第九章
二、“幾何拽著靈魂走向真理”
《標準》中指出：“幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關係的數學學科。”我們生活在三維空間裏，關於這個空間的摹寫和種種論斷便構成了幾何學的基本內容。克萊因認為，客觀世界是固體化了的空間，或者說是幾何的化身。因此，它的性質應該可以從幾何的基本原理推導出來。他在《幾何》一文中這樣寫道：“數學的真正的第一大步是由幾何邁出的……幾何給空洞的公式提供了營養和涵義。幾何永葆其為豐足的和富有成果的直觀的主要源泉。而直觀反過來為數學提供創造的動力。大多數數學家用幾何模式在思考，當他們提出複雜的分析結構時，看不見做作的任何跡象。你可以仍然相信柏拉圖的名言‘幾何拽著靈魂走向真理’。”
早在古希臘時期，畢達哥拉斯學派就創立了“形數”。“形數”被看作是某些集合圖形中的點的數目，它們成了幾何學和算術之間的紐帶。三角形數、正方形數、五邊形數(如圖3-7所示)正是借以幾何的方式予以命名。用純幾何的證明方法，我們可以一目了然地獲得“形數”的許多有趣的結論，如：任何一個正方形數都是兩個相繼的三角形數之和；第n個五邊形數等於第(n-1)個三角形數的3倍加上n。
這一時期，正是通過對“形”的相互關係的比較、度量，促進了“數”的概念的發展。其中最典型的案例就是無理數的發現：正方形的邊長與其對角線的長度之間不存在公度線段，即不存在一條線段a，用它去量一個正方形的邊長及其對角線的長都正好得到整數倍。由此導致無理數的發現。
從數學史中還可以看到，希臘人習慣於用線段來代替數：兩數的乘積變成兩邊長等於兩數的矩形的麵積，3數的乘積是一體積。兩數相加被他們翻譯成把一線段延長到使所增長的部分等於另一線段，減法被說成是從一線段割去另一線段之長。很明顯，希臘人用幾何取代了整個數學，於是，諸如代數恒等式，就都被解釋成了幾何命題，其證明也是直接采用了圖示，正所謂：“幾何拽著靈魂走向真理”。
三、數學的“心象”
所謂“心象”，即“心靈意象”，是指人們憑借文字符號、圖形聲音，對自然與社會現象及已有經驗在頭腦中形成的“有意義的表象”。按朱光潛先生的說法，它是“一種理性觀念的最完滿的感性形象顯現”，是“一種暗示超感性境界的示意圖”，也可以稱作“精神的圖象”。數學是研究現實世界空間形式和數量關係的科學。“空間形式”常稱為“形”——現實世界中空間形式的數學抽象物，它作為數學中“有形”、“可視”的東西(圖形、圖象、曲線等)，包括幾何圖形(三角形、四邊形、圓、柱、錐、台等)、代數曲線或區域(函數圖象、方程曲線，以及不等式或不等式組表示的區域等)和拓撲圖形(維恩圖、流程圖等)。“數量關係”常看作“數”，意指“抽象”的、“形式化”的數學對象，如代數中的所有內容，包括數、式、方程、函數、不等式，以及導數、積分等。“形”構成了數學的直觀化圖形語言，“數”構成了數學的抽象化符號語言。數學的“心象”正是心靈之中建構“數”(符號語言)和“形”(圖形語言)的心理過程。
王弼在《周易略例》中寫道：“誌象者，出意也；言者，明象也”，“故言者，所以明象，得象而忘言；象者所以存意，得意而忘象。”由此可見，言、象都是為了表達意的。對數學而言，“言”指“數”(符號語言)，“象”即“形”(圖形語言)，而“意”就是數學的本質、本性。理解數學，需要“搜求於象，心入於境，神會於物，因心而得”；表達數學，則需要“使玄解之宰，尋聲律而定墨；獨照之匠，窺意象而運斤”。
學習要經曆“言(數)—象(形)—意”的過程，其中，意象是意與象的高度結合，是“象中之意”“意中之象”。意象的生成與外化是重要的學習實踐過程。我國著名數學家華羅庚教授有言：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯係莫分離。”“數”與“形”的有機結合，正體現了數學活動中意象建構與外化的心理過程。
由“數”到“形”的結合，其本質是用符號語言來表示的抽象對象或關係的“可視化”。將“抽象”的東西“原形”化，有利於利用形象思維和直觀(覺)思維實現對數學的個性化理解。而由“形”到“數”的結合，其本質則是思維操作混沌(無算法、無運算、無規律可循)的空間關係結構和形式的代數化、算法化。將“具體”的東西形式化、模式化，有利於思維的程序化和數學關係的符號化表達。“數”“形”結合充分融合了“抽象”和“具體”、“運算”與“邏輯”，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地度量形，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起。從根本上講，這種結合的威力正在於綜合運用了抽象思維和形象思維來看待問題以及分析解決問題。
“數”“形”結合是自然的，也是顯而易見的。在初中數學教學中，這種結合體現得就已經比較突出，如通過作一些線段圖、數形圖或麵積圖等來幫助學生正確理解數量關係，使問題簡明直觀。特別是數軸的學習，當是“數”與“形”的一次重要的碰撞。
到了高中，學習解析幾何與函數，其中處處都蘊涵著“數”與“形”的有機結合。
函數及其圖象——數與形結合的典範。函數是貫穿整個高中數學的一條主線。對於函數概念和性質，除弄清用數量關係給出的定義外，還應借助圖形直觀揭示形的一麵，用不同的語言(數的語言、形的語言)、從不同的角度、以不同的形式來認識函數問題的本質。
奇偶性——實質上是一種對稱性(關於原點O或y軸對稱)，而對稱本來就是一個幾何概念。
單調性——可以用圖象的走勢、升降淺顯直觀地表示f(x)在區間A上是增函數或減函數。
最大值——最高點；最小值——最低點。
有界性——存在平行線或直線將圖象限製在某個條狀的帶形區域內。
周期性——圖象有規律地重複出現或疊合。
互為反函數的圖象——關於直線y=x對稱的圖象。
方程f(x)=0的根(函數的零點)——y=f(x)的圖象與x軸的交點。
方程的公共解——圖象的交點。
三角函數定義——用三角函數線(幾何形象)來定義三角函數。
函數在一點處的導數——圖象在該點處切線的斜率。
函數在一區間上的定積分——圖象與軸、邊線圍成的圖形的“麵積”。
還有，數列與點圖可以看作函數與圖象的特殊情況。數列{an}是關於n的函數，定義域是正整數集或其某一子集，是典型的離散函數。我們可以像研究函數一樣研究數列的性質。
學習複數時，借助於直角坐標係，將複數與平麵內的點一一對應，複數與複平麵內以原點為起點的向量一一對應後，就能“化虛為實”，加深對複數的理解。
實際上，數學中處處都有“數”“形”結合的例子。美國著名數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為圖形，那麼，思想就整體把握了問題，並且能創造性地思索問題的解法。”我們可以充分利用“形”來把問題中的數量關係的幾何特征形象地表示出來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具體形象、表象的聯係和轉化，變抽象為直觀，就能化腐朽為神奇。
心中悟出始知深
——叩開心扉
數學學習固然要用眼睛看，用耳朵聽，抑或還要動手去做，但學數學並非隻是眼睛、耳朵和手的運動，而是一場“心靈的盛宴”。在心性的數學課堂，這樣的盛宴是用數學的言語來“烹飪”的，它打開學生覺知的大門，入心浸潤，在心靈的沉思、悟對中縱橫捭闔，滋育、延展著自己的心智。
一、打開覺知的大門
印度哲學家克裏西那穆提認為，“教育意味著打開覺知之門，是使我們通向人生的巨大活動。”世界、人、語言構成了教育的三大要素。兒童學習，正是憑借言語來打開走向世界的“覺知之門”的。而數學作為研究現實世界空間形式和數量關係的科學，是世界的語言。正如塞爾維斯所言：“數學也是一種語言，從它的結構和內容來看，這是一種比任何國家的語言都要完善的語言。”而且，“數學是語言的語言”。伽利略有句名言：“數學是上帝用來書寫宇宙的文字。”世界以數學編碼的形式與兒童的心靈相遇，在兒童心靈深處展開連綿的畫卷。兒童則在與圓、三角形和正方形之類的幾何圖形以及神聖數字的對話中豐盈心性，建構屬於自己的意義世界。
康德說：“世界就是一切背景的背景，也就是全體界域。”心性的數學課堂上，我們不但要以整個世界為背景，而且要引領學生探索課本背後數學化的言語世界，透過數學這一大自然的言語之孔來洞察世界，洞察世界的過去、現在與未來，此在、彼在與虛擬存在。數學常被看成是形式化的語言，數學使用了比其他任何科學都要多得多的術語和符號。正是數學中的定義和大量符號的使用，使數學能夠幫助實現“人類思想表達的經濟化”。使用記號來表達思想以及思想活動的過程，比起不用記號隻用術語來做討論記述遠為方便和明確，並且在思想上、時間上或者記述的篇幅上都遠為經濟。
約翰·塞爾在《心靈、語言和社會》一書中指出：“除了最簡單的思想以外，兒童需要某種語言來思考某個思想，除了最簡單的言語行為以外，兒童為了執行某種言語行為也需要某種習慣語言，而其語句具有習慣的語句意義。”數學的言語由“形”和“數”構成，這裏的“形”代表了直觀思想，是感性的、直觀的想象、聯想、猜想等思維運動形式——發散思維；而“數”代表的則是抽象思想，是理性的邏輯思維的形式——收斂思維。數學的探索活動離不開直覺思維與邏輯思維。龐加萊認為：“邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇到任何障礙，但是它不能告訴我們哪一條路能引導我們到達目的地。因此，必須從遠處瞭望目標……瞭望的本領是直覺，沒有直覺，數學家就會像這樣的一個作家：他隻是按語法寫詩，但是卻毫無思想。”阿達瑪也曾指出：許多數學上的創造性成果可以看成為通過數學直覺俘獲來的“戰利品”，而邏輯好比是“關卡”，在這裏起到了驗收戰利品的作用。
如此來看，打開“覺知之門”，須首先借助於直觀。徐利治教授說過：“隻有做到了直觀上懂才算‘真懂’。所謂‘真懂’的意思是指：對數學的理論、方法或定理能洞察其直觀背景，並且看清楚它是如何從具體特例過渡到一般(抽象)形式的。”他進一步指出：“為了達到‘真懂’或‘徹悟’的境界，就不能隻停留在弄清楚演繹論證的步驟，還必須重視具體特例的分析，注意直觀背景素材的綜合，亦即必須通過人腦的聯想力和概括思維能力從具體素材中領悟出最基本、最本質、最一般性的東西。達到了這個境界，數學上的理論、方法或定理就好像是您自己發現的一樣，您就能用自己的語言隨時把它們複述出來。當然，這些知識您也就終生難忘了。”
以下是“函數的單調性”這一課中，以函數圖象為依托探究函數單調性的教學片段。
二、建基於心靈，流轉於心際
對知識的探索過程，就像徐利治所說的：“如同人在迷霧中摸索前進，需要用眼睛辨識方向，要靠雙腿邁向目的地。直覺就好比眼睛，起到向導領路作用。邏輯就是雙腿，沒有邏輯就不可能一步一步地到達目的地。所以，直覺和邏輯思維在研究活動中必須相互配合，正好比眼睛和雙腿要相互協作才能行路。”
不可回避的是：課堂教學究竟要做什麼？又能幹什麼？司馬雲傑在《心性靈明論》一書中說：“人之所以最為靈性聰明，在於心也，在於心的虛靈不昧，在於心之洞然而虛，昭然而明，能夠超乎塵外，軸乎八極，在於它能夠彌綸天地，貫通古今，燭明天理，使萬象無所隱遁。”數學教育擔負著培養人的責任和義務，就當立於“心”而致其“性”，“為生命立心”應是教育的本質追求，那種“和尚念經”或“外表熱鬧”的教育都不是真教育。奧修說：“你隻要聽你自己的心，那是你唯一的導師，在生命真正的旅程當中，你自己的直覺是你唯一的導師。你有注意去看直覺(intuition)這個詞嗎？它跟教學(tuition)這個詞的詞根是一樣的，教學是老師所給的，它來自外在；直覺是你自己的本性所給的，它來自內在。你的內在可以指引你，隻要具有一些勇氣，你就永遠不會覺得你是沒有價值的。”心性的數學課堂強調使學習成為發自孩子內心的活動，使生命以其自然的方式產生新的學習機製，而不要“太忙碌於現實，太騖馳於外界”(黑格爾語)。數學教學改革隻有“轉向心靈”，訴求於學生內在心靈的實踐感受，才能“自適其適”，呈露真性。