解法一用消元法設法消去y，dydt，為此式(1)兩邊對t求導得
d2xdt2+dydt=et.(3)
由式(2)解出dydt=x-t，再代入式(3)，得d2xdt2+x-t=et，即
d2xdt2+x=t+et，(4)
解此常係數線性微分方程組，其通解為
x=C1cost+C2sint+12et+t.(5)
將式(5)代入式(1)得
y=C1sint-C2cost+12et-1，(6)
原方程通解為x=C1cost+C2sint+12et+t，
y=C1sint-C2cost+12et-1.(7)
將初始條件x(0)=1，y(0)=1代入式(7)，得C1=12，C2=-32，
故原方程組的解為x=12cost-32sint+12et+t，
y=12sint+32cost+12et-1.
解法二用算子法求解：令D=ddt，則原方程組可表示為
Dx+y=et，
-x+Dy=-t.(8)
把式(8)看作是關於x，y的線性代數方程組，其係數行列式D1
-1D=D2+1.
再形式地應用克萊姆法則，得
x=et1
-tDD1
-1D=Det+tD2+1，(9)
y=Det
-1-tD1
-1D=D(-t)+etD2+1.(10)
注意在計算行列式時，應讓算符D位於函數之前.式(9)、(10)等價於
(D2+1)x=Det+t；
(D2+1)y=D(-t)+et.
再利用算符D的定義，上式即為兩個常係數微分方程：
d2xdt2+x=et+t；
d2ydt2+y=-1+et.
解此二個常微分方程，並注意到初始條件，得原方程的解為
x=12cosx-12sint+12et+t，
y=12sint+32cost+12et-1.
注：利用算符D的方法在解高階線性方程組時顯示出優越性，見下麵的示例
例3求解方程組d2xdt2+dydt+3x=e-t，(1)
d2ydt2-4dxdt+3y=sin2t.(2)
解引入算符D=ddt，則方程組可寫成
(D2+3)x+Dy=e-t(3)
-4Dx+(D2+3)y=sin2t(4)
形式地應用克萊姆法則，得
x=e-tD
sin2tD2+3D2+3D
-4DD2+3=(D2+3)(e-t)-D(sin2t)D4+10D2+9，(5)
y=D2+3e-t
-4Dsin2tD2+3D
-4DD2+3=(D2+3)(sin2t)-(-4D)(e-t)D4+10D2+9.(6)
因此式(5)、(6)等價於：
(D4+10D2+9)x=(D2+3)(e-t)-D(sin2t)，(7)
(D4+10D2+9)y=(D2+3)(sin2t)-(-4D)(e-t)，(8)
式(7)、(8)兩式也即是分別關於x，t和y，t的常係數線性微分方程：
x(4)+10x″+9x=4e-t-2cos2t，(9)
y(4)+10y″+9y=-sin2t-4e-t.(10)
分別解式(9)、(10)可得
x=C1cost+C2sint+C3cos3t+C4sin3t+15e-t+215cos2t(11)
y=C5cost+C6sint+C7cos3t+C8sin3t-15e-t+115sin2t(12)
常數C1，C2，C3，C4與C5，C6，C7，C8之間有關係，為確定此係數，將式(11)、(12)代入原方程，得
C5=2C2，C6=-2C1，C7=-2C4，C8=2C3.
所以原方程組通解為
x=C1cost+C2sint+C3cos3t+C4sin3t+15e-t+215cos2t，
y=2C2cost-2C1sint-2C4cos3t+2C3sin3t-15e-t+115sin2t.
例4求微分方程組dy1dx=y1，
dy2dx=y1+y2+y3，
dy3dx=2y1-y2+3y3，滿足初始條件y1(0)=1，y2(0)=1，y3(0)=1的解.
解由方程dy1dx=y1解得y1=C1ex；由初始條件y1(0)=1，得C1=1，所以y1=ex.代入其餘兩個方程中去，得
dy2dx=y2+y3+ex，
dy3dx=-y2+3y3+2ex.(1)
(2)
由式(1)得y3=dy2dx-y2-ex.(3)
式(3)代入式(2)中得
d2y2dx2-dy2dx-ex=-y2+3dy2dx-3y2-3ex+2ex，整理得d2y2dx2-4dy2dx+4y2=0，
解得y2=e2x(C2+C3x).由條件y2(0)=1得C2=1，故得C2=e2x(1+C3x).代入(3)得y3=e2x(1+C3+C3x)-ex；由條件y3(0)=1得C3=1，故得方程組滿足初始條件的解為
y1=ex，
y2=e2x(1+x)，
y3=e2x(2+x)-ex.
§6.7常微分方程的應用
一、本節知識串講
解題思路是將實際問題化成微分方程問題，可按以下步驟進行：
(1)根據實際要求確定要研究的量(幾何量或經濟量)；
(2)找出這些量所滿足的規律；
(3)運用這些規律列出方程並給出初始條件；
(4)求解方程，得出符合條件的特解.
二、能力、思維、方法
［能力素質］
1幾何應用
例1設有連接兩點A(0，1)，B(1，0)的一條凸弧，P(x，y)為凸弧AB上的任意一點，已知凸弧與弦AP之間的麵積為x3，求此凸弧的方程.
解如圖61所示，設凸弧的方程為y=f(x)，由於梯形OAPC的麵積為x2［1+f(x)］，所以
x3=∫x0f(t)dt-x2［1+f(x)］.
兩邊對x求導，得y=f(x)所滿足的微分方程為
xy′-y=-6x2-1，
其通解為y=e∫1xdxC-∫(6x+1x)e-∫1xdxdx=Cx-6x2+1.
∵y(1)=0，∴C=5，即所求凸弧的方程為y=5x-6x2+1.
例2設f(x)可導，曲線y=f(x)上任一點處的切線與x軸之交點到切點的距離等於切點到坐標原點的距離，求該曲線的方程.
解設曲線方程為y=y(x)，點(x，y)為曲線上的任意一點，該點的切線方程為Y-y=y′(X-x)，且與x軸交點為xy′-yy′，0.
所以，切線長=xy′-yy′-x2+y2=yy′2+y2.
由題意知yy′2+y2=x2+y2得xy′=±y；由xy′=y得y=Cx；由xy′=-y得y=C1x，
故所求曲線方程為y=Cx或y=C1x.
例3若曲邊梯形OABC的麵積和弧AB的長度成正比，求曲線AB的方程方程(見圖62所示).
解設曲線AB的方程為y=y(x)(y≥0)，則由題意得
∫x0y(x)dx=k∫x01+y′2(x)dx，
其中x≥0，k＞0是比例係數.
上式兩邊對x求導，得
y(x)=k1+y′2(x)，即dydx=±y2-k2k.
解之得archyk=±x-ck.
即所求曲線AB為y=k·chx-ck，x≥0，k＞0.
［真題在線］
例4(93年)假設：(1)函數y＝f(x)(0≤x＜+∞)滿足條件f(0)＝0，和0≤f(x)≤ex-1;(2)平行於y軸的動直線MN與曲線y＝f(x)和y＝ex-1分別相交於點P1和P2；(3)曲線y＝f(x),直線MN與x軸所圍封閉圖形的麵積S恒等於線段P1P2的長度.求函數y＝f(x)的表達式.
分析本題應先畫圖(圖6-3)，由題設和圖形列出關係式，轉化為微分方程求解.
解由題設和圖6-3可知
∫x0f(x)dx＝ex-1-f(x)
兩端求導得
f(x)＝ex-f′(x)
即f′(x)+f(x)＝ex
由一階線性方程求解公式得
f(x)＝Ce－x＋12ex
由f(0)＝0得，C＝－12.
因此，所求函數為f(x)＝12(ex-e－x)
§68差分方程及其應用
一、熟知考綱考點
1了解差分與差分方程及其通解與特解等概念.
2掌握一階常係數線性差分方程的求解方法.
二、本節知識串講
1差分概念
給定函數y=f(t)，記yt=f(t)，則yt+1=f(t+1).
一階差分：Δyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)
二階差分：Δ2yt=Δ(Δyt)=Δyt+1-Δyt
=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt，
……
n階差分：Δnyt=Δ(Δn-1yt)=Δn-1yt+1-Δn-1yt
=∑ni=1(-i)iCinyt+n-i.
2差分的性質
(1)Δ(ayt+bzt)=aΔyt+bΔzt.
(2)Δ(yt·zt)=ztΔyt+yt+1Δzt=zt+1Δyt+ytΔzt.
(3)Δytzt=ztΔyt-ytΔztztzt+1.
3差分方程的概念
差分方程的定義：含有未知函數的差分或表示未知函數的幾個時期值符號的方程
F(x，yt，Δyt，…，Δnyt)=0或G(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0稱為差分方程.
其中，出現在差分方程中差分的最高階數或未知函數下標的最大值與最小值的差稱為差分方程的階.
如果，某函數代入差分方程，能使之成為恒等式，則該函數稱為差分方程的解.特別是，差分方程的解中所含獨立的任意常數的個數恰等於方程階數的解，稱為差分方程的通解.通解中的任意常數均已被確定出來的解稱為差分方程的特解，確定差分方程特解的條件稱為初始條件.
4一階常係數線性差分方程的求解
非齊次方程：yt+1-ayt=f(t)(a≠0)，(6-5)
齊次方程：yt+1-ayt=0(a≠0)，(6-6)
有時也稱方程(6-5)是方程(6-6)所對應的齊次方程.
①齊次方程(6-6)的通解的求法：
先寫出方程(6-6)對應的特征方程λ-a=0，得特征根λ=a，則方程(6-6)的通解為yA=A·at，且A為任意常數.
②非齊次方程(6-5)的特解的求法.
f(t)的形式特解形式特解中參數的確定f(t)=cy*t=k·tsa≠1時，s=0，k=c1-a
a=1時，s=1，k=cf(t)=c·bt
(b≠1)y*t=k·ts·btb≠a時，s=0，k=cb-a
b=a時，s=1，k=cbf(t)=ctny*t=ts(B0tn+B1tn-1+…+Bn)a≠1時，s=0；
a=1時，s=1.
係數B0，B1，…，Bn需代入方程確定b1coswt+
b2sinwty*t=B1coswt+B2sinwt當
D=(cosw-a)2+sin2w≠0時：
B1=1D［b1(cosw-a)-b2sinw］
B2=1D［b1(cosw-a)+b2sinw］
y*t=t(B1coswt+B2sinwt)D=(cosw-a)2+sin2w=0時：
B1=b1，B2=b2或
B1=-b1，B2=-b2bt·tny*t=bt·ts(B0tn+B1tn-1+…+Bn)b=a時，s=1；b≠a時，s=0
係數B0，B1，…，Bn需代入方程確定.
三、能力、思維、素質
［能力素質］
例1求解差分方程yt+1+2yt=5t2.
解特征方程λ+2=0，得特征根λ=-2.
對應的齊次方程通解為yA=C(-2)x.
令非齊次方程的一個特解為y*t=B0+B1x+B2x2(∵a=-2)，將其代入方程有
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2+2(B0+B1x+B2x2)=5x2，整理得
3B0+B1+B2+(3B1+2B2)x+3B2x2=5x2.
比較同次項係數，得B2=53，B1=-109，B0=-527，
特解為y*t=53x2-109x-527，
故非齊次方程通解為yt=C(-2)t+53t2-109t-527.
例2求方程yt+1+yt=2t·t的一個特解，並求其通解.
解差分方程的特征方程為λ+1=0，
特征根為λ=-1.因f(t)=2t·t，而2不是特征根，故設特解為
y*t=2t(B0+B1t).
將其代入已知方程，有
2t+1［B0+B1(t+1)］+2t(B0+B1t)=2t·t，
整理得(3B0+2B1)+3B1t=t.
比較等式兩邊，解方程組3B0+2B1=0；
3B1=1，得
B0=-29，B1=13.
∴所求特解為y*t=2t13t-29，
而原方程所對應的齊次方程的通解為yA=C(-1)t.
故所求通解為yt=C(-1)t+2t13t-29，C是任意常數.
例3求2yt+1-6yt=3t的通解.
解原方程的特征方程為2λ-6=0.
特征根為λ=3，所以方程所對應的齊次方程的通解為yA=C·3t.
而f(t)=12·3t，3是特征根，故設特解為
y*t=B·3t·t.
將其代入方程得B=16，於是y*t=16·3t·t，
故所求通解為yt=C·3t+16·3t·t，C是任意常數.
例4求方程yt+1-3yt=sinπ2t的通解.
解原方程對應的特征方程為λ-3=0.
特征根λ=3，而方程所對應的齊次方程的通解為yA=C3t.
而f(t)=sinπ2t，因為cosπ2-32+sin2π2≠0，故可設
y*t=Acosπ2t+Bsinπ2t
將其代入原方程，有
Acosπ2(t+1)+Bsinπ2(t+1)-3Acosπ2t+Bsinπ2t=sinπ2t
因cosπ2(t+1)=-sinπ2t，sinπ2(t+1)=cosπ2t，
整理上式，得(B-3A)cosπ2t-(A+3B)sinπ2t=sinπ2t.
由方程組B-3A=0；
A+3B=-1，得A=-0.1，B=-0.3，
於是原方程通解為yt=C·3t-0.1cosπ2t-0.3sinπ2t.
例5求方程yt+1-2yt=t2t的通解.
解特征方程λ-2=0，特征根λ=2.
由於2是特征根，故令非齊次方程的特解為y*t=t·2t(B0+B1t)
於是2t+1(t+1)［B0+B1(t+1)］
-2·2t+(B0+B1t)=t·2t，
且有2(B0+B1)+4B1t=t，故B1=14，B0=-14.
於是y*t=14t·2t(t-1)，而方程所對應的齊次方程的通解為yA=C·2t.
原方程通解為yt=C·2t+2t-1(t2-2).
［真題在線］
例6(97年)差分方程yt+1－yt＝t2t的通解為.
應填yt＝C+(t-2)2t.
解齊次差分方程yt+1-yt＝0的通解為C,C為任意常數.
設(at+b)2t是差分方程yt+1-yt＝t2t的一個特解，則a＝1,b＝－2,因此，yt＝C+(t-2)2t為所求通解.
例7(01年)某公司每年工資總額在比上一年增加20%的基礎上再追加2百萬元.若以Wt表示第t年的工資總額(單位：百萬元)，則Wt滿足的差分方程是.
應填Wt＝1.2Wt-1+2
解Wt表示第t年的工資總額，(單位：百萬元)，Wt-1表示第t年上一年的工資總額，由題設知
Wt＝1.2Wt-1+2
四、預測試題測試
識別微分方程的類型：可分離變量的微分方程，一階線性微分方程及其求解公式，全微分方程；變量代換法求解一階齊次方程及伯努利方程.可降階的高階方程；
利用特征根法求解二階常係數線性微分方程的通解；某些二階常係數非齊次線性方程的特解；微分方程組的求解.了解差分及差分方程及其通解與特解；
掌握一階常係數線性差分方程的求解方法.
習題6
一、求下列微分方程的通解或特解
1y-xy′=a(1+x2y′).
2y′=(x+y)2.
3(4x2+3xy+y2)dx+(4y2+3xy+x2)dy=0.
4(1+y2)dx=(1+y2siny-xy)dy.
5xy′+(1-x)y=e2x(0＜x＜+∞)滿足limx0+y(x)=1的特解.
6y3dx+2(x2-xy2)dy=0.
73xy′-y-3xy4lnx=0.
82xy3dx+(y2-3x2)y4dy=0.
9xdx+ydy+xdy-ydxx2+y2=0.
10設f(u)連續，且∫10f(ax)da=f(x)2+1，求f(x).
11求xy′-y=x2+y2的通解.
12定出方程P(x，y)dx+ex+y-yxdy=0中的一個可微函數P(x，y)，使方程成為全微分方程，並求方程的通解.
二、求下列微分方程的通解
1求y″=-12y3的通解.
2求y″=1-y′2的通解.
3已知y1=emx是方程(x2+1)y″-2xy′-y(ax2+bx+c)=0的一個特解，求a，b，c的值，再求方程的通解
三、求下列二階微分方程的通解
1y″+2y′+y=ex+e-x.2y″-4y′+4y=2e2x+x2.
3y″-2y′+2y=4exsinx.4y″+y=tanx.
5y″-2y′+y=exx.6y″+y=1cosx.
四、求解下列微分方程組
1求y′(x)=y+5z，
z′(x)+y+3z=0的通解.
2求y′(x)=-3y-z，
z′(x)=y-z的通解.
3求x′(t)=y+z，
y′(t)=x+z，
z′(t)=x+y的通解.
4求y′(x)+2y+z=sinx，
z′(x)-4y-2z=cosx的通解.
五、求解下列應用題
1設M(x，f(x))點是由線y=f(x)上的任一點，M點縱坐標的立方與其橫坐標之比等於該曲線與直線x=a，y=x及x軸所圍圖形的麵積，求曲線方程.
2求光滑曲線族，使曲線上任意一點的切線及切點的向徑及x軸所構成的三角形的麵積為a2.
3已知一容器內裝有100L的鹽水，含鹽10kg，現以每分鍾3L的勻速從第一管通注入淡水；使鹽水衝淡，同時又以每分鍾2L的勻速從第二管道抽出鹽水，問1h後容器內尚存多少鹽?
4質點為300kg的摩托艇，以66m/s的初速度直線前進.若水的阻力與速度成正比，且當速度為1m/s時，阻力為10kg，問經過多少時間該艇的速度降到8m/s?
5子彈v0=200m/s的速度，打入一塊厚為h=10cm的板，以v1=80m/s的速度穿出.設板對子彈運動的阻力和運動速度的平方成正比，求子彈穿過板所需的時間.
六、求下列差分方程的通解
1yx+1+yx=2x；2.yx+1-3yx=-2；
3.yx+1+yx=x(-1)x；4.yx+1+4yx=2x2+x-1.
［真題演練］
七、(89年)求微分方程y″＋5y′+6y＝2e－x的通解.
八、(90年)求微分方程y′＋ycosx＝(lnx)e－sinx的通解.
八、(91年)求微分方程xydydx＝x2+y2滿足條件yx＝e＝2e的特解
九、(94年)設函數y＝y(x)滿足條件y″＋4y′+4y＝0，
y(0)＝2,y′(0)＝－4，求廣義積分∫＋∞0y(x)dx.答案與提示
一、求下列微分方程的通解或特解
1y=a+Cx1+ax2arctan(x+y)=x+C
3(x+y)2(x2+y2)3=C
4x=C-cosy1+y2提示：將x看作未知函數，y看作自變量.
5y=ex(ex-1)x
6y2=xln(cy2)提示：令x=μ2，將方程化為y，μ的齊次方程.
7xy3+34x2(2lnx-1)=c…8x2-y2=Cy3提示：化為全微分方程.
9x2+y22+arctanyx=C10f(x)=2+Cx
11y=xtan(x+C)提示：令yx=μ.
12P(x，y)=ex+y+y22x2-ex，通解為
ex+y-y22x-ex=C
二、求下列微分方程的通解
11+C，y2=(C2+C1x2)22y=±x+C
3a=m2，b=-2m，c=m2；
y=c1emx-C2x2+xm+12m2+1e-mx
三、求下列二階微分方程的通解
1y=(C1+C2x+x22)e-x+ex42y=(C1+C2x+x2)e2x+x+18
3y=ex(C1cosx+C2sinx-2xcosx)
4y=C1cosx+C2sinx+cosxlnc·tanx2+π4
5y=(C1+C2x)ex+xexln｜x｜
6y=C1cosx+C2sinx+xsinx+cosxln｜cosx｜
四、求解下列微分方程組
1y=e-x(C1cosx+C2sinx)
z=15e-x(C2-2C1)cosx-(C1+2C2)sinx
2y=(C1+C2x)e-2x
z=-(C1+C2+C2x)e-2x
3x=C3e2t+(C1+C2)e-t
y=C3e2t+(C2-2C1)e-t
z=C3e2t+(C1-2C2)e-t
4y=C1+C2x+2sinx
z=-2C1-C2-2C2x-3sinx-2cosx
五、求解下列應用題
1(2y2-x2)3=Cx22x=Cy-a2y或x=Cy+a2y
33.9kg4t=30ln668g≈6.45s
5T=3400ln52
六、求下列差分方程的通解
1.yx=C(-1)x+13·2x2.yx=C·3x+1
3.yx=C(-1)x+12(-1)x(1-x)4.yx=C(-4)x+25x2+125x-36125
六、y＝C1e2x+C2e3x+e－x
七、y＝e－sinx［xlnx-x+C］
八、y2＝2x2(ln｜x｜+1)
九、1.