，p2＝7(萬元/噸)
因駐點(4，5)唯一，且實際問題一定存在最大值，故最大值必在駐點處達到，最大利潤為
L＝－2×42-52+16×4+10×5－5＝52(萬元)
(2)若實行價格無差別策略，則p1＝p2，於是有約束條件
2Q1-Q2＝6
構造拉格朗日函數
F(Q1,Q2,λ)＝－2Q21-Q22+16Q1+10Q2-5+λ(2Q1-Q2-6)
令FQ1＝－4Q1+16+2λ＝0
FQ2＝－2Q1+10+λ＝0
Fλ＝2Q1+Q2-6＝0
解得Q1＝5，Q2＝4，λ＝2，則p1＝p2＝8.
最大利潤L＝－2×52-42+16×5+10×4－5＝49(萬元)
由上述結果可知，企業實行差別定價所得總利潤要大於統一價格的總利潤.
例5(2001年)設生產函數為Q＝ALαKβ，其中Q是產出量，L是勞動投入量，K是資本投入量，而A，α，β均為大於零的參數，則當Q＝1時K關於L的彈性為
應填-αβ
解當Q＝1時1＝ALαKβ
等式兩邊對L求導，得
0＝αALα－1Kβ+βALαKβ－1dKdL
解得dKdL＝－αKβL
由彈性計算公式知，K關於L的彈性為
dKdL·LK＝－αKβL·LK＝－αβ
四、預測試題測試
［知識掌握］
了解導數的經濟意義(含邊際與彈性的概念).
習題11
1已知某公司總收入為R=26x-2x2-4x3，總成本為C=8x+x2，其中x表示產品的產量.求利潤函數、邊際收入函數、邊際成本函數以及企業獲得最大利潤時的產量和最大利潤.
2某企業生產某種產品，年產量為a部，分成若幹批生產，每批生產準備費用b元.設產品均勻投入市場，平均庫存量為批量的一半，並設每年每部庫存費為C元.問如何選擇批量，使一年中庫存費與生產準備費之和最小.
3假設魚池中有xkg魚時，每公斤魚的捕撈成本是200010+x元，已知魚池中有1000kg魚，問從魚池中捕撈6000kg重需花多少成本?
4.小王欲購買汽車一輛，共需一次付清10萬元.他個人有存款4萬元，另外6萬元申請貸款，月利率1%，期限25年，試問小王每月要還多少錢?
5.設生產某產品用兩種原料：甲和乙，它們的單價分別為10元，15元.用x單位原料甲和y單位原料B可生產-x2+20xy-8y2單位的該產品，現要以最低成本生產112單位的該產品，問需要多少原料甲和乙?
6(1999年)設某種商品的單價為p時，售出的商品數量Q可以表示成Q＝ap+b-c.其中a、b、c均為正數，且a＞bc.
(1)求p在何範圍變化時，使相應銷售額增加或減少；
(2)要使銷售額最大，商品單價p應取何量?最大銷售額是多少?
7(1997年)在經濟學中，稱函數Q(x)＝A［δK-x+(1-δ)L－x］－x為固定替代彈性生產函數，而稱函數Q＝AKδL1－δ為Cobb-Douglas生產函數，(簡稱C－D生產函數).
試證明：當x→0時，固定替代彈性生產函數變為C－D生產函數，即有limx→0Q(x)＝Q.
答案與提示
1L=18x-3x2-4x3；R′=26-4x-12x2；C′=8+2x，x=1時獲最大利潤L｜x=1=11
2x=2abc
3182959元
463193元
5甲：4單位，乙：2單位.
6當0＜p＜bc(a-bc)時，R′＞0，所以隨單價的增加，相應銷售額也將增加.
當p＞bc(a-bc)時，有R′＜0.所以隨單價p的增加，相應銷售額將減少.
(2)由(1)可知，當p＝bc(a-bc)時，銷售額R取得最大值，最大銷售額為
Rmax＝abc-baabc-c＝(a-bc)2