第六章常微分方程
§61常微分方程的概念及一階微分方程
一、熟知考綱考點
1了解微分方程的階及其解、通解、初始條件和特解等概念.
2掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法.
二、本節知識串講
1微分方程
含有自變量、未知函數及未知函數的導數或微分的關係式，其中未知函數的導數或微分不可或缺，稱為微分方程.如果微分方程中的未知函數是一元函數，則稱為常微分方程.
微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，稱為微分方程的階.
微分方程的一般形式為
F(x，y，y′，…，y(n))=0(6-1)
或y(n)=f(x，y，y′，…，y(n-1)).(6-2)
2微分方程的解與通解
若將函數y=φ(x)代入方程(6-1)或方程(6-2)，使方程(6-1)或(6-2)成為恒等式，則y=φ(x)稱為該微分方程(6-1)或(6-2)的顯式解.
若由關係式Φ(x，y)=0所確定的隱函數y=φ(x)是微分方程(6-1)或(6-2)的解，則稱Φ(x，y)=0是該微分方程的隱式解.
如果n階微分方程的解中含有n個相互獨立的任意常數，則稱此解為該微分方程的通解.
3初始條件與微分方程的特解
n階微分方程y(n)=f(x，y，y′，…，y(n-1))的初始條件是指下述n個條件：
y(x0)=y0，y′(x0)=y′0，…，y(n-1)(x0)=y(n-1)0，其中x0，y0，y′0，…，y(n-1)0是給定的n+1個實常數.
由所給的初始條件(或其他定解條件)從通解中定出所有任意常數而得到的解，稱為微分方程的特解.
4一階常微分方程的基本類型與通解形式
(1)可分離變量方程：
f(x)dx=g(y)dy，兩邊積分求出通解為
∫f(x)dx=∫g(x)dy+C.
(2)齊次方程：
dydx=f′yx，令u=yx，可將原方程化為
duf(u)-u=dxx，積分得通解∫1f(u)-udu=lnx+C，
其中u=yx要回代.
(3)可化為齊次型的微分方程：
dydx=fax+by+ca1x+b1y+c1.
當a1a=b1b=λ時，令v=ax+by，可將方程化為1bdvdx-a=fv+cλv+c1，即化為可分離變量的微分方程，由形式(1)之解法可以求出其通解；
當a1a≠b1b時，令x=X+h，y=Y+k，其中h，k滿足ah+bk+c=0，
a1h+b1k+c1=0，可將方程化為dYdX=faX+bYa1X+b1Y，即化為齊次方程，由形式(2)之解法可求出其通解.
(4)一階線性微分方程：
dydx+p(x)y=q(x)用常數變易法求其通解為
y=e-∫p(x)dxC+∫q(x)e∫p(x)dxdx.
(5)貝努裏方程：
y′+p(x)y=q(x)yn，其中n≠0，1.
令z=y1-n，則將其化為一階線性方程
dzdx+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x).即由(4)之解法可求出其通解.
(6)全微分方程：
P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0……()
其中Py=Qx成立.其通解為∫xx0P(x，y0)dx+∫yy0Q(x，y)dy=C.
［解法總結］若用函數μ(x，y)≠0乘方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0，所得到的方程μ(x，y)P(x，y)dx+μ(x，y)Q(x，y)dy=0.是全微分方程，則稱μ(x，y)為方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的積分因子.
微分方程()具備形如μ=μ(z(x，y))的積分因子的充要條件是Qx-PyZyP-ZxQ，並是Z的連續函數，記為f(z)，此時，方程()的積分因子為μ(x)=e∫f(x)dx.
三、能力、思維、方法
［能力素質］
例1判別下列一階微分方程的類型，並求其通解：
(1)y′sinx-ycosx=0；(2)2x(yex2-1)dx+ex2dy=0；
(3)eydx+(xey-2y)dy=0；(4)(2x-y)dx+(2y-x)dy=0.
解(1)原式是可分離變量型微分方程，其分離變量，有dyy=cotxdx.積分，得lny=lnsinx+C1，通解為
y=Csinx，其中C=eC1.
(2)解法一因為［2x(yex2-1)］y=ex2x=2xex2，
所以原方程是全微分方程，其中
P(x，y)=2x(yex2-1)，Q(x，y)=ex2.
所以u(x，y)=∫x0P(x，y)dx+∫y0Q(0，y)dy
=∫x02x(yex2-1)dx+∫y0dy
=yex2-x2-y+y=yex2-x2，
故通解為yex2-x2=C.
解法二將方程變形為
2xyex2dx+ex2dy-2xdx=0，即(ydex2+ex2dy)-dx2=0
d(yex2-x2)=0，其通解為yex2-x2=C.
(3)將x看作未知函數，y看作自變量，則可將原方程化為一階非齊次線性方程：
dxdy+x=2ye-y
故通解為(這裏p(x)=1，q(x)=2ye-y)：
x=e-∫dy(∫2ye-y.e∫dy·dy+c)=e-y∫2ydy+c=e-y(y2+c).
另解，此方程亦可看作全微分方程，變形有(eydx+xdey)-dy2=0，即
d(xey-y2)=0.故通解為xey-y2=C.
(4)本方程是齊次型方程，變形有
dydx=2x-yx-2y，即dydx=2-yx1-2yx，令u=yx，則
dydx=u+x·dudx.故原方程為
u+x·dudx=2-u1-2u，即1-2u2u2-2u+2du=1xdx，且為
-d(u2-u+1)2(u2-u+1)=dxx，解得
-12ln(u2-u+1)=lnx+lnc，將u=yx代入，得通解為
y2-xy+x2=C1，C1=1C2.
另解，本方程也是全微分方程，其中P(x，y)=2x-y，Q(x，y)=2y-x，
∴u(x，y)=∫x0(2x-y)dx+∫y02ydy=x2-xy+y2，
故通解為x2-xy+y2=C.
例2求下列方程滿足初始條件的特解：
(1)2y′lnx+yx=cosxy，y(e)=0；
(2)(3y-7x+7)dx-(3x-7y-3)dy=0，y(1)=2.
解(1)方程為n=-1的貝努裏方程，令z=y2，
方程化為一階非齊次線性方程dzdx+1xlnxz=cosxlnx，
通解為z=e-∫dxxlnx∫cosxlnxe-∫dxxlnxdx+C=1lnxsinx+C.
代入初始條件，得C=-sine.
所以滿足初始條件的特解為y2=1lnx(sinx-sine).
(2)本方程為
dydx=-7x+3y+73x-7y-3且可化為齊次的微分方程.
由於aa1=-73≠bb1=-37，所以令x=X+h，y=Y+k，則
-7x+3y+7=-7X-7h+3Y+3k+7，整理得
3x-7y-3=3X+3h-7Y-7k-3.
令-7h+3k+7=0；
3h-7k-3=0，得h=1，k=0.
這時x=X+1，y=Y，原方程為
dYdX=-7X+3Y3X-7Y.再作變換Z=YX，得3-7Z7(Z2-1)dZ=dXX，即
17-5Z+1-2Z-1dZ=1XdX.積分，得
-57ln(Z+1)-27ln(Z-1)=ln(XC1)，
(Z+1)57(Z-1)27=1XC1，
因此(Y+X)5(Y-X)2=1C71.
所以原方程通解為(x+y-1)5(x-y-1)2=C，
代入初始條件y(1)=2，得C=27，
所以滿足初始條件的特解為(x+y-1)5(x-y-1)2=27.
有時，微分方程需要通過變形或變量代換化為熟知的類型.
例3求解方程y′+siny+xcosy+x=0.
解將方程變形為
y′+2siny2cosy2+x·2cos2y2=0，即12sec2y2·y′+tany2+x=0.
令u=tany2，則有dudx=12sec2y2·y′.
原方程化為dudx+u=-x.
這是一階線性非齊次方程，解之得原方程的通解為tany2=1-x+Ce-x.
例4解方程(xy5-x2y2)dy+(x2-y6)dx=0.
解原方程可變形為
xy2(y3-x)dy+(x-y3)(x+y3)dx=0.
設y3-x≠0(x=y3是所給方程的一奇解)，得
xy2dy-(x+y3)dx=0.
令y3=u，得13xdu-(x+u)dx=0，
即dudx-3xu=3.這是一個線性方程，因而有
u=e∫3xdx∫3e-∫3xdxdx+C=e3lnx∫3e-3lnxdx+C
=x3-32x-2+C=-32x+Cx3，
故原方程的通解為y3+32x+Cx3=0.
例5求2x(yex2-1)dx+ex2dy=0滿足條件x=0時，y=1的特解.
解注意到本題的特點，令u=x2，則當u=0時，y=1，且原方程化為
(yeu-1)du+eudy=0.即dydu+y=e-u，因此
y=(C+u)e-u.代入初始條件y
u=0=1，得C=1.
故原方程滿足初始條件的特解為y=(1+x2)e-x2.
例6求方程sinydydx=(1+xcosy)cosy的通解.
解以1cos2y乘方程兩端得
sinycos2y·dydx=1cosy+x.
作代換u=1cosy，dudx=sinycos2y·dydx，原方程為dudx-u=x，
解得u=ex(∫xe-xdx+C)=ex(-xex-e-x+C).
故原方程通解為1cosy=Cex-x-1.
有時，需通過仔細的觀察，求出積分因子，將一階方程化為全微分方程.
例7找出下列方程的積分因子，並求解：
(1)y(2xy+ex)dx-exdy=0；
(2)(2x3y2+4x2y+2xy2+xy4+2y)dx+2(y3+x2y+x)dy=0.
解(1)原方程為2xy2dx+yexdx-exdy=0.
經觀察，得積分積子μ=1y2，則有2xdx+yexdx-exdyy2=0，
即dx2+exy=0
故原方程通解為x2+exy=C.
(2)設P=2x3y2+4x2y+2xy2+xy4+2y；Q=2(y3+x2y+x)，且有
Py=4x3y+4x2+4xy+4xy3+2，Qx=4xy+2，
1QPy-Qx=4x(x2y+x+y3)2(y3+x2y+x)=2x，
故積分因子為μ=e∫2xdx=ex2.
於是原方程化可為
ex2(2x3y2+4x2y+2xy2+xy4+2y)dx+2ex2y3+x2y+xdy=0.
所以積分得u(x，y)≡∫x00dx+2∫y0ex2(y3+x2y+x)dy
=ex2y42+x2y2+2xy.
因此原方程的通解為ex212y4+x2y2+2xy=C.
［激活思維］
當不易直接求出積分因子時，可考慮分組求解方程.
例8求解方程(x3+xy2-y)dx+(x2y+y3+x)dy=0.
解將方程變形並分組，有(xdy-ydx)+(x2+y2)(xdx+ydy)=0.
以(x2+y2)除上式，得xdy-ydxx2+y2+(xdx+ydy)=0，
即dyx1+yx2+dx22+y22=0，
故原方程的通解為arctanyx+x22+y22=C.
例9求方程ydx+(-x+2y3)dy=0的通解.
解將方程左邊分組ydx-xdy+2y3dy=0，以y2除上式，得
ydx-xdyy2+2ydy=0，即dxy+dy2=0.
故原方程的通解為xy+y2=C.
另解；方程變形為dxdy-1yx=-2y2.
這是一階線性非齊次方程，其通解為
x=e∫1ydy∫-2y2e-∫1ydydy+C=y(-y2+C).
下麵的微分方程是未知函數的一階導數未解出的方程.
例10求下列各微分方程的通解：
(1)y′2-(x+y)y′+xy=0；(2)y=y′x+1y′；
(3)x=2y′+lny′；(4)x2y′2+xyy′-2y2=0.
解(1)析因式(y′-x)(y′-y)=0.
由y′-x=0，即dydx=x，解得y=12x2+C；
由y′-y=0，即dydx=y，解得y=Cex.
顯然，包括在y=12x2+C及y=Cex之內的一切解，都滿足原來的方程.
(2)原方程y=y′x+1y′再對x求導，有y′=y′+xdy′dx-1y′2·dy′dx，
化簡，有x-1y′2dy′dx=0.
由dy′dx=0得y′=C.代入原方程，所求通解為y=Cx+1C.
［解法總結］若由x-1y′2=0求出y′=±1x，代入原方程，得y=±2x或y2=4x，也是原方程的解.顯然，它不包含在通解y=Cx+1C之內，稱為原方程的奇解.
(3)此處已解出x，對y求導數，得
1y′=2+1y′dy′dy或dy=(2y′+1)dy′.
積分，有y=y′2+y′+C，令y′=P，則原方程的通解可表示為以P為參數的參數方程為：
x=2P+lnP，
y=P2+P+C.
(4)此處可解出x(或y)為
x=-y′y±y′2y2+8y′2y22y′2=-y′y±3y′y2y′2.
由x=-y′y+3y′y2y′2=yy′，對y微分，得
1y′=1y′-yy′2·dy′dy或dy′dy=0.
由dy′dy=0得y′=C，代入x=yy′有y=Cx；
由x=-y′y-3y′y2y′2=-2yy′對y微分有
1y′=-2y′+2yy′2·dy′dy或32dyy=dy′y′.
積分得y′=1C1y32，代入x=-2yy′，得x2y=4C21=C.
於是原方程的通解為y=Cx或x2y=C.
例11確定p的值，使1(x2+y2)p(x-y)dx+(x+y)dy=0為全微分方程，並求其解.
解∵P=x-y(x2+y2)p，Q=x+y(x2+y2)p，
∴Py=-(x2+y2)-(x-y)2yp(x2+y2)p+1=(2p-1)y2-x2-2pxy(x2+y2)p+1，
Qx=x2+y2-(x+y)2xp(x2+y2)p+1=(1-2p)x2+y2-2pxy(x2+y2)p+1.
由於Py=Qx，∴p=1.
∵x2+y2≠0，故取不經過原點的積分路徑.因此
u(x，y)=∫x0x-1(x2+1)dx+∫y1x+y(x2+y2)dy
=12ln(1+x2)-arctanx+arctanyx-arctan1x+12ln(x2+y2)-12ln(x2+1).
=arctanyx+12ln(x2+y2)-π2，
所以原方程之通解為arctanyx+12ln(x2+y2)=C.
所以，原方程之通解為arctanyx+12ln(x2+y2)＝C.
［真題在線］
例12(97年)設函數f(x)在［0,+∞］上連續，且滿足方程
f(x)＝e4m2＋x2+y2≤4t212x2+y2dxdy求f(x).
分析二重積分x2+y2f(12x2+y2)dxdy的積分域是一個圓域，其半徑2t，是t的函數，被積函數f(12x2+y2)是關於x2+y2的函數.因此本題應在極坐標下化為累次積分.從而可使原方程化為含變上限積分的方程.
解顯然，f(0)＝1，由於
x2+y2≤4t2f(12x2+y2)dxdy
＝∫2x0dθ∫2t0f(12r)rdr
＝2π∫2t0rf(12r)dr
從而有f(t)＝e4πt2+2π∫2t0rf(12f)dr
上式兩邊對t求導得
f′(t)＝8πte4πt2＋8πtf(t)
解上述關於f(t)的一階線性微分方程得
f(t)＝e∫8πtdt［∫8πte4πt2e－∫8πtdtdt+C］
＝e4πt2［8π∫tdt+C］
＝(4πt2+C)e4πt2
代入f(0)＝1，得C＝1，因此
f(t)＝(4πt2+1)e4πt2
例13(98年)設函數f(x)在［1，+∞）上連續，若由曲線y＝f(x)直線x＝1,x＝t(t＞1)與x軸圍成的平麵圖形繞x軸旋轉一周所形成旋轉體體積為
V(t)＝π3［t2f(t)-f(1)］
試求f(x)所滿足的微分方程，並求該微分方程滿足條件yx＝2＝29的解.
解析首選應根據題意求出旋轉體體積v(t),然後就可得到微分方程，最後求解散分方程即可.
解V(t)＝π∫t1f2(x)dx＝π3［t2f(t)-f(1)］
即3∫t1f2(x)dx＝t2f(t)－f(1)
兩邊對t求導得
3f2(t)＝2tf(t)+t2f′(t)
即dydx＝3(yx)2－2yx
令yx＝u,則有
xdudx＝3u(u-1)
duu(u-1)＝3dxx
兩邊積分得u-1u＝cx3
從而有y－x＝cx3y
由已知條件求得c＝－1，從而所求的解為
y－x＝-x3y
例14(99年)設有微分方程y′-2y＝φ(x)，其中φ(x)＝2,x＜1
0x＞1.試求在(-∞,＋∞)內的連續函數y＝y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)內都滿足所給方程，且滿足條件y(0)＝0
分析這是一道求解微分方程的題，其特點也就是難點在於非齊次項是一個分段函數.因此需求解兩個一階線性方程，顯然該方程的解y(x)也是分段函數，為使y(x)連續，需調整y(x)中的任意常數.
解當x＜1時，有y′－2y＝2，其通解為
y＝C1e2x-1(x＜1)
由y(0)＝0知，C1＝1，所以y＝e2x-1,(x＜1)
當x＞1時，有y′－2y＝0，其通解為y＝C2e2x(x＞1)
由limx→1+C2e2x＝limx→1-(e2x-1)＝e2x-1得C2＝1-e－2，所以
y＝(1-e－2)2x(x＞1)
因此y(x)＝e2x-1若x≤1
(1-e-2)e2x若x＞1
§6.2可降階的微分方程
一、熟知考綱考點
用簡單的變量代換求解可降階的高階微分方程
二、本節知識串講
1y(n)=f(x)型的微分方程該微分方程的通解形式為y=∫…∫n重f(x)dx…dxn重+C1xn-1+C2xn-2+…+Cn-1x+Cn.
2y″=f(x，y′)，即不顯含變量y型的微分方程
令y′=P，則y″=P′，原方程降為一階方程P′=f(x，P).設其通解為P=φ(x，C)，即y′=φ(x，C1)，則原方程的通解為y=∫φ(x，C1)dx+C2.
3y″=f(y，y′)型的微分方程
該微分方程不顯含變量x，令y′=P，則y″=dPdx=dPdy·dydx=P·dPdy，原方程化為一階方程PdPdy=f(y，P).設其通解為P=φ(y，C1).即dydx=φ(y，C1)，則原方程通解為
∫dyφ(y，C1)=x+C2.
三、能力、思維、方法
［能力素質］
例1求解下列微分方程：
(1)y=xe-x；(2)x2y″=(y′)2+2xy′；
(3)y″lny+1y(y′)2=1；(4)y″-(y′)2=1.
解(1)對所給方程接連積分三次，得
y″=-xe-x-e-x+C1，
y′=(x+2)e-x+C1x+C2，
y=(x+1)e-x+12C1x2+C2x+C3.
這就是所求的通解.
(2)所給方程不顯含y，所以令y′=P，有y″=P′，P′-2xP=1x2P2.
這是n=2的貝努裏方程，令z=P-1，得dzdx+2xz=-1x2.
所以z=e-∫2xdx∫-1x2e∫2xdxdx+C1=1x2(-x+C1)，
即P=x2C1-x，因而y=∫x2C1-xdx，
所以y=-x22-C1x-C21lnC1-x+C2.
(3)所給方程是不顯含變量x的，設y′=P.代入方程並化簡有
dPdy+1ylnyP=1lnyP-1.
這是n=-1的貝努裏方程，令Z=P2，得dZdy+2ylnyZ=2lny，
所以P2=1(lny)2(2ylny-2y+C1)，且
dydx=±2lnyylny-y+C2C2=C12.
分離變量後得±lnydy2ylny-y+C2=dx.
注意到lnydy=d(ylny-y+C2)，故±2·ylny-y+C2=x+C3.
兩邊平方後得ylny-y+C2=12(x+C3)2.
另解，用湊微分法解此方程.注意到(y′lny)′=y″lny+1y(y′)2，
原方程可化為(y′lny)′=1，即y′lny=x+C3.
分離變量後得通解為ylny-y=12x+C32-C2.
(4)所給方程既是y″=f(x，y′)型，也是y″=f(y，y′)型，令y′=P，得P′-P2=1.
分離變量後，解得arctanP=x+C，即y′=tan(x+C1).
故原方程的通解為y=-lncos(x+C1)+C2.
［激活思維］
例2解下列方程：
(1)yy″+y′2+yy′+x+1=0；
(2)xyy″+x(y′)2-yy′=0.
分析這兩個方程都顯含x，y，y′，y″，屬於二階方程F(x，y，y′，y″)=0的一般情況，故不能用前述變換y′=P(x)或y′=P(y)求解.這時，應著重分析方程特點，尋求新的變換，達到降階、求解的目的.
解(1)事實上，此方程可改寫成
(yy′)′+12y2′+12x2′+x′=0，即ddx(yy′+12y2+12x2+x)=0.
積分有ydydx+12y2+12x2+x=C.
所以2ydy+(y2+x2+2x)dx=C1dx，其中C1=2C.
注意到ex(y2dx+dy2)=y2dex+exdy2=d(y2ex)，ex(x2+2x)dx=d(x2ex)，可知此方程有積分因子μ(x)=ex，以μ(x)=ex乘此方程兩邊，