第一部分
諾伯特·維納
機器、生物、社會，這些在常人看來毫無共同之處的東西，都被維納以他所創立的控製論聯係到了一起。20世紀中葉，科學和社會的發展出現了對這種聯係的需要並為這種需要的實現提供了可能。機器人、自動化、經濟及社會控製均由此而出，控製論的創立開辟了科學史上的新時代。
“控製論之父”諾伯特·維納，1894年生於美國哥倫比亞城，父親是哈佛大學斯拉夫語教授。小維納是遠近聞名的神童。他11歲上大學，18歲獲哈佛博士學位。他通曉10國語言，曾先後做過教授、工程師和新聞記者，是個才華橫溢、豐產多收的科學大師。
科學經過世紀之交危機、革命、振興的痛苦而又亢奮的過程之後，到20世紀中葉便出現了綜合發展的趨勢。這時，科學各領域的獨立發展均已達到碩果累累的相對穩定的階段，到了利用相鄰學科彌補自己在對世界整體性把握上的不足並在相鄰領域為自己學科成果尋找意義的階段。正如維納所說，屆時，“科學的發展史上，可以得到最大收獲的領域是各種已經建立起來的部門之間被人忽視的無人區”。正是維納等人所開始的對從前人類不曾涉足過的科學荒地的開發，才催生出20世紀中後期新興交叉科學群。
由於涉足領域的寬泛和成果範圍的廣博，對維納一生科學思想和事業選擇起過作用的人很多，但其中重要的有4人：他的父親裏奧·維納；英國大數學家、大哲學家羅素；20世紀數學巨人、德國大數學家希爾伯特，以及維納的好朋友、科學夥伴羅森勃呂特。
維納上大學前的所有學業都是在家中在其父親的督導和教育下完成的。父親的廣博學識和嚴謹作風，幫維納為以後學業的進一步發展和才能的進一步施展打下了基礎。這位哈佛教授從兒子一出生的那天起，就承擔起了對兒子的教育職責。早期開發的得法，使維納智力的進步非常迅速。他3歲就開始看書，而且鑽進去就忘記一切。隻要能拿到手的書，他就會無所不讀，連神學書、漢語詞典、出土文物報告他都興趣盎然地翻閱。廣泛地閱讀奠定了維納寬廣的知識結構，開闊了視野，也為他以後多樣性興趣發展及多學科的綜合能力打下了基礎。
從這個角度看，裏奧是個寬容的父親，他使維納逃脫了學校古板教學模式對人的想像力、創造性等天賦的束縛，使他在最易廣泛接受新事物，最能養成良好思維習慣的時候得到了輕鬆、和諧而又極富感染力的環境。
然而，從另一個角度來說，裏奧又是個嚴厲的父親，他對維納管束和引導極有條理，要求也極嚴格，常常為一點兒小事兒就大發雷霆，隨口罵出“蠢驢”、笨蛋”、“畜生”之類的粗話。致使40年後維納回憶當時的情景仍然心有餘悸。但是，裏奧對維納的管束絕不是毫無道理的，他懂得如何為兒子培養出出類拔萃的素質。
寬容和嚴厲並重的督導原則最大限度地開發了維納的智力。他不滿7歲的時候就已經學完了初等數學到解析幾何的全部中學數學教材。學了物理、化學，學了法文、德文、拉丁文。閱讀了從達爾文進化論到精神病學，從凡爾納科學幻想小說到18、19世紀世界文學名著等等許多人一生都讀不完的書。這是他成年後超群智慧之泉的源頭。
除了早期教育之外，裏奧所做的影響維納一生的決斷是讓兒子的大學就讀於塔夫茨學院。這是哈佛附近的一所小型理工學院。為什麼放著堂堂哈佛不讀卻選擇了這樣一所小型學院呢?裏奧不想讓哈佛緊張的考試摧毀了兒子的健康心態，也不想讓一個11歲入大學的孩子引起哈佛的轟動。他要讓兒子專心學習數學。可是數學卻拴不住小維納的心。他的興趣一轉再轉，飄浮不定。這雖然違背了裏奧的初衷，但也確實是父親為他安排的這個氣氛相對寬鬆、自由的小學院成了維納原本豐富多彩的知識結構和思維優勢得以進一步生長的肥沃土壤。
進入大學之後，維納的興趣就沒穩定過。第一年，他對物理和化學產生了旺盛的熱情，常常自己偷偷溜進實驗室去做化學實驗或去進行電學的課外冒險，且常常自己構思出一個實驗，再想辦法去實施。這時，還不知自謙的小維納對同學們稱讚他從數學神童變成了工程學神童很得意。當然，由於他數學起點高，本專業課程也根本不在話下。
第二年，維納的興趣又從工程學轉向了哲學。他為斯賓諾莎對倫理學的精確見解和萊布尼茲的多才多藝所傾倒。他貪婪地閱讀大部頭的哲學書籍，從中吸收智慧的營養。哲學，這些人類精神的精華，使他的小腦袋更豐富，更深刻，也更想入非非了。正是這種深厚的哲學基礎，使他後來能深刻領會羅素思想底蘊，受到獲益終生的啟蒙。
第三年，他的興趣又轉向了生物學。這一次他似乎真的鑽進去了，他認定自己應該成為一個生物學家。他常常偷偷跟著生物係的學生外出采集標本，自己博取生物係實驗室看門老頭的好感和信任，以便經常溜進去看人家做實驗，要不是後來闖了一次禍，他這種小灶也許一直可以開到畢業。
一次，他企圖自己做一次解剖實驗。便約了兩個同學，從那位善良的看門人手中要來了一隻豚鼠，溜到實驗室中解剖起來。但由於他們行動遠沒有思想跑得快，顯得手忙腳亂，結果不但忘了用麻藥，結紮動脈時也沒有正確地將動脈與連在一起的靜脈及神經分開，致使手術還沒有做完，那頭可憐的豚鼠就活活疼死了。這下闖了大禍，生物係的教授金斯氣衝衝地闖了進來，大發雷霆。因為在那裏，如此不人道的活體解剖是犯法的，很可能使實驗室被取消解剖權。
這件事情發生後，維納受到了多方的衝擊，不得不把神蕩不已的心再重新收回數學上來。直至18歲那年以一篇有關數理邏輯的論文在哈佛大學取得博士學位。
拿到博士學位後，維納來到英國的劍橋深造。在這裏，他所師從的是他的第一個啟蒙導師、大哲學家、大數學家羅素。脫離父親的直接管束及劍橋清新的學術氛圍，使維納感到心清氣爽，神采飛揚。富有英國貴族氣派的羅素的非凡氣度、聰慧頭腦、傑出思想，以及優雅流暢的語言陳述，都使維納如癡如醉地歎服。第一次與第一流學者探討交流，又使他倍感莊嚴和神聖。可是沒多久，羅素便憑他敏銳的洞察力，發現了維納不是那種專心於數學而不渝的人。於是，羅素因材施教，對他進行哲學啟蒙。在羅素的啟發下，維納把以前零散的哲學知識變成了思維工具，懂得了建立學科間關係的意義。這裏所得的教益，是維納最終選擇交叉學科作為研究方向的最早萌芽。
一年後，由於羅素外出講學，維納轉投到德國哥廷根大學希爾伯特門下。希爾伯特是人類有史以來所出現過的最偉大的數學神才，幾乎可以說是世界上惟一一個真正通曉一切現代數學領域的數學家。來到哥廷根大學後，希爾伯特思想之深刻，視野之廣闊，知識之淵博，簡直使維納為之震驚。把數學作為一種打開自然之謎的工具和技術，這與當時把數學作為純粹形式係統不同的深邃見解影響了維納，使他能最後以數學統一物理、工程、神經生理等領域。隻有在這裏，他才真正讀懂了數學，愛上了數學。原來，數學與他那萬花筒般的幻想世界是一致的。
創立控製論，這是一項需要有廣博知識、敏銳洞察力，並且在科學、哲學、技術各部門有濃厚功底的工作。非維納這類人才所不能為。所幸的是恰好在社會需要這個人物之前，出現了裏奧、羅素、希爾伯特、塔夫茨等人。這是維納的幸運，也是曆史的幸運。
對維納的工作起直接刺激作用的是兩次世界大戰。
一戰爆發後，維納充軍報國。作為數學家他在阿伯丁兵器實驗廠參加編製高炮射程表的工作。由於這時飛機速度已很快，射程表編製程序繁難冗雜。維納應用其數學理論出色地完成了很多工作。這裏他第一次接觸防空火炮係統，第一次感到高速計算的重要性，也是他第一次出色地以數學理論解決物理學問題。
戰後，他選擇了把數學和物理學結合在一起的工作，這是真正能發揮其蓄存已久的優勢的工作。他四麵出擊，幾乎到處成功。他拋棄了那種從純形式體係研究數學的理論傲慢，認為“一個有用的數學家必須是改變現實的有力因素”。在數學和物理結合的道路上取得初步成功後，他開拓了數學與工程技術及其他學科結合的新路子並且依然是捷報頻傳。為此，1933年，39歲的維納被選為美國科學院院士。
幾年後，新的世界大戰又一次席卷了歐洲。作為盟國，美國也參與了戰爭。維納參加了防空火炮裝置的設計工作。由於德國占有空中優勢，盟軍處於守勢，防禦成了大問題。
這時的飛機飛得更快了，已經與追打它的炮彈的速度相差無幾。火炮不能直瞄飛機，必須給出提前量——打飛機下一時刻可能到的位置——讓炮彈與飛機同時到達空間的某一點。這時，人的眼力、心力和體力已跟不上飛機速度方向的變換，提高命中率的出路隻能在機器了。然而，飛機在空中三維空間，加速、減速、拔高、俯衝、轉向、翻滾自由度很大，機器如何判斷飛機下一時刻的動作呢?
維納苦思冥索。自動火炮瞄準飛機，就像獵手瞄準飛鳥一樣，自動火炮與獵手的共同之處是什麼呢?最後維納終於找到了信息和反饋這兩個關鍵因素。人和機器的控製都是根據信息調整動作，發布命令指揮動作的目的性過程。目的性的實驗全仰仗於根據信息對行為的負反饋。
有了這個想法，他便去請教他的老朋友羅森勃呂特，這個生理學家恰到好處地領會了維納的意圖，並為他提供了可以說明人的目的性行為也是靠負反饋來完成的病例。於是，他們便開始合作探討如何模擬人的生理功能以實現火炮自動化的問題了。
這是一個靠一兩個人、一兩個領域的知識所無力解決的複雜問題，需要諸如工程學、心理學、物理學、神經生物學、計算機科學等多學科的合作。維納召集和主持了這種合作。於是，一次再次的國際性跨學科學術討論會，一次再次地聚攏著不同學科科學家的心，一次再次地爆出令人振奮的合作成果——一個嶄新的科學領域就這樣開辟出來了。
1948年，維納將此類研究成果精煉升華著成《控製論》，控製論的原英文詞來自希臘語，願意為“操舵術”。這是一門可移植適用於從機器、生物、社會各種組織性、目的性係統指導、設計、完成各種目的性行為的科學。《控製論》一經問世，立即轟動了美國科學界，並且迅速被傳播到全世界。它引起了人們思想的飛躍，推動了現代社會自動化的進程。
晚年的維納，除了對其所開創的學科領域的不倦探求外，還與其他科學家一道參與許多諸如呼籲製止戰爭、反對濫用科學成果等社會活動。
1963年3月，由於心髒不暢而停止了對他聰慧大腦的血液供應——病魔奪去了維納的生命。不知人類需再過多少年才會再有一顆像他那樣的大腦。
沃納·海森堡
1922年6月，在德國哥廷根“玻爾節”上，量子理論創始人玻爾作了7次著名演講，簡明地闡述了原子結構理論。在聽眾中，有一位專程從慕尼黑趕來的二年級大學生，他就是沃納·海森堡。在演講後的問題討論中，海森堡對玻爾的一些觀點提出了異議。這位大學生的發言，引起了玻爾的注意。當討論結束時，玻爾邀請他一道出去散步，並仔細地交談了量子理論的有關問題。他們在哥廷根郊外談論了好幾個小時，仍各持己見。盡管如此，玻爾誠懇待人的作風深深地打動了海森堡的心。而海森堡的聰明才智也給玻爾留下了深刻的印象，他向海森堡發出了去哥本哈根作學術訪問的邀請。海森堡後來回憶說，這是他所能記起的“關於近代原子理論的物理問題和哲學問題的第一次全麵徹底的討論，而且它對我後來的事業肯定起了決定性的作用”。
海森堡一生在理論物理學上作出了重要成就，而他最大的貢獻無疑是創建矩陣力學。在這之前，他在關於流體力學、反常塞曼效應、分子模型以及色散理論等方麵做了大量研究工作。這些工作為他創立矩陣力學作了準備。尤其是與玻恩的合作，使他感受到建立新量子理論的迫切性。
玻恩原來是研究晶體點陣動力學的，1921年到哥廷根大學任理論物理學教授後開始原子理論的研究工作。他讓他的學生學點量子物理並想同索末菲展開競爭。哥廷根的著名數學家希爾伯特主張數學家和物理學家結合起來研究物理學，他和玻恩聯合組織了“物質結構”討論班。此外，在玻恩周圍還有各種討論班，如“初學者討論班”、“晚上討論班”、“原子力學Ⅰ編寫組”等，學術氣氛非常濃。為了繁榮科學，玻恩還常邀請各國著名學者來訪講學。這大大開擴了學生們的眼界。玻恩對學生親切不拘小節。在課餘，他常和學生一起散步、野餐、演奏樂曲。玻恩在他主持的討論班上鼓勵提問和批評。因此，在玻恩周圍常聚集著一大批有才能的學生，海森堡就是其中一個。
如果說海森堡在索末菲那裏受到關於玻爾理論的嚴格訓練，那麼他在玻恩那裏更多的是學到對玻爾理論的懷疑。當玻恩學派對玻爾理論的正確性表示懷疑時，索末菲學派還相信隻要附加上普朗克、玻爾和索末菲提出的量子條件，牛頓力學還可以解決原子領域的問題。海森堡認為玻恩比波爾更加堅信要有一套完整的數學上統一的量子理論，而不是在牛頓力學、量子條件和光量子假設之間的徘徊與調和。
1922年，玻恩和他當時的助手泡利一起深入討論了把微擾論應用於原子理論的問題，發展了微擾論能量表示的一般方法。1923年，玻恩和海森堡合作把微擾論用於氦原子，雖然理論結果在定性方麵與實驗一致，但定量方麵差距很大。這使他們堅信，物理學的基礎必須進行根本的變革。
1924年，在哥廷根討論班上玻恩曾強調，把量子論的困難單單歸諸輻射與力學體係之間的相互作用是不正確的。他認為力學必須加以改造，必須用某種量子力學來代替才能提供理解原子現象的基礎。玻恩甚至在1924年的一篇論文中首次把期待中的新理論稱作“量子力學”。這時玻恩對他自己所期望的新理論已有了一些模糊的領悟。而海森堡則找到了描述這種理論的數學方法。
海森堡在哥廷根雖然隻是一個有獎學金的研究人員，但實際是玻思的助教。他與玻恩密切合作，力圖從符號意義上的力學模型出發，建立一種新的力學。一年後他以一篇題為《關於量子論的形式規律在反常塞曼效應問題上的更改》的論文取得大學授課資格，成為無薪講師。同年9月，海森堡作為領取“洛克菲勒獎學金”的研究人員來到丹麥的哥本哈根，而他的矩陣力學之類的創造性工作，事實上也是在哥本哈根生根發芽的。
海森堡在哥本哈根主要與荷蘭物理學家克拉姆斯一起工作。克拉姆斯從1916年起擔任玻爾的助手，在發展量子理論方麵幫助玻爾做了不少工作。他多才多藝，不僅會5種外語，而且還會拉大提琴，在工作之餘常在海森堡的鋼琴伴奏下演奏。而他在學習上又對學生要求得極為嚴格。1924年初，主要根據當時到哥本哈根來工作的美國物理學家斯萊特提出的思想，玻爾、克拉姆斯和斯萊特一起發表了一種對後來影響較大的理論，亦稱BKS理論。這個理論的中心思想是：給每個原子引進一組能產生虛擬輻射場的虛振子，而每一個這種虛振於具有一個躍遷頻率(即原子的躍遷頻率)。這就把不連續的原子過程與連續的輻射場聯係起來了，從而可以利用對應原理，采取類似於經典理論的方法來處理量子論的色散問題。克拉姆斯利用這種思想導出了他的色散公式。
如果說克拉姆斯的色散理論實際上摧毀了電子軌道概念的基礎，那麼可以說海森堡更傾向於放棄電子軌道模型，用正確的數學公式來表示玻爾的對應原理。他和克拉姆斯一起用玻恩的方法研究色散問題，並合作寫了一篇論文《關於原子對輻射的散射》。
1925年4月海森堡回到哥廷根。他想進一步在上述工作的基礎上解決氫原子譜線強度問題，但在數學上遇到了很大困難。於是，他轉而想從根本上解決問題，即找出一個與經典運動方程對應的，在邏輯上內在一致的電子在氫原子中的運動方程。但根據經典力學，這個方程應當描述電子在原子中運動的軌跡，可是原子太小了，電子軌道既看不見，也摸不著，也就是說是不可觀察的。那麼，如何從實驗上來檢驗所得方程的正確性呢?
正當海森堡百思不得其解的時候，他得了枯草熱病。這是由於某種有毒花粉引起的一種過敏症，需要到海邊去治療。當他在北海的赫爾蘭島上休養時，突然從愛因斯坦創立相對論的過程中得到啟發。愛因斯坦認為物體的絕對速度和兩個不同地點所發生事件的絕對同時性等概念是沒有意義的，因為這些概念在實際上是不可觀察的。於是海森堡認為，既然玻爾原理中確定半徑和轉動周期的電子軌道是不可觀察的，同樣也沒有意義。人們在實驗中能觀察到的隻是光譜線的頻率和強度。
於是，海森堡從玻爾對應原理出發，“設法建立起一個理論的量子力學，它與經典力學相類似，而在這種量子力學中，隻有可觀察量之間的關係出現。”他在玻爾的頻率條件和克拉姆斯的色散理論中看到了可以這樣做的跡象。根據玻爾的頻率條件，可以用電子的特征振幅來表示原子中各電子間的相互作用。運用克拉姆斯的量子色散理論，從經典運動方程出發，可以得出一個僅僅以可觀測量為基礎的量子力學運動方程。這個方程的解在理論上應當能給出原子係統完全確定的頻率和能量值，並且也能給出完全確定的量子論的躍遷幾率。
經過幾天緊張的計算，他用得出的方程處理了一個較簡單的非諧振子的量子力學係統和繞核作圓周運動的電子的情況，都獲得了成功。
當他最後算完的時候，已是淩晨三點多鍾了。此時他十分興奮，睡意全無，奔出室外，攀上一座海邊的岩塔，一直等到旭日東升。他後來回憶當時的心情時說：“最初，我深為驚奇，我感到，通過原於現象的表麵，我正在窺測著一個奇妙的內部世界，而對自然界如此慷慨地層現在我麵前的豐富的數學結構，使我感到眼花繚亂。”
海森堡在赫爾蘭島上住了一個多星期，終於寫成了《關於運動學和動力學的量子論重新解釋》一文。他發現量子力學量與經典力學量的不同之處在於：量子力學不遵守一般乘法的交換律，它們是不可對易的，即AB≠BA。從他所得出的方程出發，可以自然地得出符合量子條件的解，而不必像玻爾那樣附加幾條假說。他知道，“這個十分明顯但又錯綜複雜的物理學問題，隻能通過對數學方法的更透徹的研究來解決”。而他的理論在數學處理上隻是處於開始階段，僅能應用於一些簡單的例子。所以，他對自己的論文並沒十分的把握，猶豫著不敢立即送去發表。
經過反複思考，海森堡於7月9日把寫完的那篇論文寄給他最嚴格的評論家泡利，並說：“我冒昧地直接把我的論文手稿寄給您，因為我相信，至少在批判的即否定的方麵，它包含了一些真正的物理學。同時我很抱歉，因為我必須要求您在二至三天內把稿寄還我。我必須要麼在我留在這裏的最後幾天內完成它，要麼把它付之一炬。”
泡利熱情支持海森堡理論，並表示，“我向海森堡的勇敢假定致敬”。正是由於泡利的鼓勵和支持，這才使海森堡下定決心，將論文送給他的老師玻恩審閱。
玻恩看到海森堡的論文後，很快就深刻地認識到他的學生這一工作的重大意義。這時由於海森堡又到哥本哈根去了，他就一方麵將海森堡具有劃時代意義的論文推薦到《物理學記事》雜誌發表，另一方麵又與學生約爾丹合作，試圖在數學上進一步把海森堡的思想發展成一門係統的量子力學理論。
玻恩經過一個星期的苦苦思索，突然想到，如果將玻爾每個定態的能級橫寫一次，再豎寫一次，就會得出一個矩陣。其中，對角位置對應於狀態，非對角位置則對應於躍遷。於是，海森堡的那些可觀察量就可以用這些列陣來表示，而這些列陣不就是矩陣嗎!這種矩陣的運算方法正好與海森堡所得出的運算法則一致。真是“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費功夫”，數學家早就為物理學準備好了數學工具，隻看哪一位物理學家能捷足先登了。由長期在數學之都哥廷根工作，對數學深感興趣的玻恩來摘取勝利之果，倒也合情合理，並非偶然。
玻恩為這個發現而激動，他立即和約爾丹投入緊張的計算，隻用了幾天時間，就寫出了一篇論文《關於量子力學》。在這篇論文中，他們闡明了矩陣運算法則，應用對應原理，從經典的哈密頓正則方程出發，把矩陣形式應用到海森堡的理論中，得到了一個相當於海森堡量子條件的矩陣方程。根據這個方程，可以進一步導出能量守恒定律和玻爾的頻率定則，並成功地應用到了諧振子和非諧振子的量子力學係統。
次年2月，他們又與海森堡合作，以三人名義共同發表了著名的《關於量子力學Ⅱ》一文，把按海森堡途徑發展的量子力學推廣到任意多個自由度的體係上，完成了對非簡單體係及一大類簡單體係的微擾理論，導出了動量和角動量守恒定律、選擇定則和強度公式。最後，還把該理論用到黑體空腔的本征振動的統計問題上。
這篇論文在矩陣形式下大大發揮了海森堡的最初想法，終於使矩陣形式的量子力學形成了一個完整的體係。它是以微觀客體的粒子圖象為基礎而建立起來的新力學體係，由於它運用了矩陣數學形式，所以又稱為矩陣力學。
不久，泡利首先將這種新力學應用於氫原子光譜，算出了氫原子的定態能值，結果與玻爾的結論完全相符，從而證實了新理論的正確性。接著，物理學家們又用量子力學處理過去許多使人感到困惑的原子問題，也都獲得了成功。於是，哥廷根的這個勝利成果很快就在物理學界傳播開了。愛因斯坦風趣地稱，“海森堡生了一個大量子蛋”。劍橋、柏林、哥本哈根都紛紛邀請海森堡去講他的新量子力學。
在以後的歲月裏，海森堡繼續在量子力學的道路上探索，取得了累累碩果。他建立的“測不準關係”成為量子力學的重要原理之一，並因此於1932年榮獲諾貝爾物理獎。由於海森堡的上述重大貢獻，他被公認為量子力學的創始人之一。
矩陣力學被看作是用定量的關係來代替定性的對應原理的一個成功嚐試。在創立這一理論的過程中，海森堡借助了一條重要的方法論原則，即可觀察性原則。這個原則要求，在理論上應該拋棄那些實際上不可觀測的量，而直接采用可觀測的量。
海森堡有幸師從索末菲、玻恩、玻爾這樣一些當代第一流的物理學家。他後來回憶說，他從索末菲那裏學了物理學，從玻恩那裏學了數學，從玻爾那裏學了哲學。但他決不盲從，他敢於懷疑，敢於批判，常常向老師提出尖銳的問題，與他們展開深刻的討論。他的名言是：“科學紮根於討論。”在解決新的物理學問題時，他敢於創新。他創立矩陣力學，作出科學上的偉大貢獻，正是源於這種科學探索精神。他曾說：“在每一個嶄新的認識階段，我們永遠應該以哥倫布為榜樣，他勇於離開他已熟悉的世界，懷著近乎狂熱的希望到大洋彼岸找到了新大陸。”
卡特·哥德爾
他旋動數學的透鏡注視著數學本身，偶然間他發現了著名的“不完全定理”——它像—支錐子穿透了形式主義的心髒。
1906年卡特·哥德爾生於布倫城，那時布倫是奧匈帝國的領土，現在它屬於捷克共和國的一部分。他的父親是一家紡織廠的經理，喜愛邏輯學和進行推理，他的母親則一直提倡對自己的獨生子要盡早教育。10歲之前，哥德爾一直在學習數學、宗教和好幾種語言。到25歲時，他已經提出了被許多人認為是20世紀最重要的數學成果的“不完全定理”。1931年，哥德爾提出了他的發現，引起了人們的震驚和迷茫。它表明，世界上最著名的數學家的將近一個世紀的努力是注定要失敗的。
為了對哥德爾的理論表示讚賞，去理解那個時代數學怎樣被感知，是一件殘忍的事情。多少個世紀以來，人類處於典型的泥水不分的混沌狀態，那時人的模糊直覺和明白無誤的邏輯思考是攪和在一起的，直到19世紀末期，數學才終於有了發展。所謂的形式體係被設計了出來，就像從樹幹上長出了枝丫，定理從推論公理中生了出來。形式體係表明，得出定理的過程必須從某個地方開始，並且這個地方一定是存在公理的地方，它們是原始的種子，是其他數學結論的源泉。
機械數學觀的優點是它剔除了所有思考和判斷的需要。隻要公理是正確的敘述，並且隻要推理的法則是正確的，數學就不會出軌，謊言就不會輕而易舉地得逞。
為了發揮標準數字、加號、括號及其他符號的優勢，人們經常把文字敘述寫成用一係列符號表示的形式體係。但是，那時這些符號並不是數學的一個必要特征。雖然文字敘述同樣被用來表示李子、香蕉、蘋果和橘子，然而那時候，數學敘述(由任意符號構成)越來越明顯地成為數學的一種單純的精確的結構模式。
很快，少數幾個有遠見的人物開始懂得了數學敘述的特點，哥德爾即是他們中的佼佼者，這種看待事物的方式打開了數學的一個新的分支學科——抽象數學。常用的數學分析方法是與抽象數學的模仿一萌芽階段相聯係的，這一階段形成了形式體係的本質——數學本身被假設為抽象數學的原始樣本。這樣數學就像一條自食的蛇一樣又扭過頭來盤住了自己。
哥德爾表明，怪異的結論恰恰來自用數學透鏡觀看數學本身時的聚焦過程。理解這一結論的方法之一就是想象在一顆遙遠的行星上(比如說火星)，所有用於寫傳奇作品的符號碰巧是我們平時用的0～9的阿拉伯數字。這樣，火星人將會在他們教科書中討論一個著名的發現，他們會發現地球上的我們與歐幾裏德有關，而同時我們會說：“他們的作品中有許多素數，”他們寫的東西則像這樣：“8445329844508787866873070005766619463864545067111。”對我們來說它像一個46位的數字。而對火星人來說，它根本不是數字，而是一句陳述語。的確，對他們來說，他們寫的這些素數代表著34個字母，6個單詞和幾行話，就像我和你應用英文字母一樣。
現在讓我們來想象著討論一下所有的數學定理之間存在的普遍屬性。如果我們查找火星人的教科書，我們看到的所有定理都隻是純粹的數字而己。因此我們可能創造出一條複雜的定理，以分辨哪些數字可以出現在火星人的教科書中，而那些數字從不在那兒出現。當然，我們不願意談論數字，而更願意談論那些形似數字的符號鏈。並且，或許對我們來說，讓我們忘記這些符號鏈對火星人的意義，而僅僅把它們看成是古老的數字，這並不是一件容易的事。
通過這一簡單的換位透視法，哥德爾找到了更深奧的力法。哥德爾的方法是去想象著研究什麼能夠被稱為“火星人創造的數字”(那些數字實際上是火星人教科書中的定理)，並且他試著提出諸如此類的問題：“8030974是否是火星人的創造?”這個問題的意思是，像“8030974”這樣的敘述會不會在一本火星人教科書中出現?
哥德爾仔細思索著這一超現實的數字構成，很快他發現這種“火星人創造”的專用數字並不是完全區別於我們熟知的“素數”或“奇數”等概念。這樣一來，地球範圍內的數字定理便能夠處理諸如“哪些數字是火星人創造，哪些數字不是火星人創造”或者“是否有無限的非火星人創造數字”等問題了。很可能高等數學教科書(在地球上的)已經包括了關於火星人創造的數字的全部出處。
就這樣，在數學史上最敏銳的洞見之一裏，哥德爾設計出了一句驚人的陳述：“X不是一個火星人創造的數字。”這句話中的x就是：當“X不是一個火星人創造的數字”陳述被譯成火星人的數學概念時所表示出的數字。仔細想一下這句話，直到你明白它為止。被翻譯成火星人概念的“X不是一個火星人創造的數字”這句陳述，對我們來說將是一串巨大的數字鏈——一個很大的數字，但是，這串火星人的書寫正是我們要找的X(這句敘述本身所談及的X)。說起來太曲折，的確這真夠曲折的!但是曲折正是哥德爾的特長——曲折就在空間結構中，曲折就在原因中，萬事萬物都是曲折的。
通過把定理想成符號模式，哥德爾發現，用“形式體係”表示的陳述不僅能夠闡明它自身，而且能夠拒絕它自己的理論來源。數學中存在的這一糾纏不清的潛在結果，對火星人來說是一種巨大的非同尋常的悲哀，為什麼悲哀呢？因為火星的人們——像魯塞爾和懷特洛德——早已全身心地希望，他們的形式體係會抓住數學的所有真實陳述。如果哥德爾的陳述是正確的，那麼它在他們的教科書中將不會被當成一條定理，並且它將再也不會出現在他們的教科書中——因為哥德爾的陳述已經表明它本身是不可能的!如果它的確在他們的教科書中出現了，那麼它對它本身將是錯誤的又有何解釋呢，並且有誰，即使是火星人，會想要一本提倡錯誤和提倡正確一樣多的數學教科書呢？