第二章 隨機變量及其分布
一、熟知考綱考點
1理解隨機變量及其概率分布的概念，理解分布函數F(x)＝P｛X＜x｝
2理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二項分布、超幾何分布、泊鬆(Poisson)分布及其應用.
3掌握泊鬆定理的結論和應用條件，會用泊鬆分布近似表示二項分布.
4理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態分布N(μ,σ2)、指數分布及其應用，其中參數為λ(λ＞0)的指數分布的密度函數為f(x)＝λe－λx，x≥0
0，x＜0，λ＞0為常數.
5會根據自變量的概率分布求其簡單函數的概率分布.
二、知識要點串講
(一)隨機變量的概念
取值依賴於某個隨機試驗的結果，並隨著試驗結果不同而變化的變量，稱之為隨機變量，用X，Y，…等(或ξ，η，…等)表示
(二)隨機變量概率分布的概念
隨機變量取各個值的概率的規律稱為隨機變量X的概率分布
1離散型隨機變量的分布
若隨機變量X隻取有限個或可列個值，則稱X為離散型隨機變量
(1)離散型隨機變量的概率分布或分布律
設離散型隨機變量X的所有可能的取值為xk(k=1，2，…)，X取各個可能值的概率為：
P｛X=xk｝=pk(k=1，2，…)〈1〉
且pk滿足：(i)pk≥0，(ii)∑∞k=1pk=1，則稱〈1〉式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律也可表示為
xx1x2…xk…pkp1p2…pk…(2)幾種常見的離散型隨機變量及其分布
①0—1分布(或稱兩點分布)
若離散型隨機變量X的概率分布為：
P｛X=k｝=pk(1-p)1-k(k=0，1)，
則稱隨機變量X服從參數為p的(0—1)分布
②二項分布
若離散型隨機變量X的概率分布為：
P｛X=k｝=Cknpk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n)，
則稱隨機變量X服從參數為n，p的二項分布，記為X～B(n，p)
③泊鬆分布
若離散型隨機變量X的概率分布為：
P｛X=k｝=λkk!e-λ(k=0，1，2，…)，
則稱隨機變量X服從參數為λ的泊鬆分布，記為X～P(λ)
④超幾何分布
若離散型隨機變量X的概率分布為：
P｛X=k｝=CkMCn-kN-MCnN(k=0，1，2，…，l)，
其中N，M，n是參數，l=min［M，n］，則稱隨機變量X服從參數為N，M，n的超幾何分布
2連續型隨機變量的分布
(1)定義：設X為隨機變量，若存在一個非負可積函數φ(x)(-∞＜x＜+∞)，使對任意的a，b(a＜b)，都有P｛a≤X≤b｝=∫baφ(x)dx，則稱X為連續型隨機變量，φ(x)稱為隨機變量X的概率密度函數或分布密度，φ(x)滿足以下條件：
①φ(x)≥0；
②∫+∞-∞φ(x)dx=P｛-∞＜X＜+∞｝=P(Ω)=1
由定義可知：若X為連續型隨機變量，則對任意實數a，有P｛X=a｝=0
(2)幾種常見的連續型隨機變量及其分布
①均勻分布
若隨機變量X的概率密度為φ(x)=1b-a，a≤x≤b，
0，其他，則稱隨機變量X服從［a，b］上的均勻分布
②正態分布
如果隨機變量X的概率密度為φ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2(-∞＜x＜+∞)，其中μ，σ為常數，σ＞0，則稱隨機變量X服從正態分布，記作X～N(μ，σ2)
特別地，當μ=0，σ2=1時，得到的正態分布N(0，1)稱為標準正態分布，其概率密度為：
φ0(x)=12πe-x22(-∞＜x＜+∞)，記作X～N(0，1)
③指數分布
若隨機變量X的概率密度為φ(x)=λe-λx，x≥0，
0，x＜0，(λ＞0為常數)，則稱隨機變量X服從指數分布
(三)隨機變量的分布函數
1定義：設X是一個隨機變量，對任意實數x，記F(x)=P｛X≤x｝，稱F(x)為隨機變量X的分布函數由定義知，對x1，x2(x1＜x2)有
P｛x1＜X≤x2｝=F(x2)-F(x1)
函數F(x)的定義域為(-∞，+∞)
2分布函數的性質：
(1)0≤F(x)≤1；
(2)F(x)單調不減；
(3)F(-∞)=limx→-∞F(x)=0，F(+∞)=limx→+∞F(x)=1；
(4)F(x)是右連續的，即limx→x+0F(x)=F(x0)
3離散型隨機變量的分布函數為F(x)=∑xk≤xP｛X=xk｝
4連續型隨機變量的分布函數為F(x)=∫x-∞φ(t)dt，其中φ(x)是隨機變量X的概率密度函數
當φ(x)在x處連續時，F′(x)=φ(x)
(四)一維隨機變量函數的分布
1一維隨機變量函數的概念
設X為一維隨機變量，f(x)為一元連續函數，那麼Y=f(X)也是隨機變量，稱為隨機變量X的函數
2一維隨機變量函數的分布
(1)離散型隨機變量函數的概率分布：
P｛Y=yi｝=P｛f(X)=yi｝=∑i∶f(xi)=yiP｛X=xi｝
(2)連續型隨機變量函數的概率分布：
FY(y)=P｛Y≤y｝=P｛f(X)≤y｝=∫f(x)≤yφX(x)dx
其中φX(x)是連續型隨機變量X的概率密度
(3)對於連續型隨機變量的單調函數可以通過公式法直接求出其概率密度
設連續型隨機變量X的概率密度是φX(x)，函數y=f(x)單調可導，其反函數x=g(y)，則Y=f(X)是一個連續型隨機變量，其概率密度為：φY(y)=φX［g(y)］｜g′(y)｜
(五)二維隨機變量及其分布
1二維隨機變量的概念
設X，Y是兩個隨機變量，則由它們組成的一個向量(X，Y)稱為二維隨機變量
2二維隨機變量的分布函數
(1)定義：設(X，Y)是二維隨機變量，對於任意實數x，y，二元函數F(x，y)=P｛X≤x，Y≤y｝稱為(X，Y)的分布函數，或稱為X與Y的聯合分布函數
(2)分布函數的性質：
①0≤F(x，y)≤1；
②F(x，y)分別對x和y是單調非減函數；
③F(-∞，-∞)=F(x，-∞)=F(-∞，y)=0，F(+∞，+∞)=1；
④F(x，y)關於x或y都是右連續的
3二維離散型隨機變量
(1)定義：如果二維隨機變量(X，Y)的所有可能值是有限多對或可列無限多對，稱(X，Y)為二維離散型隨機變量
設(X，Y)的所有可能取值為：(xi，yj)，(i=1，2，…，j=1，2，…)，並記
P｛X=xi，Y=yj｝=pij(i=1，2，…；j=1，2，…)，
稱其為離散型隨機變量(X，Y)的聯合概率分布或聯合分布律也可用表格形式表示，即為
Y
Xy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j………xipi1pi2…pij………(2)聯合分布律的性質：pij≥0(i=1，2，…，j=1，2，…)；
∑∞i=1∑∞j=1pij=1
4二維連續型隨機變量
(1)定義：對於二維隨機變量(X，Y)，如果存在非負函數φ(x，y)，使對於任意實數x，y，二元分布函數F(x，y)能表示為
F(x，y)=∫y-∞［∫x-∞φ(u，v)du］dv，
則稱(X，Y)為二維連續型隨機變量φ(x，y)稱為隨機變量X和Y的聯合概率密度函數或聯合密度函數
(2)概率密度函數的性質：
①φ(x，y)≥0；
②∫+∞-∞∫+∞-∞φ(x，y)dxdy=F(+∞，-∞)=1；
③若φ(x，y)在點(x，y)連續，則有2F(x，y)xy=φ(x，y)；
④設D為xoy平麵上任一區域，則P｛(X，Y)∈D｝=Dφ(x，y)dxdy
5邊緣分布
(1)邊緣分布函數
設(X，Y)的分布函數為F(x，y)，分別稱隨機變量X和Y的分布函數FX(x)和FY(y)為二維隨機變量(X，Y)關於X和Y的邊緣分布函數它們由聯合分布函數F(x，y)求得：
FX(x)=P｛X≤x，Y＜+∞｝=F(x，+∞)=limy→+∞F(x，y)，
FY(y)=P｛X＜+∞，Y≤y｝=F(+∞，y)=limx→+∞F(x，y)
(2)離散型隨機變量的邊緣分布
若(X，Y)為二維離散型隨機變量，
P｛X=xi｝=∑∞j=1P｛X=xi，Y=yj｝
=∑∞j=1pij=pi
稱為關於X的邊緣分布律
同理P｛Y=yi｝=∑∞i=1pij=p·j稱為關於Y的邊緣分布律
(3)連續型隨機變量的邊緣分布，設連續型隨機變量(X，Y)的概率密度函數為φ(x，y)，稱φX(x)=∫+∞-∞φ(x，y)dy為(X，Y)關於X的邊緣概率密度函數或邊緣密度；稱φY(y)=∫+∞-∞φ(x，y)dx為(X，Y)關於Y的邊緣概率密度函數或邊緣密度函數
6二維隨機變量的條件分布
(1)離散型隨機變量的條件分布律
設p·j=P｛Y=yj｝＞0，則稱
P｛X=xi｜Y=yj｝=P｛X=xi，Y=yj｝P｛Y=yj｝=pijp·j(i=1，2，…)
為在“Y=yj”的條件下，X的條件分布律
同樣地，設pi·=P｛X=xi｝＞0，則稱
P｛Y=yj｜X=xi｝=P｛X=xi，Y=yj｝P｛X=xi｝=pijpi·(j=1，2，…)
為在“X=xi”的條件下，Y的條件分布律
(2)連續型隨機變量的條件概率密度函數(條件密度函數)
設φY(y)＞0，則在Y=y的條件下，X的條件概率密度函數為
φX｜Y(x｜y)=φ(x，y)φY(y)；
設φX(x)＞0，則在X=x的條件下，Y的條件概率密度函數為
φY｜X(y｜x)=φ(x，y)φX(x)
7隨機變量的獨立性
設F(x，y)及FX(x)，FY(y)分別是二維隨機變量(X，Y)的分布函數及邊緣分布函數若對所有x，y有
F(x，y)=FX(x)·FY(y)，即
P｛X＜x，Y＜y｝=P｛X＜x｝·P｛Y＜y｝
則稱隨機變量X與Y是相互獨立的
8兩個常見的二維連續型隨機變量的分布
(1)均勻分布
如果二維連續型隨機變量(X，Y)的聯合密度為
φ(x，y)=1S(D)，(x，y)∈D，
0，其他，
(其中S(D)為區域D的麵積，0＜S(D)＜+∞)，則稱(X，Y)服從D上的均勻分布
(2)二維正態分布
如果二維連續型隨機變量(X，Y)的聯合密度為
φ(x，y)=12πσ1σ21-ρ2e-12(1-ρ2)x-μ1σ12-2ρ(x-μ1)σ1·(y-μ2)σ2+y-μ2σ22
(其中μ1，μ2，σ1＞0，σ2＞0，｜ρ｜＜1是5個參數)，則稱(X，Y)服從二維正態分布，記作(X，Y)～N(μ1，μ2；σ21，σ22；ρ)
9二維隨機變量函數的分布
求二維離散型隨機變量函數的概率分布，采用“列舉法”，即先求出作為函數的隨機變量各可能取值，再計算出取各相應值的概率
求二維連續型隨機變量函數Z=g(X，Y)的分布，一般方法是先求出作為函數的隨機變量Z的分布函數，再通過分布函數求出其概率密度
FZ(z)=P｛Z≤z｝=P｛g(X，Y)≤z｝=g(x，y)≤zφ(x，y)dxdy
其中φ(x，y)是X和Y的聯合概率密度
對於兩個相互獨立的隨機變量X與Y之和Z，可以通過著名的獨立和卷積公式直接求出Z的概率密度φZ(z)：
φZ(z)=∫+∞-∞φX(x)φY(z-x)dx，或φZ(z)=∫+∞-∞φX(z-y)φY(y)dy
其中φX，φY分別是隨機變量X，Y的概率密度
三、能力、思維、方法
［能力素質］
題型(一)一維隨機變量的分布
例1對以下各題隨機變量所對應的概率分布，確定其中常數，並求出相應的概率
(1)P｛X=k｝=aλkk!，k=0，1，2，…，λ＞0是常數
求①a；②若P｛X=1｝=P｛X=2｝，求P｛X=4｝
解∵∑∞k=0P｛X=k｝=1，
即∑∞k=0aλkk!=a∑∞k=0λkk!=aeλ=1，
∴a=e-λ
從而P｛X=k｝=λke-λk!
由已知P｛X=1｝=P｛X=2｝，得λe-λ1!=λ2e-λ2!
化簡得2λ=λ2，因此λ=2.
於是P｛X=4｝=24e-24!=23e-2
(2)設連續型隨機變量X的分布函數為F(x)=A+Be-λx，x＞0(λ＞0)，
0，x≤0，求：①常數A，B；②P｛-1＜X＜1｝
解①∵F(+∞)=limx→+∞F(x)=1，
即limx→+∞(A+Be-λx)=A=1，
又由於X是連續型隨機變量，故它的分布函數是連續的
即limx→0+F(x)=A+B=F(0)=0，∴B=-1
∴F(x)=1-e-λx，x＞0，
0，x≤0
②P｛-1＜X＜1｝=F(1)-F(-1)=F(1)-F(0)=1-e-λ
［解法總結］①若密度函數φ(x)(或分布律)中含有待定常數，則該常數的確定是利用φ(x)的性質：∫+∞-∞φ(x)dx=1或∑∞k=0P｛X=k｝=1(離散型)