第二章 學生數學科學興趣培養7
13.魔術數
１９８６年全國初中數學競賽題第一題第３小題提到魔術數，原題是：將自然數Ｎ接寫在每一個自然數的右麵，如果得到的新數都能被Ｎ整除，那麼Ｎ稱為魔術數，在小於１３０的自然數中，魔術數的個數是。
乍看起來，問題較棘手，但認真分析，並不難解決。
大家在理解魔術數定義時，就注意這幾個字：“接寫”、“每一個”（即任何一個），“都能”。
例如，把偶數２接寫在任何一個自然數右麵得到的新數都是偶數，都能被２整除，所以２是魔術數。
怎樣求魔術數呢？
設ａ為魔術數，把ａ接寫在任何一個自然數ｘ的右麵得到的新數ｘａ。
１若ａ為一位數，則ｘａ＝１０ｘ＋ａ能被ａ整除，即對任何一個自然數ｘ，１０ｘ都能被ａ整除，就是１０應是ａ的倍數，則ａ隻能是１，２，５共３個。
２若ａ為二位數，則ｘａ＝１００ｘ＋ａ能被ａ整除，１００應是ａ的倍數，ａ隻能是１０＝１１０，２０＝２１０，２５，５０＝５１０，共４個。
３若ａ為三位數，則ｘａ＝１０００ｘ＋ａ能被ａ整除，１０００應是ａ的倍數，ａ隻能是１００＝１１０２，１２５，２００＝２１０２，２５０＝２５１０，５００＝５１０２，共５個。
同理，若ａ為四位數，ａ隻能是１０００＝１１０３，２０００＝２１０３，５０００＝５１０３，１２５０＝１２５１０，２５００＝２５１０２。
一般地，當ａ為ｎ位數（ｎ≥３）時，魔術數可用以下形式表示：
１１０ｎ－１，２１０ｎ－１，５１０ｎ－１，２５１０ｎ－２
１２５１０ｎ－３。
這樣，我們便可以求出小於任何給定的自然數的魔術數及其個數。小於１３０的魔術數共９個：１，２，５，１０，２０，２５，５０，１００，１２５，小於１０的魔術數為３個，小於１００的魔術數為７個，小於１０００的魔術數為１２個，小於１００００的魔術數為１７個……
我們觀察ｎ位數的魔術數的個數：
當ｎ＝１時為３個；
當ｎ＝２時為４個；
當ｎ＝ｋ（ｋ≥３）時總是５個。
所以，ｎ≥２時，ｎ增加１，ｎ位數的魔術數的個數就增加５個。或者說，ｎ位數（ｎ≥２）以內的魔術數的個數正好組成公差為５的等差數列：７，１２，１７，２２，２７，３２，……。
14.最大的和最小的
（１）三個１，不另加任何數學運算符號，能寫成的最大的數是什麼？能寫成的最小的數是什麼？
（２）四個１，不另加任何數學運算符號，能寫成的最大的數和最小的數是什麼？
（３）三個２，不另加任何數學運算符號，能寫成的最大的數和最小的數是什麼？
（４）三個４，不另加任何數學運算符號，能寫成的最大的數和最小的數是什麼？
你在回答這些問題時會發現，它們都是需要仔細想一想才能正確回答的問題。
（１）很明顯，１１１是最大數的，１１１＝１是最小數。
（２）如果你從（１）的經驗出發，以為１１１１是最大數，就錯了。這裏最大的數是１１１１。事實上，１１３＝１３３１＞１１１１，而１１１１比１１１１更要大得多。最小的數當然還是１１１１＝１。