(4)參數式：
x=x0+lt，
y=y0+mt，
z=z0+nt，
其中M0(x0，y0，z0)是直線上的一點，而S=｛l，m，n｝是直線的方向向量.
(5)兩直線的夾角：
設直線L1：x-x1l1=y-y1m1=z-z1n1，直線L2：x-x2l2=y-y2m2=z-z2n2，
則L1與L2的夾角θ為
cosθ=l1l2+m1m2+n1n2l21+m21+n21·l22+m22+n22，
L1∥L2l1l2=m1m2=n1n2，
L1⊥L2l1l2+m1m2+n1n2=0.
(6)點M0(x0，y0，z0)到直線x-x1l=y-y1m=z-z1n的距離：
d=M0M1×S｜S｜=ijk
x1-x0y1-y0z1-z0
lmn÷l2+m2+n2，
其中M1為直線上任一確定點.
(7)兩直線共麵的條件：
L1：x-x1l1=y-y1m1=z-z1n1，L2：
x-x2l2=y-y2m2=z-z2n2.
共麵M1M2·(S1×S2)=0
x2-x1y2-y1z2-z1
l1m1n1
l2m2n2=0.
3直線與平麵的關係
直線L：x-x1l=y-y1m=z-z1n，平麵π：A(x-x2)+B(y-y2)+c(z-z2)=0，
L和π的夾角θ：
sinθ=Al+Bm+CnA2+B2+C2·l2+m2+n2，
L∥πAl+Bm+Cn=0，
L⊥πAl=Bm=Cn.
二、典型例題與解題方法和技巧
在有關平麵的問題中，若題設條件中平麵過已知點，則一般用點法式方程求解；若所求問題涉及到兩個相交平麵，則往往用平麵束方程求解；若已知條件與平麵在坐標軸上的截距有關，則用截距式方程求解.
例1已知平麵π通過原點O和M1(1，1，1)，且平行於直線x-23=y-4-2=z+35，求平麵π的方程.
解法一設平麵π上的動點為M(x，y，z)，則OM=｛x，y，z｝，OM1=｛1，1，1｝，直線的方向向量S=｛3，-2，5｝.
據題意OM，OM1，S共麵，於是xyz
111
3-25=0，即7x-2y-5z=0.
解法二設平麵π為Ax+By+Cz=0(因π過原點)，又π過(1，1，1)，所以A+B+C=0.π與直線平行，所以3A-2B+5C=0由以上兩個方程解得
A=-75C，B=25C.
∴π為-75x+25y+z=0，即7x-2y-5z=0.
注：上述兩種方法都是求平麵方程經常采用的解題方法，前者由共麵條件直接寫出一般方程；而後者則是先寫出一般方程，再根據約束條件確定A，B，C，D的關係.
例2求過一定點且與兩不互相平行的平麵都垂直的平麵方程，並具體求出過原點，且垂直於平麵π1∶x+2y+3z-2=0及π2：6x-y-5z+23=0的平麵方程.
解設定點為P0，兩互不平行的平麵為π1：n1·p+d1=0，π2：n2·p+d2=0，則所求平麵的方程(n1×n2)·(p0-p)=0.
下麵用兩種方法求解該具體問題：
解法一π1：x+2y+3z-2=0，n1=i+2j+3k；
π2：6x-y-5z+23=0，n2=6i-j-5k；
n=n1×n2=ijk
123
6-1-5=-7i+23j-13k，
由點法式得所求平麵方程為-7x+23y-13z=0.
解法二設所求平麵方程為π：Ax+By+Cz+D=0，
由平麵過原點，知D=0；
因為π⊥π1，有A+2B+3C=0；
因為π⊥π2，有6A-B-5C=0.
解此方程組得A=713C，B=-2313C，
故所求平麵方程為-7x+23y-13z=0.
例3平麵過z軸，且與平麵2x+y-5z=a的夾角為π3，求此平麵方程.
分析因平麵過z軸，則z軸上任一點，如O(0，0，0)在所求平麵上，因此隻需再求出平麵的法向量，即可求得平麵方程.設所求平麵的法向量為n：①因所求平麵過z軸，故有n·k=0；②因所求平麵與已知平麵間的夾角為π/3，則有(n，n1)=π/3，由①、②項可求得n，即求出所求平麵方程.
解法一平麵過z軸，則點O(0，0，0)是所求平麵上的點，設所求平麵的法向量為n=Ai+Bj+Ck，所求平麵過z軸，則n·k=0，得C=0，而所求平麵與已知平麵的夾角為π/3，則(n，n1)=π3.
因n·n1=｜n｜｜n1｜cos(n，n1)，由n1=2i+j-5k，得
2A+B-5C=±A2+B2+C2·22+1+5·12.
將C=0代入上式且兩邊平方得4A2+4AB+B2=52(A2+B2)，
即3A2+8AB-3B2=0，(3A-B)(A+3B)=0，
故A=B/3，或A=-3B.
即所求平麵的法向量為n=13i+j或n=-3i+j，
故所求平麵方程為x+3y=0或-3x+y=0.
解法二平麵過z軸，則C=D=0，即所有過z軸的平麵方程為Ax+By=0.
選擇A，B使過z軸的平麵和已知平麵成π/3的夾角，由兩平麵夾角的計算公式得
cosπ3=｜n·n1｜｜n｜｜n1｜，
其中n=Ai+Bj，n1=2i+j-5k.
因而｜2A+B｜=A2+B2·102，
得出A=B/3或A=-3B，則所求平麵方程為
x+3y=0或-3x+y=0.
例4求過原點且與兩直線x=1；
y=-1+t；
z=2+t，x+11=y+22=z-11都平行的平麵方程.
解直線x=1；
y=-1+t；
z=2+t，的方向向量S1=｛0，1，1｝，直線x+11=y+22=z-11的方向向量S2=｛1，2，1｝，則所求平麵的法向量n=S1×S2=ijk
011
121=-i+j-k.
故所求平麵的方程為-x+y-z=0
例5求平行於平麵2x-y+2z+4=0，且與此平麵的距離為2的平麵方程
解法一設M(x，y，z)為所求平麵上任意一點，則由題意知點M(x，y，z)到平麵2x-y+2z+4=0的距離為2，故由點到平麵的距離公式得
｜2x-y+2z+4｜22+(-1)2+22=2，
即｜2x-y+2z+4｜=6.
從而2x-y+2z+4=±6，
由此得2x-y+2z-2=0或2x-y+2z+10=0.
解法二因為所求平麵平行於平麵2x-y+2z+4=0，所以平麵2x-y+2z+4=0的法線向量n=｛2，-1，2｝可作為所求平麵的法線向量，從而所求平麵方程可設為2x-y+2z+D=0.
在平麵2x-y+2z+4=0上取一點A(0，0，-2)，由題設知點A到平麵2x-y+2z+D=0的距離為2，所以
2×0+(-1)×0+2×(-2)+D22+(-1)2+22=2.
解得D=-2或D=10，
於是所求平麵方程為2x-y+2z-2=0或2x-y+2z+10=0.
例6求過點(2，1，1)、平行於直線x-23=y+12=z-2-1，且垂直於平麵x+2y-3z+5=0的平麵方程.
解法一用點法式，所給直線的方向向量S=｛3，2，-1｝，所給平麵的法線向量為
n1=｛1，2，-3｝
S×n1=ijk
32-1
12-3=-4i+8j+4k.
由題設知，所求平麵的法線向量n⊥S且n⊥n1，取n=-14(S×n1)=i-2j-k，於是所求平麵方程為(x-2)-2(y-1)-(z-1)=0，
即x-2y-z+1=0.
解法二設所求平麵方程為A(x-2)+B(y-1)+C(z-1)=0…①，由題設知所求平麵的法線向量｛A、B、C｝垂直於所給直線的方向向量｛3，2，-1｝，又垂直於所給平麵的法線向量｛1，2，-3｝.由二向量互相垂直的條件得3A+2B-C=0…②和A+2B-3C=0…③，由於A，B，C不全為0，所以在①、②、③所成的齊次線性方程組中，A、B、C的係數行列式為0，得
x-2y-1z-1
32-1
12-3=0，
即x-2y-z+1=0為所求的平麵方程.
例7求通過下列兩平麵π1∶2x+y-z-2=0和π2∶3x-2y-2z+1=0的交線，且與平麵π3∶3x+2y+3z-6=0垂直的平麵方程.
解設所求平麵為λ(2x+y-z-2)+μ(3x-2y-2z+1)=0，
即(2λ+3μ)x+(λ-2μ)y-(-λ-2μ)z+(-2λ+μ)=0.
由於所求平麵垂直於平麵π3，於是
3(2λ+3μ)+2(λ-2μ)+3(-λ-2μ)=0，
因而5λ-μ=0.取λ=1，有μ=5，即得所求平麵為17x-9y-11z+3=0.
例8判斷以下二條直線是否相交，若相交，求其交角：
x-12=y+21=z-21與x-96=y-23=z+11.
解直線L1∶x-12=y+21=z-2-1過點M1(1，-2，2)，其方向向量為S1=｛2，1，-1｝；
直線L2：x-96=y-23=z+11過點M2(9，2，-1)，其方向向量為S2=｛6，3，1｝.
由於M1M2=｛8，4，-3｝，從而可求出
(M1M2×S1)·S2=84-3
21-1631
631=0，
所以M1M2，S1，S2共麵，即L1與L2非異麵直線.顯然S1與S2不平行，故L1與L2相交.
設L1與L2的夾角為θ，則cosθ
=S1·S2S1·S2=2·6+1·3+(-1)·122+12+(-1)2·62+32+12=769，
∴θ=arccos769.
例9求兩直線L1：x+2y+5=0；
2y-z-4=0與L2：y=0；
x+2z+4=0的垂線方程.
解直線L1過點P10，-52，-9，其方向向量S1=｛-2，1，2｝；而直線L2過點P2(0，0，-2)，其方向向量S2｛2，0，-1｝.
由於公垂線的方向向量垂直於S1、S2，所以可取其方向向量
S=S1×S2=ijk
-212
20-1=｛-1，2，-2｝，
過直線L1作平行於S的平麵π1，過直線L2作平行於S的平麵π2.顯然公垂線在平麵π1，π2上，也就是說平麵π1和平麵π2的交線即是所求的公垂線.
平麵π1的法向量垂直於S，又垂直於S1，故可取其法向量為
n1=S×S1=ijk
-12-2
-212=｛6，6，3｝=3｛2，2，1｝，
所以平麵π1的方程可寫成
2x+2(y+52)+(z+9)=0，即2x+2y+z+14=0.
同樣π2的法向量可取為n2=S×S2=ijk
-12-2
20-1=｛-2，-5，-4｝.
所以平麵π2的方程可寫成-2x-5y-4(z+2)=0，即2x+5y+4z+8=0.
故所求的公垂線方程為2x+2y+z+14=0；
2x+5y+4z+8=0.
例10求與二直線L1：x=3z-1；
y=2z-1和L2：y=2x-5；
z=7x+2垂直相交的直線方程.
解設所求直線為L，而L⊥L1，L⊥L2，且L1，L2的方向向量分別為
S1=｛1，0，-3｝×｛0，1，-2｝=｛3，2，1｝，
S2=｛2，-1，0｝×｛7，0，-1｝=｛1，2，7｝.
為方便計，取L的方向向量S=14｛3，2，1｝×｛1，2，7｝=｛3，-5，1｝.
因L分別與L1和L2相交，則L與L1同在平麵π1上，L和L2同在平麵π2上，故L在π1和π2的交線上.因此由L，L1求出π1；由L，L2求出π2，從而求出它們的交線.
求π1：在L1上任取點M1(-1，-3，0)，在π1上任取點M(x，y，z)，則
(M1M×S1)·S=0，即
x-(-1)y-(-3)3-0
321
3-51=0，
∴π1為x-3z+1=0.
類似地求出π2的方程為37x+20y-11z+122=0，因此所求直線方程為
x-3z+1=0；
37x+20y-11z+122=0.
例11設空間內有一點A(-1，0，4)，有一平麵π：3x-4y+z+10=0和一條直線L1：x+11=y-31=z2，求一條過A點且與平麵π平行又與直線L1相交的直線方程.
解設過A(-1，0，4)的直線方程為
L：x+1l=ym=z-4n，
而直線L1過點B(-1，3，0)，因所求直線L與L1相交.故向量｛1，1，2｝，｛l，m，n｝及AB=｛0，3，-4｝共麵，因而
112
lmn
03-4=10l-4m-2n=0(1)
又L平行於π，故
3l-4m+n=0(2)
令l=1由，式(1)、(2)可解得m=43，n=73.
故所求直線為x+11=y43=z-473，即x+13=y4=z-47.
例12證明曲線4x-5y-10z-20=0；
x225+y216-z24=1是兩條相交直線，並求其對稱式方程.