第二章6
52勾股數和費馬大定理
如果一個直角三角形的兩條直角邊分別是a和b斜邊是c，那麼a2+b2=c2，這就是著名的 “勾股定理”。如果a、b、c都是正整數，就說它們是一組勾股數。一般地說，勾股數就是不定方程x2+y2=z2(1)的正整數解。
在公元前1900—前1600年的一塊巴比倫泥板中，記載了15組勾股數，包括（119，120，169），（3367，3456，4825），（12709，13500，18541）這樣一些數值很大的勾股數，說明當時已經有了求勾股數的某種公式。
於是人們進一步設想：在（1）中，如果未知數的次數比2大，還有沒有正整數解呢？
大約在1637年，費馬認真地研究了這個問題，指出，他已經證明，一個立方數不可能表為兩個立方數之和，一個四次方也不可能表為兩個四次方之和。一般說來，指數大於2的任何冪不可能表為兩個同樣方冪之和。也就是說，當n＞2時，不定方程x2+y2=z2（2）沒有正整數解。這就是通常人們所說的費馬大定理，也叫費馬最後定理。
後來，一直沒有發現費馬的證明。300多年來，大批數學家，其中包括歐拉、高斯、阿貝爾、柯西等許多最傑出的數學家都試圖加以證明，但都沒有成功，使這個大定理成了數學中最著名的未解決問題之一。現在一般認為，當初費馬也並沒有證出這條定理。
費馬大定理也吸引了無數業餘愛好者。當1908年德國哥廷根科學院宣布將發給第一個證明它的人10萬馬克獎金時，據說有些商人也加入了研究的行列。但由於費馬大定理不可能有初等證明，因而那些連初等數論的基本內容都不熟悉的人，對此隻能“望洋興歎”了。這說明攻克世界難題，不僅需要勇氣和毅力，還需要具備紮實的基礎知識。
53強盜的難題
強盜搶劫了一個商人，將他捆在樹上準備殺掉。為了戲弄這個商人，強盜頭子對他說：“你說我會不會殺掉你，如果說對了，我就放了你，決不反悔！如果說錯了，我就殺掉你。”
聰明的商人仔細一想，便說：“你會殺掉我的。”於是強盜頭子發呆了，“哎呀，我怎麼辦呢？如果我把你殺了，你就是說對了，那應該放你；如果我把你放了，你就說錯了，應該殺掉才是。”強盜頭子想不到自己被難住了，心想商人也很聰明，隻好將他放了。
這是古希臘哲學家喜歡講的一個故事。如果我們仔細想一想，就會明白那個商人是多麼機智。他對強盜說：“你會殺掉我的。”這樣，無論強盜怎麼做，都必定與許諾相矛盾。
如果不是這樣，假如他說：“你會放了我的。”這樣強盜就可以說：“不！我會殺掉你的，你說錯了，應該殺掉。”商人就難逃一死了。
下麵這個例子也是有趣的。有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什麼事都能做得到。一位過路人問了一句話，使他頓時張口結舌。
這句話是：“上帝能創造一塊他也舉不起來的大石頭嗎？”請你想一想，這個教徒為什麼會啞口無言？
54部分也能等於整體嗎？
在一個大盒子裏，裝著許多黑白兩種圍棋棋子，怎麼才能知道哪種顏色的棋子多一些呢？一種辦法是分別數出它們的個數，進行比較；另一種辦法是，每次同時取出一黑一白兩種棋子，一直取下去，如果最後隻剩下某種顏色的棋子，就說明這種顏色的棋子多，如果剛好取完，就說明兩種顏色的棋子一樣多。
但是，假如那個大盒子裏裝著無窮多個棋子，那就沒有辦法把兩種顏色的棋子分別出來比較多少了，因為，至少有一種顏色的棋子是無窮多的。但是後一種辦法卻仍然可以使用：如果取了若幹次之後，盒子裏隻剩下某一種顏色的棋子，就可知道這種顏色的棋子多，而且是多得多了。如果拿出一個黑的，總能再拿出一個白的；拿出一個白的，也總能再拿出一個黑的，總說明它們是同樣多的。
整體大於部分，這是一條古老而又令人感到無可置疑的真理。把一個蘋果切成三塊，原來的整個蘋果當然大於切開後的任何一塊，但這僅僅是對數量有限的物品而言的。17世紀的大科學家伽利略發現，當涉及無窮多個物品時，情況可就大不一樣了。
比如有人問你：整數和偶數哪一種數多呢？也許你會認為：當然是整數比偶數多，而且是多一倍。如果從1數到100，那麼就有100個整數，而其中隻有50個偶數。那要是無窮多個整數和偶數呢？我們可以用“一一對應”的方法來比較一下：
……－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6
……－6，－4，－2，0，2，4，6，8，10，12……
對於每一種整數，我們可以找到一個偶數和它對應，反過來對於每一個偶數我們又一定可能找到一個整數和它對應，這就是整數和偶數是一一對應的，也就是說整數和偶數是一樣多的。
為什麼會得出這樣的結論呢？這是因為我們現在討論的整數和偶數是無限多的，在無限多的情況下，整體可能等於部分。
在這個思想的啟發下，19世紀後期德國數學家康托爾創立了集合論。它揭示出：部分可以和整體之間建立一一對應關係，這正是含有無窮多個元素集合的本質屬性之一。它也告訴人們：不要隨便地把在有限的情形下得到的定理應用到無限的情形中去。
55無法編成的目錄
瑞士數學家貢塞斯曾說過這樣一個故事：古老的亞曆山大圖書館裏，辛勤的學者卡裏馬楚斯正在埋頭編製圖書館珍藏的亞裏士多德學派著作目錄。
他編著編著，忽然放聲大哭，因為他感到無論怎樣也無法完成目錄的編製工作。事情是這樣的，他將所有書目分成兩類：第一類專收“自身列入的目錄”，意思是目錄中也列入這本目錄自身的名目。
比如《美學書目》，這本目錄收集的是這方麵的書目，如果翻開一看，還收有《美學書目》這本書的名稱，這就稱這目錄是“自身列入的書目”。第二類專收“自身不列入的目錄”，翻開這本目錄，找不到它自己的名目。比如《攝影作品目錄》中，就沒有《攝影作品目錄》這本書自己的名目。
卡裏馬楚斯編完第二類目錄，這本目錄是第二類書目的“總目”。但他一想到這部“自身不列入目標”的“總目”，其名目該不該收入這本《總目》本身時，就發現這是個無法解決的難題。
因為如果“總目”不列入《總目》，不但不成其為《總目》，而且正好使它成為一部“自身不例入的目錄”，就應列入。如果它自身列入的話，那就成為一部“自身列入的目錄”，就沒有資格列入自身。因而不列入自身，就必須列入自身；列入自身就不列入自身。無論列入或不列入，都不對，好像陷入了“魔地”，難怪學者卡裏馬楚斯也會放聲大哭呢！
56地圖著色的四色猜想
人人熟悉地圖，可並不是人人都知道，繪製一張地圖最少要用幾種顏色，才能把相鄰的國家或不同區域區分開來。這個地圖著色問題，是一個著名的數學難題，它曾經吸引了好幾代優秀的數學家為之奮鬥，並且從中獲得了一個又一個傑出的成就，為數學的發展增添了光輝。