第九章多元函數微分學
§9.1二元函數及其極限、連續性、偏導數和全微分
一、熟知考綱考點
1了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義.
2了解二元函數的極限與連續的直觀意義，了解有界閉區域上二元連續函數的性質.
3了解多元函數偏導數與全微分的概念和全微分的方法.
二、本節知識串講
1二元函數
設D是平麵中的一個點集，如果對於D中每個點(x，y)，按照某一確定的對應關係，變量z都有一個數值與它對應，則稱z為x，y的二元函數，記作z=f(x，y).其中x和y稱為自變量，z稱為因變量，D稱為函數的定義域.
［解法總結］二元函數定義域的確定方法與一元函數定義域的確定方法類似.
2二元函數的極限
設z=f(x，y)在點P0(x0，y0)的某鄰域內有定義(P0可以除外)，若對任意給定的正數ε總存在一個正數δ，使得當0＜(x-x0)2+(y-y0)2＜δ時，恒有f(x，y)-A＜ε，則稱A為函數f(x，y)，當x→x0，y→y0時的極限.記作
limx→x0y→y0f(x，y)=A.
［解法總結］上述定義表明：動點(x，y)無限接近於定點(x0，y0)時，函數f(x，y)與常數A無限地接近.至於動點(x，y)沿什麼路線和什麼方向趨向於定點(x0，y0)是沒有限製的.
因此，若我們可以找到兩條不同的路線，當動點(x，y)沿這兩條路線趨向於定點(x0，y0)時，對應的極限值limx→x0y→y0f(x，y)不相同，則可斷定limx→x0y→y0f(x，y)不存在.這是證明多元函數極限不存在的有效方法.
3二元函數的連續性
設點(x0，y0)是f(x，y)的定義域D內的聚點，則z=f(x，y)在(x0，y0)處連續的充要條件是limx→x0y→y0f(x，y)=f(x0，y0).
若二元函數f(x，y)在區域D內處處連續，則稱f(x，y)在D內連續.
函數不連續的點稱為函數的間斷點.並有
①二元初等函數在其定義域內連續；
②在有界閉區域D上的二元連續函數，在D上取得最大值與最小值；
③在有界閉區域D上的二元連續函數，若在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介於這兩個值之間的任何值.
4偏導數
設z=f(x，y)在點(x0，y0)的鄰域內有定義，若極限limΔx→0f(x0+Δxy0)-f(x0，y0)Δx存在，則稱此極限值為z=f(x，y)在點(x0，y0)處對x的偏導數，記作f′x(x0，y0)或zx
(x0，y0)，等等.
同樣定義：f′y(x0，y0)=limΔy→0f(x0，y0+Δy)-f(x0，y0)Δy.
注意與一元函數類似，二元分段函數在分段點處的偏導數，必須用偏導數的定義求解，而不能直接用求導公式求解.
5全微分
設z=f(x，y)，若全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中ρ=(Δx)2+(Δy)2.A，B與Δx，Δy無關，則稱函數z=f(x，y)在點(x，y)處可微，AΔx+BΔy稱為f(x，y)在點(x，y)處的全微分，記為
dz=Adx+Bdy.
若z=f(x，y)在點(x，y)處可微，則在該點處zx，zy必存在，且dz=zxdx+zydy.
若zx，zy在點(x，y)處的某鄰域內存在，且zx，zy在(x，y)處連續，則z=f(x，y)在點(x，y)處可微.
若z=f(x，y)的二階混合偏導數f″xy，f″yx連續，則有f″xy=f″yx.
注意“→”表示可以推導出；“→＼”表示不一定可推導出.
三、能力、思維、方法
［能力素質］
6二元函數連續、偏導數存在(可導)、可微之間的關係
二、典型例題與解題方法和技巧
例1求函數z=ln(y-x2)-1-y-x2的定義域.
解如圖91所示，顯然函數的定義域為y-x2＞0；
1-y-x2≥0，
該定義域是拋物線y=x2之上方(不含y=x2上之點)與拋物線y-1=x2及其下方的公共部分.
例2已知f(x+y，yx)=x2-y2，求f(x，y).
分析一般，已知f(u，v)=g(x，y)，欲求f(x，y)，則隻須求出f(u，v)，以x=x(u，v)，y=y(u，v)代入等式右端即可.
解令u=x+y，v=yx，則x=u1+v，y=uv1+v，且
f(u，v)=x2-y2=u1+v2-uv1+v2=u2(1-v)1+v，
故有f(x，y)=x2(1-y)1+y.
另解
∵f(x+y，yx)=x2-y2=(x+y)(x-y)=(x+y)2x-yx+y
=(x+y)21-y/x1+y/x，
∴f(x，y)=x21-y1+y.
例3求下列函數的極限：
(1)limx→0y→02-xy+4xy；(2)limx→0y→01-cos(x2+y2)(x2+y2)x2y2；
(3)limx→0y→0xyx2+y2；(4)limx→0y→0x2+y2x2+y2+1-1.
解(1)原式=limx→0y→04-xy-4xy(2+xy+4)=limx→0y→0-12+xy+4=-14.
(2)原式
=limx→0y→012(x2+y2)2(x2+y2)x2y2=limx→0y→012x2+y2x2y2=limx→0y→0121y2+1x2=+∞.
另解引入極坐標：x=rcosθ，y=rsinθ，r=x2+y2，則
原式=limr→01-cosr2r4·r2sin2θcos2θ=limr→0sin2r22·12r222·r2sin2θcos2θ=+∞.
(3)因為0≤xyx2+y2≤12·x2+y2x2+y2=12x2+y2.
而limx→0y→012x2+y2=0，所以limx→0y→0xyx2+y2=0.
(4)化為一元函數的極限計算：
令x2+y2+1=t，則x→0，y→0時，t→1.
於是，原式=limt→1t2-1t-1=limt→1(t+1)=2.
另解原式=limx→0y→0(x2+y2)x2+y2+1+1x2+y2+1-1x2+y2+1+1
=limx→0y→0x2+y2+1+1=2.
例4證明下列函數在(0，0)處極限不存在：
(1)z=x2yx4+y2；(2)z=x2y2x2y2+(x-y)2.
解(1)當動點沿曲線y=kx2趨向於(0，0)時，有
limx→0y→0x2yx4+y2=limx→0kx4(1+k2)x4=k1+k2.
其值隨著k的不同而不同，所以函數在(0，0)處的極限不存在.
(2)當動點沿直線y=0趨向於(0，0)時，有
limx→0y→0x2y2x2y2+(x-y)2=limx→0x2·02x2·02+(x-0)2=0；
而動點沿直線x-y=0趨向於(0，0)時，有
limx→0y→0x2y2x2y2+(x-y)2=limx→0x4x4=1.
故函數在(0，0)處的極限不存在.
例5討論下列函數的連續性：
(1)z=xyx+y；(2)z=xy·x2-y2x2+y2，x2+y2≠0；
0，x2+y2=0.
解(1)分母x+y=0之點是函數無定義之點，所以直線x+y=0上的一切點均為函數的間斷點.
(2)顯然，函數除(0，0)外，處處連續.
設x=rcosθ，y=rsinθ，則r=x2+y2，
xy·x2-y2x2+y2=r2cosθ·sinθ·r2(cos2θ-sin2θ)r2=r24sin4θ.
顯然，0≤xy·x2-y2x2+y2=r24sin4θ≤r24.
由此可知r→0時，f(x，y)→0，故
limx→0y→0xy·x2-y2x2+y2=0=f(0，0).
所以，函數在xOy平麵上連續.
例6研究下列函數在(0，0)處是否連續，偏導數是否存在，是否可微.
(1)z=f(x，y)=x2+y2；
(2)z=f(x，y)=(x2+y2)sin1x2+y2，x2+y2≠0，
0，x2+y2=0.
解(1)f(x，y)=x2+y2處處有定義，處處連續，但f′x(0，0)和f′y(0，0)不存在.
limΔx→0f(Δx，0)-f(0，0)Δx=limΔx→0｜Δx｜Δx不存在，
limΔx→0f(0，Δy)-f(0，0)Δy=limΔy→0｜Δy｜Δy不存在.
由此知f(x，y)=x2，y2在(0，0)處不可微.
(2)f(x，y)處處連續，因limx→0y→0(x2+y2)=0，sin1x2+y2≤1，
所以limx→0y→0f(x，y)=limx→0y→0(x2+y2)·sin1x2+y2=0=f(0，0).
f′x(0，0)=limΔx→0f(Δx，0)-f(0，0)Δy=limΔx→0Δx·sin1(Δx)2=0，
f′y(0，0)=limΔy→0f(0，Δy)-f(0，0)Δy=limΔy→0Δy·sin1(Δy)2=0.
且f(x，y)在點(0，0)處可微，因為
limx2+y2→0f(x，y)-xf′x(0，0)-yf′y(0，0)x2+y2=limx2+y2→0(x2+y2)sin1x2+y2x2+y2=0.
另外，f(x，y)在點(0，0)處的偏導數不連續，因為當(x，y)≠(0，0)時，
f′x(x，y)=2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2，
顯然limx→0y→0f′x(x，y)不存在.
例7證明f(x，y)=｜xy｜在點(0，0)處連續，f′x(0，0)、f′y(0，0)存在，但在(0，0)處不可微.
證∵limx→0y→0f(x，y)=limx→0y→0｜xy｜=0=f(0，0)，
∴f(x，y)在(0，0)處連續.
f′x(0，0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0，0)Δx=0，同理：f′y(0，0)=0.
考慮動點(x，y)沿直線y=x趨於(0，0)時，有
Δf-f′x(0，0)Δx+f′y(0，0)Δyρ=｜Δx｜｜Δy｜(Δx)2+(Δy)2=(Δx)2(Δx)2+(Δx)2
=12→／ρ→0時0，
所以函數f(x，y)=｜xy｜在(0，0)處不可微.
例8求由方程xyz-x2+y2+z2=-1所確定的函數z=z(x，y)在點(0，0，1)處的全微分.
解方程xyz-x2+y2+z2=-1兩邊對x求偏導數，有
yz+xy·z′x-x+z·z′xx2+y2+z2=0.
令x=y=0，z=1，解出
z′x
(0，0，1)=x-yzx2+y2+z2xy·x2+y2+z2-z
(0，0，1)=0.
由對稱性得z′y
(0，0，1)=y-xzx2+y2+z2xyx2+y2+z2-z
(0，0，1)=0，
故dz
(0，0，1)=0.
§82多元函數微分法
一、熟知考綱考點
掌握求多元複合函數偏導數，會用隱函數的求導法則，二階偏導數.
二、本節知識串講
1複合函數微分法
多元複合函數的構成分為以下三種情況：
(1)多個中間變量，一個自變量：
設u=f(x，y，z)，x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，且以上函數均可微，則dudt=fx·dxdt+fy·dydt+fz·dzdt，變量間的關係可表示為：
(2)多個中間變量，多個自變量：
設u=f(x，y，z)，x=x(s，t)，y=y(s，t)，z=z(s，t)，且f可微，x，y，z的偏導數存在，則
us=fx·xs+fy·ys+fz·zs，
ut=fx·xt+fy·yt+fz·zt.
變量間的關係可表示為：
(3)一個中間變量，多個自變量的情況：
設u=f(x)，x=x(s，t)，f，x可導，則
us=dfdx·xs，ut=dfdx·xt.
變量間的關係可表示為：uxst
上麵的公式稱為鏈法則.
為方便計，對u=f(x，y，z)，用f′1、f′2、f′3分別表示fx、fy、fz.高階偏導數的記法亦類似.
2隱函數的微分法
(1)二元隱函數F(x，y)=0所確定的函數y=y(x)，有
y′=dydx=-F′x(x，y)F′y(x，y)(F′y(x，y)≠0).
(2)三元隱函數F(x，y，z)=0所確定的函數z=z(x，y)，有
zx=-F′x(x，y，z)F′z(x，y，z)，zy=-F′y(x，y，z)F′z(x，y，z)(F′z(x，y，z)≠0).
(3)方程組的微分法
比如方程組F(x，y，z)=0，
G(x，y，z)=0，()確定隱函數y=y(x)，z=z(x)，則dydx，dzdx的求法如下：方程組()的兩邊對x求導，有
F′x+F′ydydx+F′z·dzdx=0，
G′x+G′ydydx+G′zdzdx=0為F′y·dydx+F′z·dzdx=-F′x
G′ydydx+G′z·dzdx=-G′x
將dydx，dzdx看作未知元，用克萊姆法則求解其方程組，其他情況類似.
(4)一階微分形式的不變性：
例如z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)均有連續編導數，則
dz=zudu+zvdv=zxdx+zydy.
注意在多元函數微分學的討論中，讀者應注意掌握基本方法，而不應刻意地死套公式.
二、典型例題與解題方法和技巧
例1設z=exysin(x+y).求zx及zy.
解令u=xy，v=x+y，這時z=eusinv.根據鏈法則，有
zx=zu·ux+zv·vx=eusinv·y+eucosv·1
=exy［ysin(x+y)+cos(x+y)］.
zy=zu·uy+zv·vy=eusinv·x+eu·cosv·1
=exy［xsin(x+y)+cos(x+y)］.
［解法總結］事實上，求出zx後，利用對稱性即可得出zy.
例2設z=x2yf(x2-y2，xy)，求zx，zy.
分析若直接設中間變量u=x2y，v=x2-y2，w=xy，利用鏈法則求導將很麻煩.我們應先用乘法公式，再用鏈法則求偏導數，這樣可使問題簡化.
解∵zx=［x2yf(x2-y2，xy)］′x
=2xyf(x2-y2，xy)+x2y［f(x2-y2，xy)］′x，
而對［f(x2-y2)xy］′x用複合函數求偏導數的公式.設u=x2-y2，v=xy，則
［f(x2-y2，xy)］′x=fu·ux+fv·vx=2xfu+yfv.
所以zx=2xyf(x2-y2，xy)+2x3yfu+x2y2fv，
同樣zy=x2f(x2-y2，xy)+2x2y2fu+x3yfv.
例3試證f(x，y，z)為n次齊次函數的充要條件是xf′x+yf′y+zf′z=nf，其中若對任意正數t，f(tx，ty，tz)=tnf(x，y，z)，則稱f為n次齊次函數.
證必要性：由等式f(tx，ty，tz)=tnf(x，y，z)，兩邊對t求導，得(其中u=tx，v=ty，w=tz)：
xf′u+yf′v+zf′w=ntn-1f(x，y，z)，
txf′u+tyf′v+tzf′w=ntnf(x，y，z)=nf(tx，ty，tz)，
∴uf′u+vf′v+wf′w=nf(u，v，w).
充分性：記F(t)=f(tx，ty，tz)，則
dFdt=xf′u+yf′v+zf′w=1t［txf′u+tyf′v+tzf′w］
=1t［uf′u+vf′v+wf′w］，
∴dFdt=1tnf(u，v，w)=ntF(t).解此微分方程，有F(t)=Ctn，所以f(tx，ty，tz)=Ctn，取t=1，得
f(x，y，z)=C.
於是f(tx，ty，tz)=tnf(x，y，z).所以f(x，y，z)是n次齊次函數.
例4求w=yx2+y2+z2的全微分及三個一階偏導數.
解由微分公式，得
dw=(x2+y2+z2)dy-yd(x2+y2+z2)(x2+y2+z2)2
=(x2+y2+z2)dy-y(2xdx+2ydy+2zdz)(x2+y2+z2)2
=-2xydx+(x2-y2+z2)dy-2yzdz(x2+y2+z2)2，
由此可得
wx=-2xy(x2+y2+z2)2，wy=x2-y2+z2(x2+y2+z2)2，wz=-2yz(x2+y2+z2)2.