進行了氣壓試驗之後,帕斯卡就轉而研究液體平衡的一般規律,並發現了流體靜力學最基本的原理,即封閉器內流體任何一點所受的壓力以同等的強度向各個方向同樣地傳遞;這就是有名的“帕斯卡定理”。這一定理的發見有著極大的理論上與實踐上的價值,它奠定了近代流體力學的基礎。
進行過一個時期的流體力學的研究,帕斯卡又回到數學工作上來。與帕斯卡同時而稍早的意大利數學家加瓦裏裏曾經提示過三角形的麵積可以用劃分為無數平行直線的辦法來計算。帕斯卡在這個基礎上做出了重大的新貢獻。他指出加瓦裏裏所謂的直線實際上乃是細小的長方形,由此遂導致了極限與無窮小的觀念。這一不朽的研究開辟了近代的數學方法,為以後的微分積分學掃清了道路。
晚年的帕斯卡一生疾病纏身、身體極其衰弱。從十八歲起,他就一直處在病中,二十四歲時他又曾因中風而癱瘓。在這段時期裏,他和父親、妹妹同住在一起,由於受到他們兩人的影響,帕斯卡逐漸開始注意思想和信仰的問題。
1651年帕斯卡的父親愛基納去世,接著妹妹又去了波羅雅爾修道院。此後的兩三年間,帕斯卡一直獨居巴黎,過著世俗的平民生活。這時,他和當時的無神論者、自由思想者、人性學者戴巴魯、米頓、默裏等人交遊,在很多方麵受到默裏的影響;同時他又深入鑽研從艾比克泰德到蒙田等人的著作。他生活在科學、哲學和沉思生活中,同時又大量接觸巴黎平民的世俗生活,他一方麵致力於探求世界的真理問題,另一方麵也對人生的幸福問題進行了深入思考。這一段時期的世俗生活使他有機會比較深入地觀察形形色色的社會生活與人世現象,從而為後來的《思想錄》提供了多方麵的素材。而世俗生活的另一個側麵,賭博問題,則推動著他著手研究概率論。
帕斯卡和費瑪是概率論這一學科的創始人。十七世紀的數學家們是從計算賭博中的機遇問題而開始研究概率論的。帕斯卡的友人默裏是一個賭徒,他向帕斯卡提出了下列問題:賭博任一階段暫中斷時,其勝負的幾率如何?這個問題引起了當時學者們的高度興趣;帕斯卡也為了回答友人所提出的問題而開始進行概率論的研究。帕斯卡曾把自己的研究通知費瑪,兩人分別得出了自己的解答。二十多年後,萊布尼茨在僑居巴黎時讀到了帕斯卡的研究成果,並敏銳地意識到了這一門學科的重要性,於是繼續進行了認真的研究。繼帕斯卡、費瑪和萊布尼茨之後,曆代的數學家如惠更斯、雅貝努爾等人,都曾繼續研究並發展了概率論。由帕斯卡所開創的這一學科在近代科學技術的許多部門日愈獲得廣泛的應用,對於近代理論科學和哲學思想也有著巨大的影響,其意義於價值已經得到了大家的廣泛認可。
帕斯卡在巴黎的世俗生活時期,其科學創作仍源源不斷。1653年《大氣重力論》與《液體平衡論》問世;1654年年他又完成了有關數論和概率論的一係列研究工作,代數學上沿用至今的 “帕斯卡三角”也是在這一年提出的。
1654年11月23日,帕斯卡乘馬車遇險,兩匹馬均墜死巴黎賽納河中,而帕斯卡本人卻幸免於難。這次奇跡般的生還經理刺激了他,促使他再次把注意力轉向了信仰問題。這次的信仰轉向被帕斯卡研究者認為是其“第二次皈依”。這次事件後後,帕斯卡入住波-羅雅爾修道院,終其餘生在激烈的鬥爭與痛苦之中追求著宇宙與人生的真理的。他晚年寫成了《與沙西先生的談話》,《致外省人信劄》和《思想錄》等重要著作。
與此同時,經費瑪修訂後,他的《數學三角形論》於1665年出版,書中第一次奠定了關於數學歸納法的證明方法。而他晚年研究得最多和貢獻最大的科學問題是旋輪線的問題。有關這些問題的研究直接促成了微積分學說的誕生與發展。
晚年的帕斯卡直接介入了宗教思想領域反對耶穌會的鬥爭。波-羅雅爾修道院受到了當時的統治當局的嚴厲打擊,部分冉森派的代表人物都主張向對立思想妥協妥協,而帕斯卡則堅持自己的信仰,繼續與信仰迫害進行鬥爭。他與其波-羅雅爾的朋友們關係緊張,並且這種思想鬥爭的痛苦與身體的疾病一起折磨著他,他在這種折磨與掙紮中走完了他天才而又短暫的一生。1662年8月19日帕斯卡死於巴黎,享年三十九歲。
下賭吧,信仰就得冒風險