第十章二重積分
二、熟知考綱考點
了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分(直角坐標、極坐標)的計算方法.會計算無界區域上的較簡單的二重積分.
二、本章知識串講
1概念
Df(x，y)dσ=limλ→0∑ni=1f(ξi，ηi)Δσi，
其中λ=max1≤i≤n｛λi｝，λi=Δσi的直徑，i=1，2，…，n.
幾何意義：當z=f(x，y)≥0，(x，y)∈D時，二重積分Df(x，y)dσ表示的是以z=f(x，y)為頂、以D為底的曲頂柱體之體積.
特別是f(x，y)≡1時，Ddσ等於區域D的麵積.
2性質
(1)D［af(x，y)±bg(x，y)］dσ=aDf(x，y)dσ±bDg(x，y)dσ.
(2)Df(x，y)dσ=D1f(x，y)dσ+D2f(x，y)dσ，其中D=D1+D2且D1與D2無重點.
(3)若f(x，y)≤g(x，y)，(x，y)∈D，則：Df(x，y)dσ≤Dg(x，y)dσ.
(4)若M，m分別為f(x，y)在閉區域D上的最大值與最小值，S是D的麵積，則
m·S≤Df(x，y)dσ≤M·S
(5)若f(x，y)在閉區域D上連續，S為D的麵積，則在D上至少存在一點(ξ，η)，使
Df(x，y)dσ=f(ξ，η)·S.
(6)對稱性：設D=D1+D2，且有
①若D1與D2關於x軸對稱，f(x，y)是y的奇函數或偶函數，則
Df(x，y)dσ=2D1f(x，y)dσ，若f(x，-y)=f(x，y)；
0，若f(x，-y)=-f(x，y).
②若D1與D2關於y軸對稱，f(x，y)是x的奇函數或偶函數，則
Df(x，y)dσ=2D1f(x，y)dσ，若f(-x，y)=f(x，y)；
0，若f(-x，y)=-f(x，y).
③若D1與D2關於原點對稱，f(x，y)同時為x，y的奇函數或偶函數，則
Df(x，y)dσ=2D1f(x，y)dσ，若f(-x，-y)=f(x，y)；
0，若f(-x，-y)=-f(x，y).
④若D1與D2關於直線y=x對稱，則
Df(x，y)dσ=Df(y，x)dσ.
3二重積分的應用
(1)曲麵的麵積：設曲麵Σ的方程為z=z(x，y)，Σ在xOy麵上的投影為Dxy，則Σ的麵積S為S=Dxy1+z′2x+z′2ydxdy.
特別是，若Σ=Dxy為xOy麵上的區域，則S=Dxydxdy.
(2)曲頂柱體的體積：設空間區域Ω是母線平行於z軸的柱體，其上頂曲麵Σ上：z=z上(x，y)，下頂曲麵Σ下：z=z下(x，y)，Ω在xOy麵上的投影是Dxy，則Ω的體積V=Dxy［z上(x，y)-z下(x，y)］dσ.
設平麵薄片的麵密度為ρ=ρ(x，y)，薄片在xOy麵上的投影為D，則：
(3)微元法：
微元法的基本思想是將積分區域的一個微小部分近似地看作無窮小.例如，在直角坐標係下，麵積元素可看作小矩形，dσ=dxdy；而在極坐標下，麵積元素又可看作兩個同心小扇形之差，Δσ=12(r+Δr2)Δθ-12r2Δθ=rΔrΔθ+12(Δr)2Δθ，舍去高階無窮小(Δr)2Δθ，則dσ=rdrdθ.
4二重積分的計算
二重積分Df(x，y)dσ的計算步驟如下：
(1)畫出積分區域D的草圖——這是正確計算二重積分的基礎；
(2)選擇坐標係——直角坐標係或極坐標係.這主要是根據積分區域D的形狀選擇，有時也應注意被積函數的形式：
①若積分區域D與圓域有關，如圓、圓環、圓扇形等等，則應使用極坐標係，在D與圓域有關的基礎上，被積函數f(x，y)還能表達為x2+y2或x/y或y/x的函數，則更應選用極坐標係計算二重積分Df(x，y)dσ：
Df(x，y)dσ=Df(rcosθ，rsinθ)rdrdθ.其中x=rcosθ，
y=rsinθ；dσ=rdrdθ
②否則，我們選擇直角坐標係計算二重積分Df(x，y)dσ：
Df(x，y)dσ=Df(x，y)dxdy，其中dσ=dxdy.
3選擇積分次序
(1)對於極坐標係下的二重積分I=Df(rcosθ，rsinθ)rdrdθ，往往采用先對r，後對θ的積分：
①I=∫βαdθ∫r2(θ)r1(θ)f(rcosθ，rsinθ)rdr，如圖10(a)所示；
②I=∫βαdθ∫r(θ)0f(rcosθ，rsinθ)rdr，如圖10(b)所示；
③I=∫2π0dθ∫r(θ)0f(rcosθ，rsinθ)rdr，如圖10(c)所示；
④I=∫2π0dθ∫r2(θ)r1(θ)f(rcosθ，rsinθ)rdr，如圖10(d)所示.
(2)對於直角坐標係下的二重積分I=Df(x，y)dxdy，有
①x—型區域.D：a≤x≤b，y1(x)≤y≤y2(x)，
則I=∫badx∫y2(x)y1(x)f(x，y)dy，如圖102(a)所示；
②y—型區域.D：c≤y≤d，x1(y)≤x≤x2(y)，
則I=∫dcdy∫x2(y)x1(y)f(x，y)dx，如圖102(b)所示.
［解法總結］在用直角坐標係計算二重積分，選擇積分次序時，不但要注意積分區域的形狀，還應注意被積函數的特點.
5二重積分的變量代換
設函數f(x，y)在區域D上連續，若
(1)變換：
x=x(u，v)，
y=y(u，v)將直角坐標係uv平麵上的區域D′一一對應地變換到直角坐標係xy平麵上的區域D.
(2)x(u，v)與y(u，v)在D′上連續，且有連續的一階偏導數
J=(x，y)(u，v)=x′ux′v
y′uy′v≠0，(u，v)∈D′，則
Df(x，y)dxdy=D′f［x(u，v)，y(u，v)］｜J｜dudv.
［解法總結］二重積分所作的變量代換的形式主要取決於積分區域D的形狀.當然也應兼顧被積函數f(x，y)的形式.(x，y)(u，v)=1(u，v)(x，y).
三、能力、思維、方法
［能力素質］
例1求I=Dxydxdy，其中D分別由下列曲線所圍成：
(1)(x2+y2)2=2(x2-y2)；(2)(x2+y2)2=2xy.
解(1)在D的方程(x2+y2)2=2(x2-y2)中，以-x代替x，方程不變，可知D關於y軸對稱；同樣可知D關於x軸也對稱.又f(x，y)=xy關於x為奇函數.所以有
I=Dxydxdy=0.
(2)因為D：(x2+y2)2=2xy關於原點對稱，又f(-x，-y)=(-x)(-y)=xy=f(x，y)
所以Df(x，y)dσ=Dxydxdy=2D1xydxdy.
D1為D在第一象限的部分，利用極坐標知
Df(x，y)dσ=2∫π20sinθcosxdθ∫sin2θ0r3dr=16.
［解法總結］在上麵的計算中，累次積分的上、下限的確定非常關鍵.由(x2+y2)2=2xy，令x=rcosθ，y=rsinθ，有r2=2sinθcosθ.
∴r=sin2θ(∵r＞0).而由sin2θ≥0知0≤θ≤π2.
例2求I=Dx［1+yf(x2+y2)］dxdy，D由y=x3，y=1，x=-1所圍成，f是連續函數.
解D如圖103所示，而
Dxdxdy=∫1-1dx∫1x3xdy
=∫1-1x(1-x3)dx=-25.
∵xyf(x2+y2)關於(x，y)是偶函數，且D1+D2關於原點對稱.
∴D2xyf(x2+y2)dxdy=D1xyf(x2+y2)dxdy，
則有Dxyf(x2+y2)dxdy=-1≤x≤10≤y≤1xyf(x2+y2)dxdy，
而區域：-1≤x≤1，0≤y≤1關於y軸對稱，xyf(x2+y2)是x的奇函數，所以-1≤x≤10≤y≤1xyf(x2+y2)dxdy=0，即Dxyf(x2+y2)dxdy=0.
故I=Dxdxdy+Dxyf(x2+y2)dxdy=-25+0=-25.
例3求下列二重積分：
(1)I=Dx2+y2dxdy，D由y=x與y=x4所圍成；
(2)I=D｜3x+4y｜dxdy，D為x2+y2≤1.
分析考察積分區域與被積函數的特點，選擇適當的方法求解.
解(1)雖然D與圓域無關，但被積函數與x2+y2有關，應選用極坐標.
∵x=rcosθ，y=rsinθ，代入y=x與y=x4得D的邊界方程為θ=π4，r=sin13θcos43θ，於是D：0≤θ≤π4，0≤r≤sin13θcos43θ.