-1212=12.
由-A2≤x≤A2,-A2≤y≤A2,得-A≤u+v≤A,-A≤v-u≤A,於是積分區域D變為區域D′,如圖108所示.
所以Df(x-y)dxdy=D′f(u)12dudv
=12∫0-Af(u)du∫u+A-u-Adv+12∫A0f(u)du∫A-uu-Adv
=∫0-A(A+u)f(u)du+∫A0(A-u)f(u)du.
=∫0-A(A-|u|)f(u)du+∫A0(A-|u|)f(u)du
=∫A-Af(u)(A-|u|)du=∫A-Af(t)(A-|t|)dt.
例12已知f(x)在[0,a]上連續,證明2∫a0f(x)∫axf(y)dydx=∫a0f(x)dx2.
解法一如圖109所示設區域D:0≤x≤a,0≤y≤a,
則I=Df(x)f(y)dxdy=∫a0f(x)dx∫a0f(y)dy=∫a0f(x)dx2.
又I=D1f(x)f(y)dxdy+D2f(x)f(y)dxdy=I1+I2.
其中I1=∫a0f(x)dx∫axf(y)dy,
I2=∫a0f(y)dy∫ayf(x)dx=∫a0f(x)dx∫axf(y)dy.
所以2∫a0f(x)dx∫axf(y)dy=∫a0f(x)dx2.
解法二利用原函數的概念.
令F(t)=∫t0f(τ)dτ(0≤t≤a),則F′(t)=f(t)(0≤t≤a),
且F(0)=0,F(a)=∫a0f(τ)dτ.於是
∫a0f(x)dx∫axf(y)dy=∫a0f(x)∫a0f(y)dy-∫x0f(y)dydx
=∫a0f(x)F(a)-F(x)dx
=∫a0F(a)-F(x)dF(x)
=[F(a)F(x)-12F2(x)]a0.
=12[F(a)]2=12[∫a0f(x)dx]2,
所以本題得證.
例13(1999年)計算二重積分Dydxdy,其中D是由直線x=-2,y=0,v=2以及曲線x=-2y-y2所圍成的平麵區域.
分析首先畫積分域D的圖形(圖10,10),本題有三種方法可以用,一種是利用
Dydxdy=D+D1ydxdy-D1ydxdy
D+D1是正方形域易積分;D1是半圓域,可用極坐標積分;另一種方法是把原積分直接在直坐標下化為先x後y的積分進行計算;第三種方法是借助於形心計算公式.
解1Dydxdy==D+D1ydxdy-D1ydxdy
而D+D1ydxdy=∫0-2dx∫20ydy=4
Dydxdy=∫ππ2dθ∫2sinθ02sinθdr
=83∫ππ2sin4θdθ
=83∫π2sin4θdθ=83×34×12×π2
=π2
於是Dydxdy=4-π2
解2Dydxdy=∫20dy∫-2y-y2-2ydx
=2∫20ydy-∫20y2y-y2dy
=4-∫20y1-(y-1)2dy
令y-1=sinx,則∫20y1-(y-1)2dy=∫π2-π2(1+sint)cos2tdt=π2.
於是Dydxdy=4-π2
Δ解3由形心公式
y=DydxdySD
知Dydxdy=y·SD其中y為D的形心y坐標,由D的圖形不難看出y=1,SD為積分域D的麵積,該麵積應為正方形減去半圓,即SD=4-π2.
則Dydxdy=4-π2.
例14(2000年)計算二重積分Dx2+y24a2-x2-y2dσ,其中D是由曲線y=-a+a2-x2(a>0)和直線y=-x圍成的區域.
分析先畫積分域草圖(圖9-11).由於本題不論從被積函數,還是從積分域看都適合用極坐標.
解Dx2+y24a2-x2-y2dθ
=∫2-π4dθ∫-2asinθ0r24a2-r2dr
=r=2asint∫0-π4dθ∫-θ02a2(1-cos2t)dt
=2a2∫0-π4(-θ+12sin2θ)dθ=a2(π216-12)
例15(2001年)求二重積分Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy的值,其中D是由直線y=x,y=-1及x=1圍成的平麵區域.
解1麵積分域如圖9-12
Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy
=Dydxdy+Dxye12(x2+y2)dxdy
其中Dydxdy=∫1-1dy∫1yydx=∫1-1y(1-y)dy
=-23
解2Dxye12(x2+y2)dxdy=∫1-1ydy∫1yxe12(x2+y2)dx
=∫1-1y[e12(x2+y2)ey2]dy=0(被積函數是奇函數)
於是Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy=-23
例16(2001年)求二重積分Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy的值,其中D是由直線y=x,y=-1及x=1圍成的平麵區域.
解1Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy
=Dydxdy+Dxye12(x2+y2)dxdy
其中Dydxdy=∫1-1dy∫1yydx=∫1-1y(1-y)dy
=-23
Dxye12(x2+y2)dxdy
=∫1-1ydy∫1yxe12(x2+y2)dx
=∫1-1y[e12(x2+y2)-ey2]dy=0(被積函數是奇函數)
於是Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy=-23
Δ解2將本題積分域用y=-x劃分為兩部分D1和D2,如圖9-14.
Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy
=Dydxdy+Dyxe12(x2+y2)dxdy
又Dyxe12(x2+y2)dxdy
=D1yxe12(x2+y2)dxdy+D2yxe12(x2+y2)dxdy
由於上式兩個積分的被積函數xye12(x2+y2)既是x的奇函數,也是y的奇函數,而D1關於y軸左、右對稱,D2關於x軸上下對稱,所以上式中兩個積分都為零,則
Dxye12(x2+y2)dxdy=0
同理Dydxdy=D1ydxdy+D2ydxdy
=D1ydxdy
由形心計算公式知D1ydxdySD1=y.
其中SD1為區域D1的麵積,顯然D1=1,y可為三角形域D1形心的y坐標,此三角形形心y坐標為-23.
由此可得
D1ydxdy=-23
從而
Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy=-23
四、預測試題測試
[知識掌握]
熟練掌握利用直角坐標係和極坐標係將二重積分化為二次積分及其計算的方法;掌握曲麵麵積的計算.
習題10
1計算Dxx2+y2dxdy,其中D為y=x22和y=x所圍成的閉區域.
2計算Dydxdy,其中D由橫軸與擺線的一拱x=R(t-sint),
y=R(1-cost)(0≤t≤2R)所圍成的閉區域.
3求D(x+2y)dxdy,其中D由y=x2及y=x所圍成.
4計算Dexydxdy,其中D是由x=0,y=1及y2=x所圍成的曲邊三角形閉區域.
5求Darctgyxdxdy,其中D是圓x2+y2=4,x2+y2=1及直線y=x,y=0所圍成的在第一象限內的閉區域.
6計算Dsin(x2+y2)dxdy,其中D由x2+y2≤4π2,x2+y2≥π2所確定.
7計算Dxx2+y2dxdy,其中D由雙紐線(x2+y2)2=a2(x2-y2)(x≥0)所圍成.
8設f(x)是連續函數,證明∫Xx0dx∫xx0(x-y)nf(y)dy=1n+1∫Xx0(X-y)n+1f(y)dy.
9設區域D為x2+y2≤r2,f(x,y)在D上連續,求證limr→01πr2Df(x,y)dxdy=f(0,0).
[真題演練]
10(98年)設D={(x,y)|x2+y2≤x},求Dxdxdy.
11(99年)設f(x,y)連續,且f(x,y)=xy+Df(u,v)dudv.其中D是由y=0,y=x2,x=1所圍區域,則f(x,y)等於
(A)xy(B)2xy(C)xy+18(D)xy+1
答案與提示
1ln2252πR33920412
5364π26-6π272152a48證明(略)
9證明(略)
10815
11(C)