則由d(y2ex)+d(x2ex)=C1exdx，得
y2ex+x2ex=C1ex+C2，
即原方程通解為y2+x=C1+C2e-x.
(2)將方程改寫成x［yy″+(y′)2］=yy′.
注意到yy″+(y′)2=(yy′)′，故方程可化為xd(yy′)dx=yy′.
令yy′=u，則xdudx=u，分離變量並積分，得u=C1x，yy′=C1x.
即2ydy=2C1xdx.
再積分，便得原方程通解為C1x2-y2=C2.
另解注意到方程左端函數是關於y，y′，y″的二次齊次函數.故若作變換y=eu，則
xeueuu″+(u′)2+xeuu′2-eu·eu·u′=0.
消去(eu)2，得xu″+2x(u′)2-u′=0.
此方程不顯含u，再令u′=P(x).則得貝努裏方程dPdx-1xP=-2P2.
易得其通解為dudx=P=xx2+C1，故原方程通解為
y=eu=e∫xx2+C1dx=eln(C2x2+C1)=C2x2+C1，
並可化為Ax2-y2=B(A=C22，B=-C1C22).
［解法總結］另解的方法具有一般性，當n階方程F(x，y，y′，…，y(n))=0的左端函數F是關於y，y′，…，y(n)的k次齊次函數時，均可令y=eu，將方程化為不顯含未知函數u的方程；再令u′=P(x)，即可降低一階.特別地，此方法適用於n階齊次線性方程(k=1)為
y(n)+P1(x)y(n-1)+…+Pn-1(x)y′+Pn(x)y=0.
§63二階線性微分方程
一、1會解二階常係數齊次線性方程.
2會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、餘弦函數，以及它們的和與積的二階常係數非齊次線性微分方程
二、本節知識串講
1二階線性微分方程解的結構
二階線性非齊次方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(6-3)
二階線性齊次方程y″+P(x)y+Q(x)=0(6-4)
則稱方程(6-4)為方程(6-3)所對應的齊次方程.
(1)若y，與y2是方程(6-4)的解，則c1y1+c2y2也是方程(6-4)的解.
(2)設y1，y2，…，yn是定義在區間I內的n個函數，若存在n個不全為零的常數k1，k2，…，kn使得當x在該區間內恒有k1y1+k2y2+…+knyn=0成立，則稱這n個函數在區間I內線性相關，否則稱為線性無關.
(3)對兩個函數y1與y2，若y1／y2=C(常數)，則y1與y2線性相關；若y1／y2≠C，則y1與y2線性無關.
(4)若y1與y2是方程(6-4)的兩個線性無關的特解，則C1y1+C2y2是方程(6-4)的通解，其中C1，C2是任意常數.
(5)若y*是方程(6-3)的一個特解，Y是方程(6-4)的通解，則y=y+Y是方程(6-3)的通解.
(6)若yi是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=fi(x)(i=1，2)的一個特解，則y1+y2是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)的一個特解.
2二階常係數齊次線性微分方程的解法(特征根法)，二階常係數
非齊次微分方程的解法(待定係數法)
(1)y″+py′+qy=0，p，q為常數，該方程稱為二階常係數齊次線性微分方程，它所對應的特征方程為r2+pr+q=0，其根為r1，r2：
二相異實根r1≠r2，通解為y=C1er1x+C2er2x；
二相等實根r1=r2=r，通解為y=(C1+C2x)erx；
一對共軛複根r1，2=α±iβ，通解為y=eαx(C1cosβ+C2sinβx).
［解法總結］n階齊次方程的一般形式
y(n)+P1y(n-1)+P2y(n-2)+…+Pn-1y′+Pny=0，
其中Pi為常數，i=1，2，…，n.其特征方程為λn+P1λn-1+…+Pn-1λ+Pn=0.
特征根與通解關係如下：
特征根方程的通解含有單重根λ=λiC1eλixk重實根λ=m(C1+C2x+…+Ckxk-1)emxλ=α±iβ為m重複根eαx［(C1+C2x+…+Cmxm-1)cosβx+(D1+D2x+…+Dm-1xm-1)sinβx］其中Ci，Di為常數，i=1，2，…，m.(2)y″+py′+qy=f(x)，p，q為常數，f(x)0，該方程稱為二階常係數非齊次線性微分方程.
當f(x)=eλxPm(x)，f(x)=eλxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx時(其中Pm(x)、Pl(x)、Pn(x)分別為m次、l次、n次多項式)，特解y的形式歸納如下(其中Qn(x)、R(1)m(x)、R(2)m(x)分別為n次、m次待定多項式，m=max｛l，n｝，方程的通解為y=y+Y，其中Y為相應的齊次方程的通解)：
f(x)的形式條件特解y*的形式f(x)=eλxPm(x)λ不是特征方程的根λ是特征方程的單根y=xkQn(x)eλx，k依次取0，1，2.
λ是特征方程的重根f(x)=eλx［Pl(x)coswx+
Pn(x)sinwx］k依λ+iw是否為特征方程的根(單根)，而依次取0，1y*=xkeλx［R(1)m(x)coswx+
R(2)m(x)·sinwx］三、能力、思維、方法
［能力素質］
例1解下列方程：
(1)y″+2y′+5y=0；(2)y″+y′+14y=0；
(3)y″-y′-2y=0，y(0)=0，y′(0)=1；
(4)y+6y″+(9+a2)y′=0，其中常數a＞0.
解(1)所給方程的特征方程為r2+2r+5=0.
特征根r1，2=-1±2i.
因此所求方程的通解為y=e-x(C1cos2x+C2sin2x).
(2)所給方程的特征方程為r2+r+14=0.
特征根為r1，2=-12是二個相等的實根.
因此所求通解為y=(C1+C2x)e-12x.
(3)因方程的特征方程為r2-r-2=0.
特征根為r1=-1，r2=2.
故原方程通解為y=e2x+C2e-x.
將y(0)=0，y′(0)=1代入通解，得C1+C2=0，2C1-C2=1.
∴C1=13，C2=-13.故滿足初始條件的特解為y=13e2x-13e-x.
(4)所給方程的特征方程為r3+6r2+(9+a2)r=0.
特征根為r1=0，r2，3=-3±i·a.
因此所求通解為y=C1+e-3x(C2cosax+C3sinax).
例2已知齊次線性微分方程的線性無關解組如下，並寫出原微分方程.
(1)e-x，xe-x；
(2)1，e-xsin2x，e-xcos2x.
解(1)可知所求方程的特征方程的根為r1，2=-1.
故特征方程為r2+2r+1=0，
因此原方程為y″+2y′+y=0.
(2)可知所給方程的特征方程的根為r1=0，r2，3=-1±i2.
故特征方程為r(r+1+i2)(r+1-i2)=0，即r3+2r2+5r=0.
因此原方程為y+2y″+5y′=0.
例3求解下列微分方程：
(1)y″+16y=sin(4x+a)，其中a是常數；
(2)y″-2y′+2y=excos2xcosx；
(3)y″-4y′+4y=(1+x+x2+…+x23)e2x.
解(1)特征方程為r2+16=0.特征根為r1，2=±i4.
對應的齊次方程通解為Y=C1cos4x+C2sin4x.
設特解y*=x［Acos(4x+a)+Bsin(4x+a)］，
求y′，y″並將它們代入原方程，整理得
8Bcos(4x+a)-8Asin(4x+a)=sin(4x+a).
比較係數，得B=0，A=-18.
所以y=-18xcos(4x+a).
故原方程通解為y=C1cos4x+C2sin4x-18xcos(4x+a).
(2)先求y″-2y′+2y=0的通解
特征方程r2-2r+2=0.特征根r1，2=1±i.
通解為Y=ex(C1cosx+C2sinx).
下麵求y″-2y′+2y=excos2xcosx的特解：
因為cos2xcosx=12(cos3x+cosx)，
所以y″-2y′+2y=12excos3x+12excosx.
①求y″-2y′+2y=12excos3x的特解.
因為1+i3不是特征根，設特解y1=ex(Acos3x+Bsin3x).代入方程，整理得
-8Acos3x-8Bsin3x=12cos3x.
故A=-116，B=0，有y1=-116excos3x.
②求y″-2y′+2y=12excosx的特解.
因為1+i是特征根，設特解y2=xex(A1cosx+B1sinx)代入方程，整理得
-2A1sinx+2B1cosx=12cosx，
故B1=14，A1=0.所以y2=x4exsinx，因此，原方程的一個特解為
y2=-116excos3x+x4exsinx，
其通解為
y=ex(C1cosx+C2sinx-116cos3x+x4sinx).
(3)特征方程為r2-4r+4=0.
特征根為r=2.
故對應的齊次方程的通解為Y=(C1+C2x)e2x.
因為r=2是特征方程的重根，故設原方程的特解為
y=(a0x2+a1x3+…+a23x25)e2x.代入原方程，有
y″-4y′+4y=(1·2a0+2·3a1x+3·4a2x2+…24·25a23x23)e2x
=(1+x+x2+…+x23)e2x.
比較兩端係數，得a0=11·2，a1=12·3，…，a23=124·25，
故原方程通解為y=(C1+C2x)e2x+∑24k=11k(k+1)xk+1e2x.
例4設函數ex，ex+1，ex+xex都是非齊次線性方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的解，試求此方程的通解.
解取y1=ex+xex，y2=ex+1，y3=ex，因為它們都是所給非齊次線性方程的解，且
y1-y3y2-y3=xex1=xex≠常數，
所以所給非齊次線性方程的通解為
y=C1(ex+xex)+C2(ex+1)+(1-C1-C2)ex=C1xex+C2+ex.
例5求解微分方程(1-x2)y″-2xy′+2y=0(｜x｜＜1).
解這是二階變係數齊次線性方程.注意到y′與y的係數(-2x)與2之間的關係，可知此方程有一個特解y1(x)=x.
我們利用常數變易法求此方程的另一個特解y2(x).令y2(x)=x·u(x)，代入原方程，有
(1-x2)(xu″+2u′)-2x(xu′+u)+2xu=0，
即x(1-x2)u″+(2-4x2)u′=0.
此方程不顯含u(x).故而再令u′(x)=P(x)，得一階線性方程
x(1-x2)P′+(2-4x2)P=0，
其通解為P=C1x2(1-x2).
所以y2(x)=xu(x)=x∫P(x)dx+C2
=x∫C1x2(1-x2)dx+C2
=xC1(12lnx+11-x-1x)+C2
=x12ln1+x1-x-1x.
此處取C1=1，C2=0，故原方程通解為
y=C1x+C2x12ln1+x1-x-1x(｜x｜＜1).
§6.4用微分算子法求解n階常係數線性非齊次微分方程
一、本節知識串講
凡是可以用待定係數法求解的常係數線性非齊次微分方程都可以用算子法求解：
定義：dkydxk=Dky，而D-1=1D表示積分，則n階常係數線性非齊次微分方程為
y(n)+P1y(n-1)+…+Pn-1y′+Pny=f(x).
可記為Dny+P1Dn-1y+…+Pn-1Dy+Pny=f(x).即
(Dn+P1Dn-1+…+Pn-1D+Pn)y=f(x).
記F(D)=Dn+P1Dn-1+…+Pn-1D+Pn，稱為算子多項式，則方程可化為F(D)y=f(x).
定義方程F(D)y=f(x)的特解為
y=1F(D)f(x).
算子1F(D)具有下列性質：
(1)1F(D)kf(x)=k1F(D)f(x)(k為常數).
(2)當F(k)≠0時，1F(D)ekx=ekxF(k).
(3)當F(-a2)≠0時，1F(D2)sinax=sinaxF(-a2).
(4)當F(-a2)≠0時，1F(D2)cosax=cosaxF(-a2).
(5)1F(D)ekxV(x)=ekx1F(D+k)V(x).
(6)1F(D)［f1(x)+f2(x)］=1F(D)f1(x)+1F(D)f2(x).
(7)1F1(D)F2(D)f(x)=1F1(D)1F2(D)f(x)=1F2(D)1F１(D)f(x).
(8)1F(D)(a0xp+a1xp-1+…+ap-1x+ap)
=Qp(D)a0xp+a1xp-1+…+ap-1x+ap.
Qp(D)是由F(D)除1的商中得到的p階算子多項式，此時餘項R(D)是不低於p+1階的算子多項式，即F(D)Qp(D)+R(D)≡1.
二、能力、思維、方法
例1求解下列微分方程的特解：
(1)y″+4y=e2x；(2)y″+4y=3cosx；
(3)y″-2y′+y=5xex；(4)y-3y″+3y′-y=ex.
解(1)方程可寫成(D2+4)y=e2x，於是特解為
y=1D2+4e2x=1(2)2+4e2x=18e2x.
(2)方程可寫成(D2+4)y=3cosx，於是特解為
y=1D2+43cosx=3-1+4cosx=cosx.
(3)方程可寫為(D2-2D+1)y=5xex，於是特解為
y=1(D-1)25xex=5ex1［D+1-1］2x=5ex1D2x=56x3ex.
(4)方程可寫成(D3-3D2+3D-1)y=ex，即(D-1)3y=ex.
於是特解為y=1(D-1)3ex，因為F(1)=0，不能用性質(2)，可視ex為ex·1，於是應用性質(5)，有特解為
y=1(D-1)3ex·1=ex1(D+1-1)3·1=ex1D3·1=x36ex.
例2求解下列非齊次微分方程的通解：
(1)y″+4y′+4y=e3x；(2)y″-4y′+4y=(1+x+…+x2002)e2x；
(3)y-y=sinx；(4)y″-2y′+2y=xexcosx.
解(1)∵對應的特征方程為λ2+4λ+4=0，特征值為λ1=λ2=-2.
∴對應的齊次方程通解為y=(C1+C2x)e-2x.
非齊次方程的一個特解為
y=1D2+4D+4e3x=1(D+2)2e3x=1(3+2)2e3x.
故原非齊次方程的通解為
y=(C1+C2x)e-2x+125e3x.
(2)特征方程為λ2-4λ+4=0，特征值為λ1=λ2=2.
對應的齊次方程通解為y=e2x(C1+C2x)；而非齊次方程的特解為
y=1D2-4D+4e2x(1+x+…+x2002)
=e2x1(D+2)2-4(D+2)+4(1+x+…+x2002)
=e2x1D2(1+x+…+x2002)
=e2xx21.2+x32.3+…+x20042003·2004，
故原方程通解為
y=e2xC1+C2x+e2xx21·2+x32·3+…+x20042003·2004.
(3)特征方程為λ3-1=0，即(λ-1)(λ2+λ+1)=0.
特征根為λ1=1，λ2，3=-1±i32.
對應的齊次方程通解為
y=C1ex+e-x2C2cos32x+C3sin32x；
非齊次方程特解為y=1D3-1sinx=1D2D-1sinx
=-1D+1sinx=-D-1D2-1sinx
=12cosx-sinx.
故原方程通解為
y=C1ex+e-x2C2cos32x+C3sin32x+12(cosx-sinx).
(4)特征方程為λ2-2λ+2=0，得特征值為λ=1±i.
對應的齊次方程的通解為y=ex(C1cosx+C2sinx)；
非齊次方程的特解為
y=1D2-2D+2exxcosx=ex1(D+1)2-2(D+1)xcosx
=ex1D2+1xcosx.
∵cosx是eix的實部，∴先求1D2+1xeix，再取實部，即得1D2+1xcosx.
由於1D2+1eixx=eix1(D+i)2+1x=eix1D2+i2Dx
=eix1D(D+i2)x=eix1D1i2+D4x
=eix1i21D+14x=eix1i2·12x2+14x
=eix-i4x2+14x，
Re1D2+1eixx=Reeix-i4x2+14x=x4(xsinx+cosx).
因此特解為y=14x(xsinx+cosx)ex，
故原方程通解為
y=exc1cosx+c2sinx+14xex(xsinx+cosx).
§6.5歐拉方程
一、本節知識串講
歐拉方程的一般形式為
xny(n)+P1xn-1y(n-1)+…+Pn-1xy′+Pny=f(x)，
其中P1，P2，…，Pn-1，Pn是常數.經變換x=et，即t=lnx後，歐拉方程化為以t為自變量的常係數線性方程為
dnydtn+a1dn-1ydtn-1+…+an-1dydt+any=f(et).
求出通解後，將t換成lnx，即得原方程的解.
二、能力、思維、方法
［能力提高］
例1求方程x2y″-xy′+y=x+1x的通解.
解這是二階非齊次歐拉方程.令x=et，t=lnx，則有
dydx=dydt·dtdx=1x·dydt，
d2ydx2=ddx1xdydt=1x·d2ydt2·1x-1x2·dydt=1x2d2ydt2-dydt，
於是原方程化為常係數非齊次線性方程為
d2ydt2-2·dydt+y=et+e-t.
由特征方程r2-2r+1=(r-1)2=0，得特征根r1=r2=1.
對應的齊次方程的通解為y=(C1+C2t)et.
對於y″-2y′+y=et，令特解y1=At2et，代入方程可求得A=12，所以y1=12t2et；
對於y″-2y′+y=e-t，令特解y2=Be-t，代入方程可求得B=14，
所以y2=14e-t；
從而非齊次方程的通解為
y=(C1+C2t)et+12t2et+14e-t；
原歐拉方程的通解為
y=x(C1+C2lnx)+12xln2x+14x.
［激活思維］
例2求微分方程x2y″-xy′+4y=coslnx+xsinlnx的通解.
解令x=et，則原方程化成：
D(D-1)y-Dy+4y=cost+etsint；
(D2-2D+4)y=cost+etsint，
易得對應的齊次方程的通解為
y=et(C1cos3t+C2sin3t).
上述方程的特解為
y=1D2-2D+4(cost+et·sint)
=1D2-2D+4cost+1D2-2D+4etsint
=13-2Dcost+et1D2+3sint
=113(3cost-2sint)+12etsint，
故得原方程的通解為
y=etC1cos3t+C2sin3t+1133cost-2sint+12etsint
=x(C1cos3lnx+C2sin3lnx)+113(3coslnx-2sinlnx)+12xsinlnx.
例3求由方程(1+x)y=∫x02y+(1+x)2y″dx-ln(1+x)(x≥0)，y′(0)=0所確定的函數y(x).
解兩邊對x求導得(1+x)2y″-(1+x)y′+y=11+x，
且有y(0)=0，y′(0)=0.
這是歐拉方程：令1+x=et，即t=ln(1+x)，則方程化為
d2ydt2-2dydt+y=e-t
其通解為y=(C1+C2t)et+12e-t，
故歐拉方程通解為
y=［C1+C2ln(1+x)］(1+x)+12(1+x).
由條件y(0)=0，y′(0)=0，得C1=-1，C2=1，所以由方程所確定的函數為
y(x)=--12+ln(1+x)(1+x)+12(1+x)+12(1+x).
§6.6一階常係數線性微分方程組
一、本節知識串講
形如dydx=a1y+b1z+f1(x)；
dzdx=a2y+b2z+f2(x)的方程組(其中a1，b1，a2，b2是常數，f1(x)、f2(x)是已知函數)稱為一階常係數線性微分方程組；如果f1(x)、f2(x)都恒等於零，方程組就稱為是齊次的；否則就稱為是非齊次的.
一般采用消元法解一階常係數線性微分方程組.如消去z，dzdx，則得到一個有關y的二階常係數線性微分方程.
二、典型例題與解題方法和技巧
例1求解微分方程組dydx=3y-2z；(1)
dzdx=2y-2z+2ex.(2)的通解.
解由式(1)得z=32y-12dydx，(3)
則dzdx=32·dydx-12d2ydx2.(4)
將式(3)、(4)兩式代入式(2)，整理得
d2ydx2-dydx-2y=-4ex，(5)
求式(5)的通解：特征方程r2-r-2=0，得特征根r1=2，r2=-1，故式(5)對應的齊次方程的通解為C1e2x+C2e-x.
設y=Aex代入式(5)，解得A=2，即y=2ex為式(5)的特解，
∴y=C1e2x+C2e-x+2ex.
代入式(3)得z=32y-12dydx=
32(C1e2x+C2e-x+2ex)-12(2C1e2x-C2e-x+2ex)=
12C1e2x+2C2e-x+2ex，
故得微分方程組的通解為
y=C1e2x+C2e-x+2ex；
z=12C1e2x+2C2e-x+2ex.
例2解方程組dxdt+y=et
dydt-x=-t，x(0)=1，(1)
y(0)=1.(2)