萊布尼茨在數學領域作出過很多貢獻，其中比較重要的一種發現，或者說發明，就是二進製。什麼是二進製呢?簡單地說，就是一種和我們習慣的逢十進一的進位方法不同，逢二進一的進位製。在萊布尼茨研究二進製的過程中，他從一位到中國來的傳教士那裏接觸到了中國傳統的典籍《易經》，他驚喜地發現，易經的原理中，與二進製有不謀而合的地方。
《易經》是怎樣一部書呢?它和二進製有什麼關係呢?
《易經》是世界上最為古老的書籍之一，它表達了古代中國人的一種哲學，其中包括政治、經濟、軍事、曆法以及某些變化的啟示，人們也常常把它作為一種用來占卜吉凶的卦書。《易經》中的圖形結構是由六條水平線段構成的六線形，實的線段為“陽”，中間斷開的線段為“陰”，陰陽交換可以形成全部64種六線形序列，它們各有各的名稱，各有各的卦辭。
萊布尼茨在學習了《易經》之後，注意到：如果把每個斷開的線段作為0，而未斷開的線段作為1，則六線形就呈現為二進位數。萊布尼茨高興地說：“幾千年來不能很好地被理解的奧秘由我理解了，應該讓我加入中國籍吧!”
不過，雖然萊布尼茨說中國人在《易經》中發現了二進製係統，然而卻沒有進一步的證據顯示這一點，所以說，實際上萊布尼茨並不是受《易經》的啟發而發明二進製的，而是發現了《易經》中圖形的結構可以用二進製數學予以解釋而已。殘殺戰俘
“殘殺戰俘”是一個古老的數學故事。
在一次戰爭中，64名戰士被俘虜了。敵人命令他們排成一個圓圈，編上1、2、3、4……64的號碼。然後，從1號開始殘殺，接著是3號、5號……隔一個殺一個。這樣轉著圈殺，最後剩下一個人，這個人就是約瑟夫斯。請問：約瑟夫斯是多少號?
讓我們來看一看：敵人從1號開始，隔一個殺一個，這就是說第一圈把奇數號碼的戰士全殺死了。剩下的32名戰士需要重新編號，而敵人在第二圈殺死的是重新編排的奇數號碼。
第一圈剩下的全部是偶數號2、4、6、8……64。因為先前的64名戰士已經被殺害了一半，所以現在剩下的人是64除以2，共32個人，他們重新編的號碼是1、2、3、4……32。而第二圈殺過之後，又把這一次編成的奇數號碼的戰士全都殺掉了，還剩下16個人。這樣一直到最後，剩下的必然是一開始的64號，所以，答案是：約瑟夫斯是64號。
如果有65名戰士被俘，敵人還是按上述方法殘殺戰士，那最後剩下的還會是64號約瑟夫斯嗎?
答案是：不是了。因為第一個人被殺後，也就是1號被殺後，第二個被殺的必然是3號，如果把1號排除在外，那麼剩下的仍然是64個人，對於剩下這64個人，新1號就是原來的3號，這樣原來的2號就變成新的64號了，所以剩下的必然是原來的2號。
再把問題改一下：不讓被俘的戰士站成圓圈，而排成一條直線，然後編上號碼。從1號開始，隔一個殺一個，殺過一遍之後，然後再重新編號，從新1號開始，再隔一個殺一個，問最後剩下的還是64號約瑟夫斯嗎?答案為：是。
如果戰俘人數是65人呢?這回剩下的還是約瑟夫斯。隻要人數不超過128，那麼最後剩下的總是約瑟夫斯。因為從1到128中間，能被整除次數最多的就是64。而敵人每次都是殺奇數號，留偶數號，所以64號總是最後被留下的人。杯子裏的互質數
從前，在匈牙利，有一個叫埃杜斯的數學家。他聽人說，有個叫波沙的12歲的男孩，非常聰明，特別能解數學題。埃杜斯就想，應該去考考他，看看這個小孩是不是真的像別人說的那麼聰明。
埃杜斯就找到了波沙的家，見到了小波沙。波沙家的人熱情款待了他。他向波沙提了一個問題：“從1、2、3直到100，隨便取出51個數，至少有兩個數是互質的，你能說出其中的道理嗎?”
什麼是互質數呢?比如說，2和7，它們之間除了1以外沒有公約數，我們稱它們為“互質數”。
波沙想了一會兒，就知道這個題該怎麼解了。隻見他把爸爸、媽媽和埃杜斯先生麵前的杯子都拿到自己的麵前，說：“先生，比如說這幾隻杯子是50個。我把1和2這兩個數放進第一個杯子，把3和4這兩個數放進第二個杯子，這樣兩個兩個地往杯子裏放，最後把99和100兩個數放進第50個杯子，我這樣放可以吧?”
埃杜斯先生點點頭。
小波沙又說：“因為你剛才說，要從裏麵挑出51個數，所以至少有一隻杯子裏的數全被我挑走，而連續兩個自然數，當然就會互質了!”
埃杜斯先生問：“你為什麼這麼說兩個連續的自然數會互質呢?”
波沙說：“兩個相鄰的自然數，一個是a，一個是b，它們如果不互質，那麼它們倆就必然有大於1的公約數c，那c一定是b-a的約數。可是b-a又等於1，不可能有大於1的約數。既然不可能，那就說明兩個相鄰的自然數一定是互質的!”
埃杜斯先生感歎地說：“你答得真好啊!”一個迷人的猜想
數學家陳景潤鑽研哥德巴赫猜想的故事，小朋友們或許都已經聽說過了，但是你們知道，哥德巴赫猜想到底是怎麼回事嗎?
哥德巴赫是一位生活在兩百年前的德國外交官，他非常喜歡研究數學，並和當時著名的大數學家歐拉是好朋友。他倆常常在通信的時候探討數學問題。
有一次，哥德巴赫在信中對歐拉說：“我想發表一個猜想，就是每個大奇數都可以寫成三個奇質數的和。比如77，可以把它寫成三個質數之和：77=53+17+7。再任取一個奇數，比如461，又可以寫為461=449+7+5。這樣，我發現，任何大於5的奇數都是三個質數之和。但這怎樣證明呢？需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗。”