圖靈當過一段私人輔導，可是發現這項工作費時太多，因為他正集中精力寫關於“高斯誤差函數”的論文。該論文使他在不滿23歲時就當選為王家學院的研究員。為此他的母校放半天假以示慶祝。
第二年，也就是1936年，圖靈為了獲得史密斯獎提交了關於“高斯誤差函數”的論文。這篇論文再一次獲得成功，贏得了史密斯獎，母校又放了半天假以示慶祝。使人驚奇的是，他早就認為自己一定能贏得這筆獎金，甚至在數月前就已經談到打算用這筆錢買隻小帆船。
圖靈有一些他自己的巧妙辦法。他常常靠觀察星星的位置來對時鍾。從一個固定位置去觀察，每隔相同的（已知的）一段時間，就有某顆星星被附近的建築物擋住。他發現這種辦法十分實用。
的確，他總能找到一種完全是自己發明的辦法來擺脫困境。有一次玩網球，為了去掉球場硬地麵上的幾窪積水，他借了對手的發卡，用它挖了幾個小洞，成功地將水排幹。還有一次，他們誰也沒有戴表，圖靈就臨時做了一個日晷來看時間。
1937年，他的論文《論可計算數及其在判定問題中的應用》發表了，同年還發表了該文的一篇短小的訂正。事實表明，“可計算數”是圖靈在數學上最著名的貢獻。關於這一點，《泰晤士報》在他的訃告（1954年6月16日）上寫道：“這一使圖靈在數理邏輯中獲得永久地位的發現，是他在剛畢業後不久做出的。與當時希爾伯特及他所代表的哥廷根學派的流行觀點正相反，他證明了存在著這樣一類數學問題：它們不可能通過固定的和有限的過程得到解決。他的證明中的關鍵步驟是闡明一個‘可以由一台自動機完成的過程’。盡管別的作者在大致相同的時間也發表過不可解性的其他證明，但‘圖靈機’仍然是這些本質上等價的理論中最生動、同時在許多方麵也是最令人信服的闡述。他當時對於‘通用’（universal）計算機的描述純粹出於理論上的目的，但是圖靈對各種實際實驗的強烈愛好使他甚至在當時就對沿著這些思路實際製造一台計算機的可能性深感興趣。”紐曼教授在《皇家學會會員傳記》（1955年11月）中曾這樣提到“可計算數”：“現在很難認識到當時把紙帶及在紙帶上的穿孔模式這類話題引進數學基礎的討論中是一種多麼大膽的革新。”
下麵是羅賓·甘迪博士所做的另外一些有關的評論，這些評論曾經在《自然》雜誌上發表：
“在頭幾年的研究中，圖靈曾致力於幾個專題，其中包括數論和量子力學，同時他還開始製造一台計算黎曼Z函數的機器，為此，他自己動手切削齒輪。對計算的興趣導致他直接去考慮哪些種類的計算過程能夠用一台機器來完成。
“他描述了一種‘通用’機，當向它提供適當的指令時，它可以模仿任何其它機器的行為；這樣他就能對‘可計算性’做出一種精確的定義，並證明存在一些在該種意義上其解答是不可計算的數學問題。
“這篇包含這些結果的論文，是運用圖靈方法的典型。從首要原理出發，運用具體描述，建立起一個一般性的抽象結論。”
在假期裏，當圖靈想談論自己的工作和準備靜下心研究數學基礎的計劃時，他就去做長時間的散步或整日外出。吉爾福德一帶的某幾處地方都會使他的朋友聯想到“變量”、“常數”及“-1的平方根之類”的討論。
他還千方百計讓他的母親至少能理解有關“可計算數”的論文的思路，有時還用手杖敲打地麵來闡明他的觀點。圖靈總是把他出版著作的單行本送給自己的母親。
盡管母親數學水平不高，他們還是一起搞出了一篇“可計算數”的法文摘要，準備發表在法國科學院通報上。經紐曼教授加以審閱並提出修改意見後，一位法國專家又對它做了審核。
大約在1937年，圖靈計劃寫一篇《論利特爾伍德的一個定理》的論文，他抱著這個目的請教了皇家學會會員利特爾伍德博士。這位博士雖然對它感興趣，但認為會出現難以克服的困難。然而圖靈並沒有被嚇倒，而是在某個時期實施了自己的這個計劃，但沒有發表論文，以免會牽涉到對別人的專門研究範圍的侵犯。這篇論文被評價為是一篇具有獨到價值的著作。
豐富多彩的研究生院生活
法靈頓市場是圖靈喜歡遊逛的地方。他就是在那兒弄到了一架古老的六分儀，這架六分儀成了圖靈1936年9月23日漂洋過海去紐約時的裝備之一。