解(1)∵zx=-yx2+y2，zy=xx2+y2，
∴當x=1，y=1時，zx=-12，zy=12.
故切平麵方程為z-π4=-12(x-1)+12(y-1)，即2z+x-y-π2=0.
法線方程為x-1-12=y-112=z-π4-1，
即x-11=y-1-1=z-π42.
(2)設F(x，y，z)=z-y-lnxz，
∵Fx=-1x，Fy=-1，Fz=1+1z，
∴在點M(1，1，1)處，Fx=-1，Fy=-1，Fz=2.
故切平麵方程為-(x-1)-(y-1)+2(z-1)=0，即x+y-2z=0.
法線方程為x-1-1=y-1-1=z-12.
例4試證曲麵F(ax-bz，ay-cz)=0的所有切平麵都與某定直線平行，其中F(u，v)可微.
解將x，y看作自變量，z看作x，y的二元函數.由F(ax-bz，ay-cz)=0分別對x，y求偏導數得
F′ua-bzx+F′v-czx=0，
F′u-bzy+F′va-czy=0.
解得zx=aF′ubF′u+cF′v，zy=aF′vbF′u+cF′v，曲麵上任一點處切平麵的法向量為
n=aF′ubF′u+cF′v，aF′vbF′u+cF′v-1.
直線L：xb=yc=za的方向向量S=｛b，c，a｝，
因為n·S=baF′ubF′u+cF′v+caF′vbF′v+cF′v-a=0，
所以曲麵上任一點處的切平麵與定直線L平行.
§9.4多元函數的極值
一、本節知識串講
1.極值
設函數f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內有定義，若對該鄰域中任一點(x，y)都有
f(x，y)≤f(x0，y0)f(x，y)≥f(x0，y0)，
則稱f(x0，y0)為f(x，y)的一個極大(小)值；稱(x0，y0)為f(x，y)的一個極大(小)值點.極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點.
2.極值的必要條件
若函數f(x，y)在點(x0，y0)處取得極值，且f′x(x0，y0)、f′y(x0，y0)存在，則必有
f′x(x0，y0)=0，f′y(x0，y0)=0.
3駐點
若f′x(x0，y0)=0，f′y(x0，y0)=0，則稱點(x0，y0)為函數z=f(x，y)的駐點.
［應試陷阱］(x0，y0)為函數f(x，y)的極值點→／／(x0，y0)為函數f(x，y)的駐點.
4極值的充分條件
設z=f(x，y)在P0(x0，y0)的某鄰域內有連續的二階偏導數，且f′x(x0，y0)=0，f′y(x0，y0)=0，則
(1)Δ=f″xy(x0，y0)2-f″xx(x0，y0)·f″yy(x0，y0)＜0則P0(x0，y0)是z=f(x，y)的一個極值點，且
若f″xx(x0，y0)＞0(或f″yy(x0，y0)＞0)，則P0(x0，y0)為z=f(x，y)的極小值點；
若f″xx(x0，y0)＜0(或f″yy(x0，y0)＜0)，則P0(x0，y0)為z=f(x，y)的極大值點.
(2)Δ＞0時，P0(x0，y0)不是z=f(x，y)的極值點.
(3)Δ=0時，不能確定P0(x0，y0)是否為z=f(x，y)的極值點.
5.條件極值
(1)在自變量滿足某些約束條件下的極值問題稱為條件極值問題，使條件極值達到的點稱為條件極值點.
(2)拉格朗日乘數法：
求z=f(x，y)在條件φ(x，y)=0下的極值.
構造輔助函數F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，則函數z=f(x，y)在條件φ(x，y)=0下取得極值的必要條件是(x0，y0)滿足
F′x=f′x+λφ′x=0，
F′y=f′y+λφ′y=0，
F′λ=φ(x，y)=0.
求u=f(x，y，z)在條件φ(x，y，z)=0與ψ(x，y，z)=0下的極值.構造輔助函數F(x，y，z，λ，μ)=f(x，y，z)+λφ(x，y，z)+μψ(x，y，z)，則u=f(x，y，z)在條件φ(x，y，z)=0與ψ(x，y，z)=0下取得極值的必要條件是(x0，y0，z0)滿足：
F′x=f′x+λφ′x+μψ′x=0，
F′y=f′y+λφ′y+μψ′y=0，
F′z=f′z+λφ′z+μψ′z=0，
F′λ=φ(x，y，z)=0，
F′μ=ψ(x，y，z)=0.
6函數的最值
設z=f(x，y)在有界閉域D上連續，則f(x，y)在D上一定存在最大值與最小值.它或在D的內點達到，或在D的邊界點達到.
在實際問題中，若f(x，y)在D內隻有一個駐點，則f(x，y)在該點的值就是所求的最大(小)值.
三、能力、思維、方法
［能力素質］
例1求函數f(x，y)=x3+y3-3x2-3y2的極值.
解先求駐點.解方程組fx=3x2-6x=0，
fy=3y2-6y=0，解得x1=0，x2=2和y1=0，y2=2.
故駐點為(0，0)、(0，2)、(2，0)、(2，2)且該函數不存在不可微點.
再利用極值的充分條件判定，先求二階導數再求極值為
f″xx=6x-6，f″xy=0，f″yy=6y-6；
Δ=B2-AC=0-(6x-6)(6y-6)=-36(x-1)(y-1).
列出下表判定極值：
駐點Δ=B2-ACA是否極值點極值(0，0)-36＜0-6＜0是極大值點極大值為0(0，2)36＞0否(2，0)36＞0否(2，2)-36＜06＞0是極小值點極小值為-8
所以f(0，0)=0是函數的極大值；f(2，2)=-8為函數的極小值.
例2在第一卦限內作橢球麵x2a2+y2b2+z2c2=1的切平麵，使得切平麵與三坐標麵所圍成的四麵體的體積最小，求切點的坐標.
解過第一象限內橢球麵上一點(x，y，z)的切平麵方程為
xa2(X-x)+yb2(Y-y)+zc2(Z-z)=0，
即xa2X+yb2Y+zc2Z=1.
它在坐標軸上的截距分別為a2x，b2y，c2z，故它與三坐標麵圍成的四麵體體積為
V=a2b2c26xyz，
要使V最小，隻須f(x，y，z)=xyz取最大值.這裏(x，y，z)在橢球麵上，且x，y，z≥0.
令F(x，y，z)=xyz+λx2a2+y2b2+z2c2-1，
由Fx=yz+2λa2x=0，
Fy=xz+2λb2y=0，
Fz=xy+2λc2z=0，
x2a2+y2b2+z2c2=1，
解得x0=33a，y0=33b，z0=33c.顯然33(a，b，c)就是所求的切點.
例3求函數z=x2-xy+y2在區域｜x｜+｜y｜≤1上的最大值和最小值.
解令zx=2x-y=0，zy=-x+2y=0，解得x=0，y=0，函數z=x2-xy+y2有惟一駐點(0，0)，且z
(0，0)=0.
在在區域邊界上：
第一象限內：x+y=1，x≥0，y≥0；第三象限內：x+y=-1，x≤0，y≤0，
z=x2+y2-xy=34(x-y)2+14(x+y)2
=14+34(x-y)2，有14≤z≤1.
在第二象限內：x-y=-1，x≤0，y≥0；第四象限內：x-y=1，x≥0，y≤0，
z=x2-xy+y2=34+14(x+y)2，有34≤z≤1.
函數z=x2-xy+y2在區域｜x｜+｜y｜≤1上最大值為1，最小值為0.
例4設x＞0，y＞0，z＞0，求u=lnx+2lny+3lnz在球麵x2+y2+z2=6R2上的最大值.並證明對任何正數a，b，c有ab2c3≤108a+b+c66.
解設F(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz+λ(x2+y2+z2-6R2)，則
F′x=1x+2λx=0，
F′y=2y+2λy=0，
F′z=3z+3λz=0，
x2+y2+z2=6R2.
可解得x=R，y=2R，z=3R，此時函數lnx+2lny+3lnz取得最大值，所以
lnx+2lny+3lnz≤lnR+2ln2R+3ln3R，因而
xy2z3≤63R6，
x2y4z6≤108x2+y2+z266.
故ab2c3≤108a+b+c66.
［真題在線］
例5(1999年)設生產某種產品必須投入兩種要素，x1和x2分別為兩要素的投入量，Q為產出量；若生產函數為Q＝2xα1xβ2，其中α,β為常數，且α＋β＝1，假設兩種要素的價格分別為p1和p2，試問：當產出量為12時，兩要素各投入多少可以使得投入總費用最少.
分析本題實際上是一個多元函數條件極值問題，由於參數變量較多，在求解過程中要注意弄清自變量，應變量及參數.
解需要在產出量2xα1xβ2＝12的條件下，求總費用p1x1+p2x2的最小值，為些作拉格朗日函數.
F(x1，x2，λ)＝p1x1+p2x2+λ(12-2xα1xβ2)
令Fx1＝p1-2λαxα-11xβ2＝0
Fx2＝p2-2λβxα1xβ－12＝0
Fλ＝12-2xα1xβ2＝0
由(1)和(2)得p2p1＝βx1αx2,x1＝p2αp1βx2
將x1代入(3)得x2＝6p1βp2α，x1＝6p1αp2ββ
因駐點惟一，且實際問題存在最小值.故x1＝6p1αp2ββ，x2＝p1βp2αα時，投入總費用最小.
例6(2000年)假設某企業在兩個相互分割的市場上出售同一種產品，兩個市場的需求函數分別是p1＝18－2Q1，p2＝12－2Q2，其中p1和p2分別表示該產品在兩個市場的價格(單位：萬元/噸)，Q1和Q2分別表示該產品在兩個市場的銷售量(即需求量：單位：噸)，並且該企業生產這種產品的總成本函數是C＝2Q＋5，其中Q表示產品在兩個市場的銷售總量，即Q＝Q1+Q2.
(1)如果該企業實行價格差別策略，試確定兩個市場上該產品的銷售量和價格，使該企業獲得最大利潤；
(2)如果該企業實行價格無差別策略，試確定兩個市場上該產品的銷售量及其統一的價格，使該企業的總利潤最大化；並比較兩種價格策略下的總利潤大小.
分析本題關鍵是先寫出總利潤與該產品在兩個市場上的銷售量Q1，Q2之間的關係，即寫出總利潤的表達式
解(1)由題意可知總利潤函數為
L＝R-C＝p1Q1+p2Q2-(2Q+5)
＝-2Q21-Q22+16Q1+10Q2-5
令L′Q1＝－4Q1+16＝0
L′Q2＝－2Q2+10＝0
解得Q1＝4,Q2＝5，則p1＝10(萬元/噸)，p2＝7(萬元/噸)
因駐點(4，5)惟一，且根據問題背景最大值存在，故最大值在點(4，5)達到，最大利潤為
L＝－2×42-52+16×4+10×5－5＝52(萬元)
(2)若實行價格無差別策略，則p1＝p2,於是有約束條件
2Q1-Q2＝6
構造拉格朗日函數
F(Q1,Q2,λ)＝－2Q21-Q22+16Q1+10Q2-5+λ(2Q1-Q2-6)
令F′Q1＝－4Q1+16+2λ＝0
F′Q2＝－2Q2+10-λ＝0
F′λ＝2Q1-Q2-6＝0
解得Q1＝5，Q2＝4，λ＝2，則p1=p2=8
最大利潤L＝－2×52－42+16×5+10×4-5＝49(萬元)
由上述結果可知，企業實行差別定價所得總利潤要大於統一價格的總利潤.(2)也可不必利用拉格朗日函數進行計算，隻需將Q2＝2Q1－3代入總利潤函數中，令LQ1＝0，易解得Q1＝5.
四、預測試題測試
［知識掌握］
熟練掌握偏導數、全微分、多元複合函數的求導法則；掌握空間曲線的切線及法平麵；掌握曲麵的切平麵與法線；掌握隱函數的微分法；了解必要條件和極值的充分條件；會求條件極值、最值問題及應用.
習題9
1設函數f(x，y)=xsin1y+ysin1x，xy≠0，
0，xy=0，討論下列三種極限的存在性：
(1)lim(x，y)→(0，0)f(x，y)；(2)limx→0limy→0f(x，y)；(3)limy→0limx→0f(x，y).
2設函數f(x，y)=｜xy｜x2+y2sin(x2+y2)，x2+y2≠0，
0，x2+y2=0，討論f(x，y)在點(0，0)的連續性與可微性.
3設μ=ex+y，其中y是由方程y-12siny=x所確定的x的函數，求μ′(x)和μ″(x).
4設u=f(x，y，z)，且z=φxy，yx，其中f，φ可微，求uy，ux.
5設z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=yf(zy)所確定，其中f可微，求zx，zy.
6已知x+y-z=ez，xex=tant，y=cost，求2zt2
t=0.
7由z=f(x，y)及x=y+g(y)確定了函數z=z(x)，其中f具有二階連續偏導數，g二階可導，且g′≠1，求z′(x)和z″(x).
8設u=yfxy+xgyx，其中f，g具有二階連續導數，求x2ux2+y2uxy.
9設f(x，y)在某區域內具有二階連續偏導數，且f(x，2x)=x，f′x(x，2x)=x2，f″xy(x，2x)=x3，求f″yy(x，2x).
10設方程2μx2+2μy2+2μz2=0中μ=f(γ)，其中γ=x2+y2+z2，且f具有二階連續導數，求f(γ).
11求橢球麵2x2+3y2+z2=9的平行於平麵2x-3y+2z+1=0的切平麵方程.
12求曲線2x2+y2+z2=45；
x2+2y2=z在點M(-2，1，6)處的切線方程和法平麵方程.
13求曲線x=t，
y=-t2，
z=t3，與平麵x+2y+z=4平行的切線方程.
14求函數z=(x2+y2)e-(x2+y2)的極值.
15求函數z=x2+y2-12x-16y在區域x2+y2≤25上的最大值和最小值.
16平麵2x-y+2z-4=0截曲麵z=10-x2-y2成上下兩部分，求上麵部分曲麵上的點到平麵的最大距離.
［能力提高］
17求μ=lnx+lny+3lnz在條件x2+y2+z2=5γ2(x＞0，y＞0，z＞0)下的極大值，並以此結果證明對任意正數a，b，c有abc3≤27a+b+c55
［真題演練］
18(1994年)某養殖廠飼養兩種魚，若甲種魚放養x(萬尾)，乙種魚放養y(萬尾)，收獲時兩種魚的收獲最分別為
(3-αx-βy)x和(4-βx-2αy)y(α＞β＞0)
19(1995年)設z＝xyf(yx),f(u)可導，則xz′x+yz′y＝.
20(1995年)求二元函數z＝f(x,y)＝x2y(4-x-y)在由直線x+y＝6、x軸和y軸所圍成的閉區域D上的極值、最大值與最小值.
21(1997年)設u＝f(x,y,z)有連續偏導數，y=y(x)和z＝z(x)分別由方程exy-y＝0和ez-xz＝0所確定，求dudx.
答案與提示
1(1)0；(2)不存在；(3)不存在
2在(0，0)點連續，但不可微
3dudx=ex+y1+22-cosy；d2udx2=ex+y［(4-cosy)2(2-cosy)-4siny］(2-cosy)3；
4ux=f′1+1yf′3φ′1-yx2f′3φ′2；uy=f′2-xy2f′3φ′1+1xf′3φ′2
5zx=2xf′zy-2z；zy=2y-fzy+zyf′zyf′zy-2z
6-138
7dzdx=f′1+f′21+g′；d2zdx2=f″11+2f″121+g′+f″22(1+g′)2-f′2g″(1+g′)3
809-x2(1+x2)
10f(γ)=C2-C1γ112x-3y+2z=±9
12x+225=y-128=z-612；25x+28y+12z=2
13x-11=y+1-2=z-13及x-133=y+19-2=z-1271
14在(0，0)有極小值z=0，在x2+y2=1上每點有極大值z=1e
15最大值125；最小值-751613324
17提示：μ的最大值為ln(33γ5).
18x0＝3α－2β2α2－β2,y0＝4α－3β2(2α2－β2)
19應填2π
20最大值f(2,1)＝4，最小值f(4,2)＝－64
21dudx＝fx+y21-xyfy+zxz-xfz.