數學起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。從古至今，數學一直不斷地延展，且與科學有相互作用，並使兩者都得到好處。數學在曆史上有許多的發現，並且直至今日還在不斷地發現中。
45.趙爽解釋勾股定理
趙爽，東漢末至三國時代吳國人，他是曆史上著名的數學家。
據載，他研究過張衡的天文學著作《靈憲》和劉洪的《乾象曆》，也提到過“算術”。他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周髀》。《周髀》是我國最古老的天文學著作，唐初改名為《周髀算經》，趙爽為該書作了詳細注釋，取名為《周髀算經注》。
《周髀算經注》簡明扼要地總結出古代勾股算術的深奧原理。其中一段500餘字的“勾股圓方圖”注文是數學史上極有價值的文獻，它詳細解釋了《周髀算經》中的勾股定理，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦。”他又給出了新的證明：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。”“又”、“亦”二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明。
趙爽還研究了二次方程問題，得出與韋達定理類似的結果，並得到二次方程求根公式之一。此外，他使用“齊同術”，在乘除時應用了這一方法，還在“舊高圖論”中給出重差術的證明。趙爽的數學思想和方法對中國古代數學體係的形成和發展有一定影響。
46.劉徽的“割圓術”
劉徽是中國數學史上一個非常偉大的數學家，在世界數學史上，也占有重要地位。他的作品《九章算術注》和《海島算經》，是我國寶貴的數學遺產。
《九章算術》約成書於東漢之初，共有200多個問題的解法。在許多方麵，如解聯立方程、分數四則運算、正負數運算、幾何圖形的體積麵積計算等，都屬於世界先進之列。但是，解法比較原始，缺乏必要的證明，劉徽對此作了補充證明。
在這些證明中，劉徽顯示了自己多方麵的、創造性的才能。他是世界上最早提出十進小數概念的人，並用十進小數來表示無理數的立方根。在代數方麵，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則，改進了線性方程組的解法。
在幾何方麵，他提出了“割圓術”，就是將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓麵積和圓周長的方法。他用“割圓術”從直徑為兩尺（66厘米）的圓內接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……割得越細，正多邊形麵積和圓麵積之差越小，用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”。他計算了3072邊形麵積並驗證了這個值。
劉徽還利用“割圓術”科學地求出了圓周率π＝3.14的結果，奠定了此後千餘年，中國圓周率計算在世界上的領先地位。
47.祖暅計算球體積
在數學中，有一個著名的“祖暅原理”，也就是“等積原理”。它是由南北朝傑出的數學家祖暅首先提出來的。祖暅應用這個原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。該原理在西方直到十七世紀，才由意大利數學家卡瓦列利發現，比祖暅晚了一千多年。
最初研究球體積的計算公式時，祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異。”這裏的“冪”指水平截麵的麵積，“勢”指高。這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截麵的麵積相等，則這兩個幾何體的體積相等。這個原理很容易理解。取一摞書或一摞紙張堆放在水平桌麵上，然後用手推一下以改變其形狀，這時高度沒有改變，每頁紙張的麵積也沒有改變。因此，這摞書或紙張的體積與變形前相等。祖暅不僅首次明確提出了這一原理，還成功地將其應用到球體積的推算，從而給出球體積的正確公式。這一原理後人稱之為“祖暅原理”。
48.楊輝製成縱橫圖
縱橫圖，也叫“幻方”，就是將從1至n平方的自然數排列成縱橫各有個數的正方形，使每行、每列、有時還包括每條主對角線上的個數的和都等於同一個數。長期以來，人們習慣於將縱橫圖當作純粹的數學遊戲，沒有給予應有重視。隨著近代組合數學的發展，縱橫圖顯示了越來越強大的生命力，在圖論、組合分析、對策論、計算機科學等領域中，找到了用武之地。那麼，是誰第一個給出了如此豐富的縱橫圖並討論了其構成規律的呢？他就是數學家楊輝。