楊輝發明縱橫圖是從一件小事中得到啟發的。一天，楊輝坐轎子外出巡遊。走著走著，轎子停下來了，前麵傳來孩子的大聲喊叫聲，接著是衙役惡狠狠的訓斥聲。楊輝忙問怎麼回事，差人來報：“一個小孩不讓過，說等他把題目算完後才讓走，要不就繞道。”楊輝連忙下轎，來到小孩前麵，問道：“為何不讓本官從此處經過？”小孩答道：“我怕你們把我的算式踩掉，我又想不起來了。”“什麼算式？”“就是將1到9的數字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結果都是等於15。先生（老師）讓下午一定要把這道題做好。我正算到關鍵之處。”
楊輝連忙蹲下身，仔細地看了看那個算式，和小孩一起算了起來。直到天已過午，他們才算出來。楊輝說：“你可以帶我去你的先生嗎？”“好的。”
下午，楊輝見到先生，兩個人談論起數學。楊輝說：“剛才那道題，您是怎麼想出來的？”先生笑著說：“不是我想的，是古人想的。南北朝的甄鸞在《數術記遺》一書中寫過：‘九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履，一五居中央。’”楊輝問：“你可知道這個九宮圖是如何造出來的？”先生搖搖頭。
回到家中，楊輝反複琢磨，一有空閑就在桌上擺弄這些數字，終於發現一條規律。他將這條規律總結成四句話：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。意思就是：一開始將9個數字從大到小斜排三行，然後將9和1對換，左邊7和右邊3對換，最後將位於四角的4、2、6、8分別向外移動，排成縱橫三行，就構成了九宮圖。
按照類似的規律，楊輝又得到了“花16圖”，就是從1到16的數字排列在四行四列的方格中，使每一橫行、縱行、斜行四數之和均為34。後來，楊輝又將散見於前人著作和流傳於民間的有關這類問題加以整理，得到了“五五圖”、“六六圖”、“衍數圖”、“易數圖”、“九九圖”、“百子圖”等許多類似的圖。楊輝將這些圖總稱為“縱橫圖”，並於1275年寫進自己的數學著作《續古摘奇算法》一書中，流傳後世。
49.李冶總結天元術
李冶是著名的數學家。他自幼聰敏，喜愛讀書，對數學和文學都很感興趣。1230年，李冶在洛陽考中詞賦科進士，任鈞州知事，為官清廉、正直。1232年，鈞州城被蒙古軍隊攻破。李冶不願投降，隻好換上平民服裝，北渡黃河避難。經過一段時間的顛沛流離之後，李冶定居於崞山的桐川。
1234年初，金朝為蒙古所滅。金朝的滅亡給李冶生活帶來不幸，但由於他不再為官，這在客觀上使他的科學研究有了充分的時間。他的工作條件是十分艱苦的，不僅居室狹小，而且常常不得溫飽，要為衣食而奔波。但他卻以著書為樂，從不間斷自己的寫作。他在桐川研究工作是多方麵的，包括數學、文學、曆史、天文、哲學、醫學。其中最有價值的工作是對天元術進行了全麵總結，寫成數學史上的不朽名著——《測圓海鏡》。
《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑的公式。卷一的《識別雜記》闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關係以及它們與圓徑的關係，共600餘條，每條可看作一個定理或公式，這部分內容是對中國古代關於勾股容圓問題的總結。後麵各卷的習題，都可以在《識別雜記》的基礎上，以天元術為工具推導出來。
李冶總結並完善了天元術，使之成為中國獨特的半符號代數。這種半符號代數的產生，要比歐洲早300年左右。除此之外，他還發明了負號和一套先進的小數記法，采用了從零到九的完整數碼。
50.領先世界的《數書九章》
秦九韶是古代傑出的數學家。他唯一的數學著作《數書九章》被稱為“一部劃時代的巨著”，其中的大衍求一術、三斜求積術和秦九韶算法具有世界意義的重要貢獻。美國科學史家薩頓曾說過：“秦九韶是他那個民族，他那個時代，並且確實也是所有時代最偉大的數學家之一。”
《數書九章》全書18卷，81題，分為九大類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢穀類、營建類、軍旅類、市易類。這部巨著總結了前人在開方中所使用的列籌方法，將其整齊而有係統地應用到高次方程的有理或無理根的求解上去。