例6按季節出售的某種應時商品，每售出一公斤獲利潤m元，如到季末尚有剩餘商品，則每公斤淨虧損n元設某商店在季度內這種商品的銷售量X(以公斤計)是一隨機變量，X在區間(s1，s2)上服從均勻分布，為使商店所獲得利潤的數學期望最大，問商店應進多少貨?
解以s(公斤)表示進貨數，則應取s1≤s≤s2
進貨s所得利潤記為Ys(X)，則
Ys(X)=mX-(s-X)n，s1＜X≤s，
sm，s＜X＜s2；
X的概率密度為φ(x)=1s2-s1，s1＜s＜s2；
0，其他；
∴E［Ys(X)］=∫ss1［mx-(s-x)n］·1s2-s1dx+∫s2ssm1s2-s1dx
=-m+n2s2+(ns1+ms2)s-m+n2s21(s2-s1)
為求得E［Ys(X)］的極值點，將E［Ys(X)］關於s求導，得
dds｛E［Ys(X)］｝=［-(m+n)s+ns1+ms2］(s2-s1)
令dds｛E［Ys(X)］｝=0，得s=(ns1+ms2)/(m+n)
即當s=(ns1+ms2)/(m+n)公斤時獲得利潤的數學期望最大
［解法總結］這是一道關於數學期望的應用問題，計算與已知分布有關係的隨機變量的數字特征時，建立隨機變量間正確的函數關係是很重要的
題型(三)二維隨機變量的數字特征
例7若X，Y相互獨立，均服從N(0，σ2)分布，記U=α1X+β1Y，V=α2X+β2Y，求U，V的協方差與相關係數
解∵X～N(0，σ2)，Y～N(0，σ2)
∴EX=EY=0，DX=DY=σ2，cov(U，V)=E(UV)-EU·EV
其中，EU=E(α1X+β1Y)=α1EX+β1EY=0，
EV=E(α2X+β2Y)=α2EX+β2EY=0，
E(U·V)=E［(α1X+β1Y)(α2X+β2Y)］
=E［α1α2X2+(α1β2+α2β1)XY+β1β2Y2］
=α1α2σ2+β1β2σ2，
∴cov(U，V)=α1α2σ2+β1β2σ2，
DU=D(α1X+β1Y)=α21DX+β21Y=(α21+β21)σ2，
DV=D(α2X+β2Y)=α22DX+β22Y=(α22+β22)σ2，
∴相關係數ρUV=cov(UV)DU·DV=α1α2+β1β2α21+β21·α22+β22
例8已知隨機變量X和Y的聯合密度為
φ(x，y)=e-(x+y)，0＜x＜+∞，0＜y＜+∞，
0，其他，
求E(XY)
解∵E［f(X，Y)］=∫+∞-∞∫+∞-∞f(x，y)φ(x，y)dxdy，
∴E［XY］=∫+∞0∫+∞0xye-(x+y)dxdy=∫+∞0xe-xdx∫+∞0ye-ydy=1
例9設隨機變量(X，Y)的概率密度為
φ(x，y)=Asin(x+y)，x，y∈［0，π2］，
0，其他，
求A，EX，EY，DX，DY及協方差和相關係數
解φ(x，y)作為密度函數，應滿足∫+∞-∞∫+∞-∞φ(x，y)dxdy=1，
即∫+∞-∞∫+∞-∞φ(x，y)dxdy=∫π20∫π20Asin(x+y)dxdy=2A=1，
∴A=12
由對稱性EX=EY=∫π20∫π20x2sin(x+y)dxdy=π4，
EX2=EY2=∫π20∫π20x22sin(x+y)dxdy=π28+π2-2，
∴DX=DY=EX2-(EX)2=π28+π2-2-π42=π216+π2-2，
E(XY)=∫π20∫π2012(xy)sin(x+y)dxdy=π2-1
∴cov(X，Y)=E(XY)-EX·EY=π2-1-π216，
ρXY=cov(XY)DXDY=π2-1-π216π216+π2-2
例10設ξ，η是兩個相互獨立且服從同一分布的隨機變量，已知ξ的分布律為
P｛ξ=i｝=13，i=1，2，3，又設X=max｛ξ，η｝，Y=min｛ξ，η｝，求EX與EY
解先求(ξ，η)的聯合分布律
∵ξ與η相互獨立，
∴P｛ξ=i，η=j｝=P｛ξ=i｝·P｛η=j｝，
∴(ξ，η)的分布律為
ξ
η123119191921919193191919
P｛X=k｝=P｛max(ξ，η)=k｝=P｛ξ=k，η＜k｝+P｛ξ≤k，η=k｝
=∑k-1j=1P｛ξ=k，η=j｝+∑kj=1P｛ξ=j，η=k｝ (k=1，2，3)；
P｛X=1｝=P｛max(ξ，η)=1｝=P｛ξ=1，η=1｝=19；
P｛X=2｝=P｛max(ξ，η)=2｝=P｛ξ=2，η＜2｝+P｛ξ≤2，η=2｝
=P｛ξ=2，η=1｝+P｛ξ=1，η=2｝+P｛ξ=2，η=2｝=13
P｛X=3｝=P｛max(ξ，η)=3｝；
=P｛ξ=3，η=1｝+P｛ξ=3，η=2｝+P｛ξ=1，η=3｝+
P｛ξ=2，η=3｝+P｛ξ=3，η=3｝=59；
∴X的分布律為
X123P｛X=xi｝193959
從而EX=1×19+2×39+3×59=269
用同樣的方法可求得Y的分布律為
Y123P｛Y=yj｝593919
從而EY=1×59+2×39+3×19=149
［解法總結］已知二維離散型隨機變量(X，Y)的聯合分布律，求EX，EY，DX，DY或ρXY的一般步驟為：
①求出(X，Y)關於X，Y的邊緣分布律
②再利用期望、方差、ρXY的公式計算
若是二維連續型隨機變量(X，Y)的密度函數φ(x，y)為已知，則可不求出邊緣密度函數φX(x)與φY(y)，而直接用EX=∫+∞-∞∫+∞-∞xφ(x，y)dxdy求出
［真題在線］
例11(2000年)設隨機變量X在區間［-1，2］上服從均勻分布，隨機變量
Y＝1，若X＞0
0，若X＝0
-1，若X＜0
則DY＝.
應填89
解由題意，X的概率密度為：
f(x)＝13，-1≤x≤2
0，其他
則P(X＞0)＝∫＋∞0f(x)dx＝∫2013dx＝23
P(X＜0)＝∫0－∞f(x)dx＝∫0－113dx＝13，而P(X＝0)＝0
故EY＝1·P(X＞0)+0·P(X＝0)+(-1)·P(X＜0)
＝23-13＝1
EY2＝12·P(X＞0)+02P(X＝0)+(-1)2·P(X＜0)
＝23+13＝1
∴DY＝EY2－(EY)2＝1-(13)Ａ2＝89
例12(2000年)設二維隨機變量(X，Y)的密度函數為
f(x,y)＝12［φ1(x,y)+φ2(x,y)］
其中φ1(x,y)和φ2(x,y)都是二維正態密度函數，且它們對應的二維隨機變量的相關係數分別為13和-13，它們的邊緣密度函數所對應的隨機變量的數學期望都是0，方差都是1.
(1)求隨機變量X和Y的密度函數f1(x)和f2(y),及X與Y的相關係數ρ(可以直接利用二維正態密度的性質).
(2)問X和Y是否獨立?為什麼?
解不妨設有二維隨機變量(ξ1,η1)和(ξ1,η2)，其概率密度分別為φ1(x,y)和φ2(x,y),則由題意知：
ρ(ξ1,η1)＝13，ρ(ξ2,η2)＝-13
Eξi＝Eηi＝0，Dξi＝Dηi＝1,i=1,2
∴∫＋∞－∞φ1(x,y)dy=∫＋∞－∞φ2(x,y)dy＝φ(x)
∫＋∞－∞φ1(x,y)dx＝∫＋∞－∞φ2(x,y)dx＝φ(y)
其中φ(x)＝12πe－x22(-∞＜x＜＋∞)為標準正態分布的概率密度.
而13＝ρξ1,η1＝E(ξ1η1)＝R2xyφ1(x,y)dxdy
-13＝ρ(ξ2,η2)＝E(ξ2η2)＝R2xyφ2(x,y)dxdy
(1)f1(x)＝∫＋∞－∞f(x,y)dy=12∫＋∞－∞φ1(x,y)dy+∫＋∞－∞φ2(x,y)dy
＝12［φ(x)+φ(x)］＝φ(x)＝12πe-x22x∈R1
f2(y)＝∫＋∞－∞f(x,y)dx＝12∫＋∞－∞φ1(x,y)dx+∫＋∞－∞φ2(x,y)dx
＝12［φ(y)+φ(y)］＝φ(y)＝12πe－y22y∈R1
可見X～N(0，1)，Y～N(0，1)，EX＝EY＝0，DX＝DY＝1
∴ρ＝E(XY)-EX·EYDX·DY＝E(XY)＝R2xyf(x,y)dxdy
＝12R2xyφ1(x,y)dxdy+R2xyφ2(x,y)dxdy＝12(13-13)＝0
(2)f1(x)·f2(y)＝φ(x)φ(y)＝12πe－x2+y22(x,y)∈R2
而f(x,y)
＝1212π1-19e-12(1-19)(x2-23xy+y2)+12π1-19e-12(1-19)(x2+23xy+y2) ＝
38π2e-916(x2-23xy+y2)+e-916(x2+23xy+y2)(x,y)∈R2
可見f(x,y)≠f1(x)·f2(y)，故X與Y不獨立.
例13(2000年)設A，B是二隨機事件，隨機變量
X＝1，若A出現
-1，若A不出現Y＝1，若B出現
-1，若B不出現
試證明隨機變量X和Y不相關的充分必要條件是A與B相互獨立.
分析考慮X、Y的不相關，要算EX，EY和E(XY).
證明由已知得
EX＝1·P(A)+(-1)P(A)＝P(A)-P(A)＝2P(A)-1
EY＝1·P(B)+(-1)P(B)＝P(B)-P(B)＝2P(B)-1
E(XY)＝1×1×P(AB)+1×(-1)×P(AB)+(-1)×1×P(AB)+(-1)×(-1)×P(AB)
＝P(AB)-P(AB)-P(AB)+P(AB)