例5已知u=ln(x3+y3+z3-3xyz)，證明ux+uy+uz=3x+y+z.
解ux=(x3+y3+z3-3xyz)′
xx3+y3+z3-3xyz=3x2-3yzx3+y3+z3-3xyz，
由對稱性uy=3y2-3xzx3+y3+z3-3xyz，uz=3z2-3xyx3+y3+z3-3xyz，
所以
ux+uy+uz=3(x2-yz+y2-xz+z2-xy)x3+y3+z3-3xyz
=3(x2+y2+z2-yz-xz-xy)(x+y+z)(x2+y2+z2-yz-xz-xy)
=3x+y+z.
例6已知u=f(x，y，z)，z=lnx2+y2，求2uxy.
解∵z=12ln(x2+y2)，
∴zx=xx2+y2，zy=yx2+y2，
ux=fx+fz·zx=fx+xx2+y2·fz，
u2xy=yfx+xx2+y2·fz+zfx+xx2+y2·fz·zy
=2fxy+xx2+y2·2fzy-fx·2xy(x2+y2)2+
2fzx+xx2+y2·2fz2·yx2+y2
=2fxy+xx2+y22fzy-2yx2+y2·fz+yx2+y22fzx+xx2+y2·2fz2.
例7z=f(x，xy)，f具有二階連續偏導數，求2zx2.
解設v=xy，則z=f(x，v)，函數的複合關係為：
zx=fx+fv·vx=fx+1y·fv，
2zx2=xzx=xfx+1y·fv=xfx+x1y·fv.
注：xfx≠2fx2，這是因為xfx中的前一個x是對自變量x求導，與後一個fx的意義不同.同樣，注意到
有xfx=2fx2+2fxv·vx=2fx2+1y·2fxv.
同理：x1y·fv=1y2fvx+1y·2fv2.
注意到f具有二階連續偏導數，從而2fvx=2fxv.，於是
2zx2=2fx2+2y·2fxv+1y2·2fv2，
或者更明確地可寫成2zx2=f″11+2y·f″12+1y2·f″22.
例8試利用線性變換ξ=x+ay，η=x+by，其中a=-1，b=-13.將方程2ux2+42uxy+32uy2=0化簡.
解∵ξ=x+ay，η=x+by，
∴ux=uξ+uη.
∴2ux2=uξuξ+uη+ηuξ+uη=2uξ2+22uξη+2uη2，
2uxy=ξuξ+uηξy+ηuξ+uηηy
=a2uξ2+(a+b)2uξη+b2uη2；
uy=auξ+buη，
2uy2=ξauξ+buηa+ηauξ+buηb=a22uξ2+2ab2uξη+b22uη2.
將2ux2，2uxy，2uy2的表達式代入2ux2+42uxy+32u2y2=0，並知2uξ2，2uη2的係數為0，得2uξη=0.
注意從以上例題可以看出，在多元複合函數求導的過程中應充分注意各個變量的作用以及相互間的關係.
例9設x2-2y2+3z2-yz+y=0.求zx，zy.
解法一由公式得
zx=-F′x(x，y，z)F′z(x，y，z)=-2x6z-y，6z-y≠0，
zy=-F′y(x，y，z)F′z(x，y，z)=-1-4y-z6z-y.
解法二將方程兩邊對x求導得
2x+6zzx-yzx=0，
∴zx=-2x6z-y.
同樣，將方程兩邊對y求導得-4y+6zzy-z-yzy+1=0，
由此得zy=-1-4y-z6z-y.
解法三對已給方程兩邊微分，得
2xdx-4ydy+6zdz-ydz-zdy+dy=0.
由上式定出dz為dz=2xdx+(1-4y-z)dyy-6z.利用全微分定義，
知zx=2xy-6z，zy=1-4y-zy-6z.
例10f(x，y，z)=exyz2，而z=z(x，y)是由方程x+y+z-xyz=0所確定的隱函數，求f′x(0，1，-1).
解f(x，y，z)=exyz2的兩邊對x求偏導數，並注意到z是x，y所確定的函數，有
f′x(x，y，z)=exyz2+2exyzzx.
而由F(x，y，z)=x+y+z-xyz=0，得zx=-F′xF′z=-1-yz1-xy，代入前式，於是有
f′x［x，y，z(x，y)］=exyz2-2exyz·1-yz1-xy.
得f′x(0，1，-1)
=e01(-1)2-2e0(-1)1-1(-1)1-0·1=5.
例11設x2+y2-z2-xy=0，求2zx2.
解先求zx.上述方程兩邊對x求偏導(注意z是x，y的函數)，得2x-2z·zx-y=0，
解得zx=2x-y2z.再求2zx2.
解法一2zx2=x2x-y2z，利用商的求導法則得
2zx2=2·2z-(2x-y)2·zx4z2.
將zx=2x-y2z代入上式並整理得
2zx2=4z2-(2x-y)24z3.
若注意到4z2=4(x2+y2-xy)，再代入上式分子得2zx2=3y24z3.
解法二設G(x，y，z)=zx=2x-y2z，而z=z(x，y).由複合函數求導法則有
2zx2=Gx+Gz·zx
=1z+-2x-y2z2·2x-y2z=3y24z3.
［應試陷阱］求2zx2時，以下做法2zx2=-G′xG′y=-1z-2x-y2z2=2z2x-y是錯誤的.
例12設u=u(x，y)由方程u=f(x，y，z，t)，g(x，z，t)=0，h(z，t)=0定義，求ux，uy.
分析u=u(x，y)可按以下步驟得到：先由後兩個方程把t，z解為y的函數，再代入前式得u=u(x，y).
解對第一個方程求導得
ux=fx，uy=fy+fz·dzdy+ft·dtdy.()
再由後兩個方程求dzdy，dtdy：
即由gy+gz·dzdy+gt·dtdy=0，
hz·dzdy+ht·dtdy=0，
解得dzdy=-gy·ht(g，h)(z，t)，dtdy=gy·hz(g，h)(z，t).
將結果代入式()得uy=fy+-fzgy·ht+ft·gy·hz(g，h)(z，t)
其中(g，h)(z，t)=gzgt
hzht=gz·ht-gt·hz.
例13求由方程組x=eu+u·sinv
y=eu-ucosv所確定的函數u=u(x，y)，v=v(x，y)對x，y的偏導數.
解方程組中每個方程兩邊對x求導，得
1=euux+ux·sinv+u·cosv·vx，
0=euux-ux·cosv+usinv·vx，
即(eu+sinv)ux+u·cosvvx=1，
(eu-cosv)ux+usinv·vx=0.
當eu+sinvucosv
eu-cosvusinv=u［eu(sinv-cosv)+1］≠0時，可解得
ux=sinveu(sinv-cosv)+1，vx=cosv-euu
［eu(sinv-cosv)+1］.
同理，得uy=-cosveu(sinv-cosv)+1，vy=sinv+euu［eu(sinv-cosv)+1］.
例14y=f(x，t)，t是由方程F(x，y，t)=0確定的x，y的隱函數，其中f，F具有一階連續偏導數，求dydx.
分析本題有兩個關係式，3個變量：x，y，t.若把x看作自變量，則y，t都是x的一元函數.按由方程組所確定的隱函數的求導法則，即可求出dydx.
解由y=f(x，t)，
F(x，y，t)=0對x求導得
dydx=fx+ft·dtdx，
Fx+Fy·dydx+Ft·dtdx=0.
將dydx，dtdx看作未知元，解此線性方程組，即可得
dydx=fx·Ft-ft·Fxft·Fy+Ft.
［真題在線］
例15(1999年)設f(x,y,z)＝exyz2，其中z＝z(x,y)是由x+y+z+xyz＝0確定的隱函數，則f′x(0,1,-1)＝.
應填1
解方程x+y+z+xyz＝0兩邊對x求偏導數，有
1+z′x+yz＋xyz′x＝0
顯然在(0，1，-1)處z′x＝0，而f′x(x,y,z)＝exyz2+exy·2zz′x
故f′x(0,1,-1)＝1.
例16(2000年)已知z＝uv,u＝lnx2+y2，v＝arctanyx,求dz.
解由複合函數求導法知
zx＝zuux+zvvx
＝(vuv-1)·12·2xx2+y2+(uvlnu)·11+(yx)2·(-yx2)
＝vvx2+y2(xvu-ylnu);
zy＝zuuy+zvvy
＝(vuv-1)·12·2yx2+y2+(uvlnu)·11+(yx)2·1x
＝uvx2+y2(yvu+xlnu)
dz＝uvx2+y2［（xvu-ylnu）dx+(yvu+xlnu)dy］
例17(2001年)設u＝f(x,y,z)有連續一階偏導數，又函數y＝y(x)及z＝z(x)分別由下列兩式確定：
exy-xy＝2和ex＝∫x-z0sinttdt
求dudx.
解dudx=fxfydydx+fzdzdx(*)
由exy-xy＝2兩邊對x求導，得
exy(y+xdydx)＝0
即dydx＝－yx
又由ex＝∫x-z0sinttdt兩邊對x求導，得
ex＝sin(x-z)x-z·(1-dzdx)
即dzdx＝1-ex(x-z)sin(x-z)
將其代入(*)式得
dudx＝fx－yxfy+1-ex(x-z)sin(x-z)fz
§93多元函數微分學在幾何上的應用
一、熟知考綱考點
了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件.會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，會求解一些簡單的應用題.
二、本節知識串講
1空間曲線的切線及法平麵
(1)若空間曲線τ的參數方程為
x=x(t)，
y=y(t)，
z=z(t)，
則曲線τ上對應於t=t0的點M0(x0，y0，z0)處的切線方程為
x-x0x′(t0)=y-y0y′(t0)=z-z0z′(t0).
法平麵方程為x′(t0)(x-x0)+y′(t0)(y-y0)+z′(t0)(z-z0)=0.
(2)若空間曲線τ的一般式方程為
F(x，y，z)=0，
G(x，y，z)=0，
則在曲線τ上一點M0(x0，y0，z0)處的切線方程為
x-x0F′yF′z
G′yG′zM0=y-y0F′zF′x
G′zG′xM0=z-z0F′xF′y
G′xG′yM0.
法平麵方程為F′yF′z
G′yG′zM0(x-x0)+F′zF′x
G′zG′xM0(y-y0)+F′xF′y
G′xG′yM0(z-z0)=0.
2空間曲麵的切平麵及法線
(1)若曲麵Σ由z=f(x，y)給出，則在Σ上一點M0(x0，y0，z0)處的切平麵方程為
z-z0=f′x(x0，y0)(x-x0)+f′y(x0，y0)(y-y0).
法線方程為x-x0f′x(x0，y0)=y-y0f′y(x0，y0)=z-z0-1.
(2)若曲麵Σ的參數方程為x=x(u，v)，y=y(u，v)，z=z(u，v)，則在曲麵上一點M0(x0，y0，z0)處的切平麵方程為
y′uy′v
z′uz′vM0·(x-x0)+z′uz′v
x′ux′vM0·(y-y0)+x′ux′v
y′uy′vM0·(z-z0)=0.
法線方程為x-x0y′uy′v
z′uz′vM0=y-y0z′uz′v
x′ux′vM0=z-z0x′ux′v
y′uy′vM0.
(3)若曲麵Σ為F(x，y，z)=0，則在Σ上一點M0(x0，y0，z0)處的切平麵方程為
F′x(x0，y0，z0)(x-x0)+F′y(x0，y0，z0)(y-y0)+F′z(x0，y0，z0)(z-z0)=0.
法線方程為x-x0F′x(x0，y0，z0)=y-y0F′y(x0，y0，z0)=z-z0F′z(x0，y0，z0).
二、典型例題與解題方法和技巧
例1求曲線x2+y2+z2=6，
x3+y+z2=0在點(1，-2，1)處的切線及法平麵方程.
解法一利用切線同垂直於二曲麵在切線的切點處的二法線向量來求解.
設F(x，y，z)=x2+y2+z2-6，G(x，y，z)=x3+y+z2，
曲麵x2+y2+z2=6在點(1，-2，1)處的法線向量為
n=F′x(1，-2，1)，F′y(1，-2，1)，F′z(1，-2，1)=2｛1，-2，1｝.
為方便起見，取n1=｛1，-2，1｝是曲麵x2+y2+z2=6在點(1，-2，1)處的法線向量；曲麵x3+y+z2=0在點(1，-2，1)處的法線向量為
n2=G′x(1，-2，1)，G′y(1，-2，1)，G′z(1，-2，1)=｛3，1，2｝，
因而所給曲線在點(1，-2，1)處的切線的方向向量為
S=n1×n2=ijk
1-21
312=-5i+j+7k.
於是所求切線方程為x-1-5=y+21=z-17，
法平麵方程為-5(x-1)+(y+2)+7(z-1)=0，
即5x-y-7z=0.
解法二利用二曲麵在切線的切點處的二切平麵的交線來求解.曲線x2+y2+z2=6
x3+y+z2=0在點(1，-2，1)處的切線就是曲麵x2+y2+z2=6和曲麵x3+y+z2=0在點(1，-2，1)處的二切平麵的交線.解法一中求得的n1=｛1，-2，1｝就是曲麵x2+y2+z2=6在點(1，-2，1)處的切平麵的法線向量：n2=｛3，1，2｝就是曲麵x3+y+z2=0在點(1，-2，1)處的切平麵的法線向量.因此，這兩個切平麵分別為
(x-1)-2(y+2)+(z-1)=0和
3(x-1)+(y+2)+2(z-1)=0，
即x-2y+z-6=0和3x+y-2z-3=0.
於是所求的切線方程為x-2y+z-6=0，
3x+y+2z-3=0.
將其化為標準方程，即為x-1-5=y+21=z-17.
法平麵方程為-5(x-1)+(y+2)+7(z-1)=0，
即5x-y-7z=0.
解法三利用參數方程來求解.方程組x2+y2+z2=6，
x3+y+z2=0()確定了兩個一元函數：
y=y(x)，z=z(x)
則所給曲線的參數方程為x=x，
y=y(x)，
z=z(x)，其中x為參數.
方程組()中每一個方程兩端對x求導，得
2x+2ydydx+2zdzdx=0，
3x2+dydx+2zdzdx=0.
解得：
dydx
(1，-2，1)=x(3x-2)2y-1
(1，-2，1)=-15，
dzdx
(1，-2，1)=x(3xy-1)z(1-2y)
(1，-2，1)=-75.
於是所求切線方程為x-11=y+2-15=z-1-75，
即x-1-5=y+21=z-17.
法平麵方程為-5(x-1)+(y+2)+7(z-1)=0，即5x-y-7z=0.
例2求螺旋線x=acost，y=asint，z=ct在t=π3處的切線方程和法平麵方程.
解x′t
π3=-asint
π3=-32a，y′t
π3=acost
π3=12a，z′t
π3=c，從而所求切線方程為
x-12a-32a=y-32a12a=z-π3cc.
法平麵方程為-3ax-12a+ay-32a+2cz-cπ3=0，
即3ax-ay-2cz+2π3c2=0.
例3求下列曲麵在已給點的切平麵及法線方程：
(1)z=arctanyx在點M(1，1，π4)；(2)z=y+lnxz在點M(1，1，1).