第三章 隨機變量的數字特征
一、熟知考綱考點
1理解隨機變量數字特征(數學期望、方差、標準差、協方差、相關係數)的概念，並會運用數字特征的基本性質計算具體分布的數字特征，掌握常用分布的數字特征.
2會根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望；會根據兩個隨機變量聯合概率分布求其函數的數學期望.
二、本章知識串講
(一)一維隨機變量的數字特征
1數學期望(簡稱期望，又稱均值)
(1)設離散型隨機變量X的分布律為：
Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…
若級數∑ixipi絕對收斂，則稱它為X的數學期望，記為EX
即EX=∑ixipi
(2)設連續型隨機變量X的密度函數為φ(x)，若積分∫+∞-∞xφ(x)dx絕對收斂，則稱它為X的數學期望，記為EX
即EX=∫+∞-∞xφ(x)dx
(3)隨機變量函數的期望
設隨機變量函數Y=f(X)，則對離散型隨機變量有EY=Ef(X)=∑if(xi)·pi(pi為X的概率分布)，對連續型隨機變量有EY=Ef(X)=∫+∞-∞f(x)φ(x)dx(φ(x)為X的概率密度)
(4)期望的性質
(1)E(c)=c(c為常數)；
(2)E(cX)=cEX；
(3)E(X±Y)=EX±EY；
(4)若X與Y相互獨立，則E(XY)=(EX)·(EY)
2方差
(1)隨機變量X的方差定義為：DX=E(X-EX)2
方差的計算公式：DX=EX2-(EX)2
DX稱為X的標準差或均方差
對於離散型隨機變量，有DX=∑i(xi-EX)2pi；
對於連續型隨機變量，有DX=∫+∞-∞(x-EX)2φ(x)dx
(2)方差的性質
(1)Dc=0(c為常數)；
(2)D(kX)=k2DX(k為常數)；
(3)若X與Y相互獨立，則D(X±Y)=DX+DY
3矩
(1)離散型隨機變量X的k階原點矩υk為
υk=E(Xk)=∑ixkipi；
X的k階中心矩μk為
μk=E(X-υ1)k=∑i(xi-υ1)kpi
(2)連續型隨機變量X的k階原點矩υk為
υk=E(Xk)=∫+∞-∞xkφ(x)dx；
X的k階中心矩μk為
μk=E(X-υ1)k=∫+∞-∞(x-υ1)kφ(x)dx
由上述定義可以看出：數學期望EX是一階原點矩，方差DX是二階中心矩
(二)常用隨機變量的數學期望與方差
分布分布律或分布密度數學期望EX方差DX(0—1)分布P｛X=k｝=pk(1-p)1-k
k=0，1，0＜p＜1pp(1-p)二項分布
B(n，p)P｛X=k｝=Cknpk(1-p)n-k
k=0，1，2，…，0＜p＜1npnp(1-p)泊鬆分布
P(λ)P｛X=k｝=λkk!e-λ
k=0，1，2，…，λ＞0λλ均勻分布φ(x)=1b-aa＜x＜b
0其它a+b2(b-a)212指數分布φ(x)=λe-λxx＞0
0x≤0
λ＞0為參數1λ1λ2正態分布
N(μ，σ2)φ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2
(-∞＜x＜+∞)μσ2
(三)二維隨機變量的數字特征
1數學期望與方差
(1)設二維離散型隨機變量(X，Y)的聯合分布律為
P(X=xi，Y=yi)=pij(i，j=1，2，…)
則EX=∑ixipi·=∑i∑jxipij；
EY=∑jyjp·j=∑i∑jyjpij；
Eg(X，Y)=∑i∑jg(xi，yi)pij(其中g(X，Y)是隨機變量(X，Y)的函數)；
DX=∑i∑j［xi-EX］2pij，DY=∑i∑j［yi-EY］2pij
(2)設二維連續型隨機變量(X，Y)的聯合密度函數為φ(x，y)，則
EX=∫+∞-∞xφX(x)dx=∫+∞-∞∫+∞-∞xφ(x，y)dxdy；
EY=∫+∞-∞yφY(y)dy=∫+∞-∞∫+∞-∞yφ(x，y)dxdy；
Eg(X，Y)=∫+∞-∞∫+∞-∞g(x，y)φ(x，y)dxdy(其中g(X，Y)是隨機變量(X，Y)的函數)
DX=∫+∞-∞［x-EX］2φX(x)dx=∫+∞-∞∫+∞-∞［x-EX］2φ(x，y)dxdy；
DY=∫+∞-∞［y-EY］2φY(y)dy=∫+∞-∞∫+∞-∞［y-EY］2φ(x，y)dxdy
2協方差
(1)隨機變量X、Y的協方差定義：cov(X，Y)=E［(X-EX)(Y-EY)］=E(XY)-EX·EY
(2)性質：①cov(X，X)=DX；
②cov(X，Y)=cov(Y，X)；
③cov(aX，bY)=abcov(X，Y)；
④cov(X1+X2，Y)=cov(X1，Y)+cov(X2，Y)
3相關係數
(1)定義隨機變量X，Y的相關係數：ρXY=cov(X，Y)DXDY=E(XY)-EX·EYDXDY
(2)性質：①｜ρXY｜≤1；
②若X，Y相互獨立，則ρXY=0；
③｜ρXY｜=1X與Y以概率1線性相關
三、能力、思維、方法
［能力素質］
題型(一)一維隨機變量的數字特征
例1拋一枚不均勻的硬幣，設ξ表示正、反麵均出現為止所試驗的次數，求Eξ與Dξ
解首先根據古典概型確定ξ的分布律
∵硬幣不均勻，設拋一次硬幣出現正麵的概率為p，則出現反麵的概率為q=1-p，且ξ的取值為一切大於2的整數
當ξ=k時，對應於事件：正……正k-1反或反……反k-1正
∴P｛ξ=k｝=pk-1q+qk-1p
從而Eξ=∑kp｛ξ=k｝·k
=∑∞k=2k(pk-1q+qk-1p)=q∑∞k=2kpk-1+p∑∞k=2kqk-1
=q1(1-x)′x=p-1+p1(1-x)′x=q-1=1pq-1，
Eξ2=∑kk2P｛ξ=k｝
=∑∞k=2k2(pk-1q+pqk-1)=∑∞k=2(k2-k)(pk-1q+pqk-1)+Eξ
=pq∑∞k=2k(k-1)(pk-2+qk-2)+Eξ
=pq11-x″x=p+11-x″x=q+Eξ
=pq［2(1-p)-3+2(1-q)-3］+1pq-1=2p2q2-5pq-1，
∴Dξ
=Eξ2-(Eξ)2=2p2q2-5pq-1-1pq-12=3p2q2-3pq-2
注：該題是古典概型、離散型隨機變量的分布律、數學期望與方差的綜合性題目，屬於常考題型
例2已知隨機變量X的函數函數為F(x)=0，x≤0，
x4，0＜x≤4
1，x＞4，，求EX，DX
解隨機變量X的密度函數為
φ(x)=F′(x)=14，0＜x≤4，
0，其它；
EX=∫+∞-∞xφ(x)dx=∫40x4dx=x2840=2；
EX2=∫+∞-∞x2φ(x)dx
=∫4014x2dx=112x340=163；
DX=EX2-(EX)2=163-22=43
注：若已知隨機變量的分布函數，求其數學期望與方差時，應首先求得隨機變量的密度函數：φ(x)=F′(x)，進而求得EX與DX
例3某民航機場的送客汽車乘坐20位旅客自機場開出，沿途有10個車站若到一個車站無旅客下車就不停車假設每位旅客在各車站下車是等可能的，求汽車停車的平均數
解用X表示停車數，記Xi=1，在第i站有旅客下車，
0，在第i站無旅客下車，i=1，2，…，10
則X=X1+X2+…+X10
依題意，任一旅客在第i站不下車的概率為910，又旅客是否下車是彼此獨立的，因此20個旅客在第i站都不下車的概率為(09)20，即
P｛Xi=0｝=0.920，P｛Xi=1｝=1-(0.9)20
∴EXi=1-(0.9)20，i=1，2，…，10
於是數學期望(停車平均次數)為
EX=E(X1+X2+…+X10)=EX1+EX2+…+EX10
=10(1-0.920)≈8.784
題型(二)一維隨機變量函數的數字特征
例4已知離散型隨機變量X的概率分布為
X-2-101P｛X=xi｝16131316求EX2與EarcsinX+12
解應用Eg(X)=∑ig(xi)·P｛X＝xi｝，有
EX2=(-2)2×16+(-1)2×13+02×13+12×16=76，
EarcsinX+12=arcsin-2+12×16+arcsin-1+12×13+
arcsin0+12×13+arcsin1+12×16=π9
例5遊客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯於每個整點的第5分鍾、25分鍾和55分鍾從底層起運行假設一位遊客在早八點的第X分鍾到達底層候梯處，且X服從［0，60］上的均勻分布，計算遊客等候時間的期望
解X的密度函數為φ(x)=160，0≤x≤60，
0，其他
設隨機變量Y表示遊客等候時間(單位：分)，則有
Y=g(X)=5-X，0≤X≤5，
25-X，5＜X≤25，
55-X，25＜X≤55，
60-X+5，55＜X≤60
∴EY=Eg(X)=∫+∞-∞g(x)φ(x)dx
=∫600160g(x)dx
=160∫50(5-x)dx+∫255(25-x)dx+∫5525(55-x)dx+∫6055(60-x+5)dx
=70060≈11.67(分)
［解法總結］求隨機變量函數g(X)的期望(或方差)可以直接用公式Eg(X)=∑ig(xi)p(xi)或Eg(X)=∫+∞-∞g(x)φ(x)dx，而不必求隨機變量g(X)的分布