第八章向量代數與空間解析幾何
§8.1向量及其性質
一、本節知識串講
(一)空間直角坐標係
從空間某定點O作三條相互垂直的數軸，它們都以O為原點，且有相同的長度單位、此三條軸分別稱為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)和z軸(豎軸)，且三根坐標軸的方向符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標係Oxyz.
若曲麵S與三元方程F(x，y，z)=0(或z=f(x，y))有如下關係：
(1)曲麵S上的每個點的坐標都滿足方程；
(2)不在曲麵S上的點的坐標都不滿足此方程.
則稱這三元方程是曲麵S的方程，曲麵S稱為此方程的圖形.
空間曲線C可以看作是兩張曲麵S1：F(x，y，z)=0和S2：G(x，y，z)=0的相交線，而方程組F(x，y，z)=0，
G(x，y，z)=0稱為空間曲線C的一般方程.
若對於空間曲線C上任意一點的直角坐標(x，y，z)，都能分別表示為參變量t的函數，即x=x(t)；
y=y(t)；
z=z(t)，則稱此方程組是空間曲線C的參數方程.
(二)向量的概念
1向量
某量既有大小又有方向的量叫向量.
向量a的大小(模)記為｜a｜；模為1的向量叫做單位向量；模為0的向量稱為零向量，記為0.
具有相同方向和相同的模的兩個向量a，b看作相等，記為a=b；與a(a≠0)具有相同方向的單位向量記為a0，有a0=1｜a｜a，
2向量a在數軸u上的投影
Prjua=｜a｜cos(a，u)，其中(a，u)表示a與u的夾角，它滿足：
prju(a+b)=prjua+prjub.
3向量的坐標表式
向量a的空間直角坐標係的三個坐標軸上的投影分別為ax，ay，az，則a=axi+ayj+azk=｛ax，ay，az｝，其中i，j，k分別是三個坐標軸的單位向量.且有
｜a｜=a2x+a2y+a2z.
a的方向由其方向角α，β，γ確定，α，β，γ分別為a與三個坐標軸的正向的夾角，a的方向餘弦為
cosα=ax｜a｜，cosβ=ay｜a｜，cosγ=az｜a｜.
過點M1(x1，y1，z1)，M2(x1，y2，z2，)的向量為
M1M2=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k.
(三)向量的運算及性質
1加減運算
設a=｛ax，ay，az｝=axi+ayj+azk，b=｛bx，by，bj｝=bxi+byz+bzk，則
a±b=｛ax±bx，ay±by，az±bz｝=(ax±bx)i+(ay±by)j+(az±bz)k.
2數乘運算
設a=｛ax，ay，az｝=axi+ayj+azk，則數λ與a之積為
λa=｛λax，λay，λaz｝=λaxi+λayj+λazk.
3數量積(點積)
定義a·b=｜a｜｜b｜cos(a，b)=｜a｜Prjab=｜b｜Prjba
數量積滿足：a·b=b·a；
a·(b+c)=a·b+a·c；
a·(λb)=(λa)·b=λ(a·b).
坐標表達式：a·b=axbx+ayby+azbz.
作用：①利用向量點積的坐標表達式，求兩向量的夾角為
cos(a，b)=a·b｜a｜｜b｜
=axbx+ayby+azbza2x+a2y+a2z·b2x+b2y+b2z.
②a·b=0a⊥b.
③a·a=｜a｜2.
4向量積(叉積)
定義設a×b=c，則c=｜a｜·｜b｜sin(a，b).c同時垂直於a與b，且a，b，c構成右手係.
向量積滿足：a×b=-b×a；a×(b+c)=a×b+a×c；
a×(λb)=(λa)×b=λ(a×b).
坐標表達式：
a×b=ijk
axayaz
bxbybz按第一行展開.
作用：①求三角形、平行四邊形的麵積.
②求點M(x0，y0，z0)到直線L：x-x1l=y-y1m=z-z1n的距離
d=｜a×S｜｜S｜，
其中a=(x1-x0)i+(y1-y0)j+(z1-z0)k，
S=(li+mj+nk).
③求同時垂直於向量a，b的一個向量.
5混合積
稱數(a×b)·c為向量a，b，c的混合積，其坐標表達式為
(a×b)·c=axayaz
bxbybz
cxcycz.
作用：①求四麵體、平行六麵體的體積.
②求異麵直線間的距離d，其兩直線為
l1：x-x1l1=y-y1m1=z-z1n1，
l2：x-x2l2=y-y2m2=z-z2n2.
記S1=l1i+m1j+n1k，S2=l2i+m2j+n2k.
a=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k，則l1與l2之間的距離為
d=(S1×S2)·a｜S1×S2｜.
6空間兩點M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)的距離
空間兩點的距離為
d=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.
線段M1M2上的點M，λ=M1MMM2(λ≠-1)，則M點的坐標為
x=x1+λx21+λ，y=y1+λy21+λ，z=z1+λz21+λ.
二、典型例題與解題方法和技巧
例1設a是單位向量，它在x，y軸上的投影分別為-12，12，求a與z軸正向的夾角γ.
解法一設a=-12，12，z，
∵｜a｜=(-12)2+(12)2+z2=1，∴z=±22.
∴cosγ=±22｜a｜=±22，∴γ=π4或γ=34π.
解法二設a與x，y，z軸正向夾角分別為α，β，γ，由關係式有
cos2α+cos2β+cos2γ=1，得cos2γ=1-cos2α-cos2β.
∵cosα=-12｜a｜=-12，cosβ=12｜a｜=12，
∴cosγ=1--122-122=12.因而cosγ=±22，
∴γ=π4或γ=34π.
例2求與a=｛1，-2，3｝共線且a·b=28的b.
解由於b與a共線，所以可設b=λa=｛λ，-2λ，3λ｝.
由a·b=28得｛1，-2，3｝·｛λ，-2λ，3λ｝=28，即λ+4λ+9λ=28.
故λ=2，從而b=｛2，-4，6｝.
例3已知a=｛1，0，-2｝，b=｛1，1，0｝，求c，並使c⊥a，c⊥b，且｜c｜=6.
解法一待定係數法：設c=｛x，y，z｝，由題設得x-2z=0；
x+y=0；
x2+y2+z2=6.(1)
(2)
(3)
由式(1)得z=x2，由式(2)得y=-x，將其代入式(3)得x2+(-x2)+(x2)2=6.
解得x=±4，y=4，z=±2，
於是c=｛4，-4，2｝或c=｛-4，4，-2｝.
解法二利用向量的垂直、平行條件，∵c⊥a，c⊥b，∴c∥a×b.
設λ是不為零的常數，則c=λ(a×b)=λijk
10-2
110=2λi-2λj+λk.
∵｜c｜=6，∴λ2［22+(-2)2+12］=6.
因而λ=±2.即有c=｛4，-4，2｝或c=｛-4，4，-2｝.
解法三先求出與a×b方向一致的單位向量，然後乘以±6，有
a×b=ijk
10-2
110=2i-2j+k，｜a×b｜=22+(-2)2+12=3.
故與a×b方向一致的單位向量為13(2，-2，1).
於是c=±63｛2，-2，1｝，即c=｛4，-4，2｝或c=｛-4，4，-2｝.
例4已知點O(0，0，0)，A(1，-1，2)，B(3，3，1)及C(3，1，3)，求：
(1)AB，｜AB｜及AB的方向餘弦；
(2)ΔABC的麵積；
(3)四麵體OABC的體積.
解(1)AB=｛3-1，3-(-1)，1-2｝=｛2，4，-1｝，
｜AB｜=22+42+(-1)2=21，
cosα=221，cosβ=421，cosγ=-121.
(2)AC=｛2，2，1｝，AB×AC=ijk
24-1
221=6i-4j-4k，
ΔABC的麵積=12｜AB×AC｜
=1262+(-4)2+(-4)2=17.
(3)混合積(OA×OB)·OC=1-12
331
313=2，
所以四麵體OABC的體積=16(OA×OB)·OC=13.
例5證明平行四邊形公式為a+b2+a-b2=2｜a｜2+2｜b｜2.
證a+b2+a-b2=(a+b)·(a+b)+(a-b)·(a-b)
=(a·a+2a·b+b·b)+(a·a-2a·b+b·b)
=2a·a+2b·b=2｜a｜2+2｜b｜2.
例6(1)已知a⊥b，且｜a｜=3，｜b｜=4，求(a+b)×(a-b)；
(2)設A垂直於a=｛2，-3，1｝和b=｛1，-2，3｝，且滿足A·(i+2j-7k)=10，求A.
解(1)∵a⊥b，∴sin(a，b)=1.
於是(a+b)×(a-b)=｜a×a-a×b+b×a-b×b｜
=2｜a×b｜=2｜a｜·｜b｜sin(a，b)
=2·3·4·1=24
(2)∵A⊥a，A⊥b，∴A∥a×b.
從而A=ma×b=mijk
2-31
1-23=m(-7i-5j-k).
代入A·(i+2j-7k)=10中，有
m(-7i-5j-k)·(i+2j-7k)=10.
解得m=-1，∴A=7i+5j+k.
例7一直線通過點B(1，2，3)而且與向量c=｛6，6，7｝平行，求點A(3，4，2)到這直線的距離.
解用向量c作底並且用向量BA=｛3-1，4-2，2-3｝做另一邊，作平行四邊形，於是其高就是所求的距離d.由此有BA×c=c·d，
即d=BA×c｜c｜=｛2，2，-1｝×｛6，6，7｝11=｛20，-20，0｝11=20211.
§8.2平麵與直線
一、本節知識串講
1.平麵方程
(1)平麵的向量式方程(r-r0)·n=0，M0為已知點，r0=OM為M0點的向徑，n為平麵的法向量，r為平麵上任意點的向徑.
(2)平麵的點法式方程：
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，
表示過M0(x0，y0，z0)，以n=｛A，B，C｝為法向量的平麵方程.
(3)平麵的一般式方程：
Ax+By+Cz+D=0，n=｛A，B，C｝為平麵的法向量.
(4)平麵的截距式方程：
xa+yb+zc=1(abc≠0)，
a，b，c分別是平麵在x軸、y軸、z軸上的截距.
(5)平麵的三點式方程：x-x1y-y1z-z1
x2-x1y2-y1z2-z1
x3-x1y3-y1z3-z1=0，
給出過M1，M2，M3三點的平麵方程.
(6)平麵的法線式方程：與原點的距離為P，其法線的方向角為α，β，γ的平麵方程為
xcosα+ycosβ+zcosγ-P=0.
(7)兩平麵的夾角：
設有兩平麵為π1：A1x+B1y+C1z+D1=0；π2：A2x+B2y+C2z+D2=0，
則π1與π2的夾角為θ：
cosθ=A1A2+B1B2+C1C2A21+B21+C21·A22+B22+C22.
兩平麵平行、垂直的條件：
π1∥π2A1A2=B1B2=C1C2，
π1⊥π2A1A2+B1B2+C1C2=0.
(8)點到平麵的距離
設點M1(x1，y1，z1)，平麵π：Ax+By+Cz+D=0，則M1到π的距離為
d=Ax1+By1+Cz1+DA2+B2+C2；
點M1在平麵π上的投影M2(x2，y2，z2)為
x2=x1-AE，y2=y1-BE，z2=z1-CE，其中E=Ax1+By1+Cz1+DA2+B2+C2.
(9)由平麵π1：A1x+B1y+C1z+D1=0與平麵π2：A2x+B2y+C2z+D2=0的交線所確定的平麵束方程為
λ(A1x+B1y+C1z+D1)+μ(A2x+B2y+C2z+D2)=0，
其中λ，μ不全為0.
(10)特殊位置的平麵方程：
過原點的平麵：Ax+By+Cz=0.
平行於坐標軸的平麵：By+Cz+D=0，Ax+Cz+D=0，Ax+By+D=0.
平行於坐標麵的平麵：Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.
2.空間直線方程
(1)一般式：A1x+B1y+C1z+D1=0，
A2x+B2y+C2z+D2=0.
(2)對稱式：x-x0l=y-y0m=z-z0n.
P0(x0，y0，z0)為直線上的一已知點，S=｛l，m，n｝為直線的方向向量.
(3)兩點式：
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.
M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)為直線上的兩點.