解方程4x-5y-10z-20=0就是x5-z2=1+y4;
方程x225+y216-z24=1就是
x5-z2x5+z2=1+y41-y4.
因此曲線方程也就是x5-z2=1+y4,
x5-z2x5+z2=1+y41-y4.
也就是兩條直線L1:x5-z2=0;
1+y4=0,L2:x5-z2=1+y4,
x5+z2=1-y4.
所以L1的對稱式方程為x5=y+40=z2,L2的對稱式方程為x-50=y-4=z2.
§8.3曲麵方程及空間曲線在坐標平麵上的投影
一、本節知識串講
(一)柱麵及旋轉麵方程
1柱麵
由平行於定直線並沿定曲線τ移動的直線L所產生的曲麵叫做柱麵,定曲線τ稱為柱麵的準線,動直線L稱為柱麵的母線.
若準線方程是τ:f(x,y)=0,
z=0,
當母線平行於z軸時,柱麵方程是f(x,y)=0;
準線為τ:φ(x,z)=0,
y=0,當母線平行於y軸時,柱麵方程是φ(x,z)=0;
準線為τ:ψ(y,z)=0,
x=0,當母線平行於x軸時,柱麵方程是ψ(y,z)=0.
若準線方程是τ:x=f(t),
y=g(t),
z=h(t),母線的方向向量是S={l,m,n},
則柱麵方程是x=f(t)+lu,
y=g(t)+mu,
z=h(t)+nu.(-∞<u<+∞)名稱方程圖形圓柱麵x2+y2=R2
橢圓柱麵x2a2+y2b2=1
雙曲柱麵x2a2-y2b2=1
拋物柱麵x2=2py(p>0)
2旋轉曲麵
由已知平麵曲線L繞該平麵上的一條定直線旋轉而成的曲麵稱為旋轉曲麵,定直線稱為旋轉曲麵的軸,曲線L稱為旋轉曲麵的母線.
設有xoy麵上的平麵曲線L:f(x,y)=0;
z=0,則
(1)曲線L繞x軸旋轉而成的旋轉曲麵方程為f(x,±y2+z2)=0;
(2)曲線L繞y軸旋轉而成的旋轉曲麵方程為f(±x2+y2,y)=0.
3球麵
設P0(x0,y0,z0)是球心,R是半徑,P(x,y,z)是球麵上任意一點,則P0P=R即
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2是以P0為球心,R為半徑的球麵.
4錐麵
τ是一條空間曲線,M0是空間中的一個定點,直線L始終通過M0沿τ移動所產生的曲麵稱為錐麵,τ稱為錐麵的準線;L為錐麵的母線,M0為錐麵的頂點.
若準線方程是τ:x=f(t),
y=g(t),
z=h(t),頂點是(x0,y0,z0),則錐麵方程是
x=x0+(f(t)-x0)u;
y=y0+(g(t)-y0)u;
z=z0+(h(t)-z0)u,-∞<u<+∞.
5二次曲麵
曲麵名稱方程圖形橢球麵x2a2+y2b2+z2c2=1(a,b,c均為正數)
單葉雙曲麵x2a2+y2b2-z2c2=1(a,b,c均為正數)
雙葉雙曲麵-x2a2-y2b2+z2c2=1(a,b,c均為正數)
橢圓拋物麵x2a2+y2b2=2pz(a,b,p均為正數)
雙曲拋物麵(又名馬鞍麵)x2a2-y2b2=2pz(a,b,,p為正數)
二次錐麵x2a2+y2b2-z2c2=0(a,b,c為正數)
(二)空間曲線在坐標麵上的投影
定義設τ是一條空間曲線,π是一張平麵,τ上的每一個點在平麵π上均有一個垂足,由這些垂足點構成的曲線就稱為τ在平麵π上的投影.經過τ的每一點均有平麵π的一條垂線,這些垂線所形成的柱麵就稱為τ在平麵π上的投影柱麵.
由上可知,空間曲線τ在平麵π上的投影方程可由τ在平麵π上的投影柱麵方程與平麵π的方程聯立表示.
如設空間曲線τ:F1(x,y,z)=0,
F2(x,y,z)=0,()
求τ在Oxy、yOz、zOx平麵上的投影方程.
(1)從()中消去z,得到一個母線平行於z軸的柱麵方程g(x,y)=0,則
g(x,y)=0;
z=0為τ在xOy平麵上的投影方程.
(2)從()中消去y,得到一個母線平行於y軸的柱麵方程h(x,z)=0,則
h(x,z)=0;
y=0為τ在xOz平麵上的投影方程;
(3)從()中消去x,得到一個母線平行於x軸的柱麵方程w(y,z)=0,則
w(y,z)=0;
x=0為τ在yOz平麵上的投影方程.
二、典型例題與解題方法和技巧
例1下列方程或方程組表示什麼圖形?
(1)x2+y2+1=3z;(2)4x2+2y2+z2=4;
(3)y=x+1,
x2+y2=1;(4)x2+y2+z2-2z=0,
z=x2+y2.
分析判斷方程是什麼圖形,可以通過所給方程或其變形後的方程與曲麵的標準方程進行比較來確定.
解(1)旋轉拋物麵.它是由xOz麵上的拋物線z=x23+13繞z軸旋轉而成,或是由yOz麵上的拋物線z=y23+13繞z軸旋轉而成.
(2)4x2+2y2+z2=4,即x2+y22+z24=1,是橢球麵.
(3)平行於z軸的平麵y=x+1與圓柱麵x2+y2=1的交線,即兩條平行直線.
(4)x2+y2+z2-2z=0即x2+y2+(z-1)2=1,它是球心為(0,0,1)、半徑為1的球麵;而z=x2+y2是頂點在原點、半頂角為π4、位於xOy麵上方的圓錐麵.所給方程組表示上述的球麵與圓錐麵的公共部分:平麵z=1上的圓周及原點.
例2求由下列條件確定的曲線方程:
(1)與A(1,2,1)的距離為3,且與B(2,0,1)的距離為2的一切點;
(2)與A(1,3,2)及B(0,0,1)等距,且與C(3,0,3)及D(0,-2,0)等距的一切點;
(3)與三點(1,3,8)、(-6,-4,2)及(3,2,1)等距的一切點;
(4)與x軸的距離為3、與y軸的距離為2的一切點.
解設M(x,y,z)為所求曲線上的任意一點:
(1)由題意有
(x-1)2+(y-2)2+(z-1)2=32,
(x-2)2+(y-0)2+(z-1)2=22,
所求曲線是兩個球麵的交線.
(2)由題意,有
(x-1)2+(y-3)2+(z-2)2=(x-0)2+(y-0)2+(z-1)2,
(x-3)2+(y-0)2+(z-3)2=(x-0)2+(y+2)2+(z-0)2,
化簡為2x+6y+2z-13=0,
3x+2y+3z-7=0,
所求的曲線是兩平麵的交線.
(3)由題意,有
(x-1)2+(y-3)2+(z-8)2=(x+6)2+(y+4)2+(z-2)2
=(x-3)2+(y-2)2+(z-1)2,
即7x+7y+6z-9=0;
2x-y-7z+30=0,所求曲線是兩平麵的交線.
(4)由題意,有y2+z2=32;
x2+z2=22,所求曲線是兩圓柱麵的交線.
例3一錐麵的頂點在原點,準線為x2a2+y2b2=1,z=c,建立這錐麵的方程.
解過頂點和準線上的點(x,y,z)的母線為Xx=Yy=Zz,
用z=c代入上式得Xx=Yy=Zc,
從而可得x=cXz,y=cYz.將x,y代入準線的第一個方程,
得X2a2+Y2b2-Z2c2=0,這就是所求的錐麵方程.
例4設柱麵的母線平行於直線x=y=z,準線為x+y-z-1=0,x-y+z=0,求柱麵方程.
解過準線上一點(x,y,z)且與直線x=y=z平行的母線的標準方程為
X-x1=Y-y1=Z-z1
或X=x+t,Y=y+t,Z=z+t,將x=X-t,y=Y-t,z=Z-t代入準線方程,得
2Y-2Z-1=0,
顯然此柱麵為平麵.
例5求直線L:xa=y-b0=z1繞z軸旋轉所成曲麵的方程,並討論這是什麼曲麵.
解L的參數方程為:x=at,y=b,z=t,繞z軸旋轉,緯圓上任一點可表示為
x=a2t2+b2cosθ,y=a2t2+b2sinθ,z=t.
消去參數,得旋轉麵方程
x2+y2-a2z2=b2.
若a=0,b≠0,則為x2+y2=b2是圓柱麵;
若a≠0,b=0,則為a2+y2-a2z2=0是錐麵;
若ab≠0,則為x2+y2-a2z2=b2是單葉雙曲麵.
例6求直線Lx+y-z-1=0;
x-y+z+1=0在平麵π:x+2y-z=0上的投影直線的方程,並求投影直線繞z軸旋轉產生的旋轉曲麵的方程.
解過L的平麵束為λ(x+y-z-1)+μ(x-y+z+1)=0,它與平麵π垂直,得4λ-2μ=0,取λ=1,μ=2.
這樣過直線L且垂直於平麵π的平麵方程為(x+y-z-1)+2(x-y+z+1)=0,
即3x-y+z+1=0.
投影直線方程為3x-y+z+1=0,
x+2y-z=0,
也就是x=-17z-27,
y=47z+17.
旋轉曲麵方程為x2+y2=-17z-272+47z+172,
即x2+y2=1749z2+1249z+549.
三、本章考點
掌握向量的點積與向量在軸上的投影及二者的關係;掌握向量的叉積及應用;熟練掌握平麵方程、空間直線的方程及其相互關係,熟悉二次曲麵;會求曲線在坐標麵上的投影;知道曲麵方程的一般形式、空間曲線的一般形式及空間曲線的參數方程.
習題8
1已知|a|=4,|b|=5,a與b的夾角φ=πb,求:
(1)a×b2;
(2)(a·b)2;
(3)|a|2|b|2.
2求同時垂直於a=2i-2j-3k和b=2i+3k的單位向量.
3點M的何徑與x軸成60°角,與y軸成45°角,且在z軸上的投影為-8,求點M的坐標.
4利用向量證明:三角形三中線長度的平方和等於三邊長度平方和的34.
5已知C是點A和B的連線外的一點,證明:C,A,B三點共線的充要條件是
OC=λOA+μOB,其中λ+μ=1.
6求作一平麵過已知兩平麵x+y-z+1=0,x-y+z+1=0之交線,且與平麵x+y+z=1之交角為60°.
7過直線2x-y+z=0,
x-3y+2z+4=0作平行於x軸的平麵π,求π的方程.
8求兩平行直線L1:x-11=y+11=z1與L2:x-21=y-21=z-11之間的距離.
9一平麵π通過直線A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0,且平行於直線xm=yn=zp,求平麵π的方程.
10通過點(7,3,5)作方向餘弦為13,23,23的一直線L1,又有一直線L2與L1相交且通過點(2,-3,-1),並和x軸成60°角,求L2的方程.
11求過原點且垂直相交於直線x-x1l=y-y1m=z-z1n的直線方程.
12求兩直線x-12=y-23=z4,x=y=z的公垂線方程,並求公垂線的長.
13曲麵由直線L:x-10=y1=z1繞z軸旋轉一周而成,求曲麵的方程,並指出是何種曲麵.
14求過曲線x+mz-1=0,
x2+y2-z2=-1,母線平行於x軸的柱麵的方程,並問m取什麼值時,該柱麵為橢圓柱麵?
15求x-11=y+1-1=z-12繞x1=y-1=z-12旋轉所得旋轉麵的方程.
16已知四點:A(1,2,3)、B(2,1,0)、C(3,0,2)和D(0,1,0),求直線AD在A,B,C所確定的平麵上的投影直線方程.
17設a,γ為正常數,求曲線x=asinγt,
y=acosγt,
z=γt在三個坐標麵上的投影.
答案與揭示
1(1)100;(2)300;(3)400
2±-3i-6j+2k7
3M(8,82,-8)
4證明(略)
5證明(略)
6(12-a)x-(2-a)y+(2-a)z+(12-a)=0
或(12+a)x-(2+a)y+(2+a)z+(12+a)=0,a=26
75y-3z-8=0
8d=263
9(A2m+B2m+C2p)(A1x+B1y+c1z+D1)-
(A1m+B1n+C1p)(A2x+B2y+C2z+D2)=0;
10x-22=y+3a=z+1a,其中a=-6和a=6
11xx1+λl=yy1+λm=zz1+λn,其中λ=-lx1+my1+nz1l2+m2+n2
12x-2=y-72-2=z-2;62
13曲麵方程為x2+y2-z2=1,它是旋轉單葉雙曲麵
14(m2-1)z2-2mz+y2=-2,當1<|m|<2時為橢圓柱麵
155x2+5y2+2z2+2xy+4yz-4xz+4x-4y-4z=6
16x+y-3=0
x-y+1=0
17x2+y2=a2;
z=0;z=arccosya;
x=0;z=arcsinxa
y=0