第二章10
61花磚鋪設問題
隨著人們生活水平的提高，許多人喜歡用裝飾用的花磚來鋪設地麵，這在數學裏是一門學問，叫做平麵花磚鋪設問題，也叫做鑲嵌圖案問題，即采用單一閉合圖形拚合在一起來覆蓋一個平麵，而圖形間沒有空隙，也沒有重疊。什麼樣的圖形能夠滿足這樣的條件？
我們先來研究正多邊形。先看看正方形，這是大家熟悉的圖形。很明顯，正方形是可以覆蓋一個平麵的。
再來看看正三角形，正三角形也是可以覆蓋一個平麵的。
正六邊形也是可以覆蓋一個平麵，這不僅早在古希臘時就為人們所確認，而且昆蟲中的蜜蜂就是用正六邊形來建造蜂巢的。
為什麼正方形、正三角形、正六邊形能夠覆蓋一個平麵？因為過每一個正方形公共頂點的正方形有四個，每個正方形的每個內角為90°。
4個90°正好是360°。過每一個正三角形頂點可安排六個正三角形，每個內角60°，共為360°。同樣，過每個正六邊形頂點有三個正六邊形，每個內角為120°，三個內角正好為360°，由此可知，要使正多邊形能覆蓋平麵，必須要求這個正多邊形的內角度數能整除360°。
正五邊形的每一個內角為108°，108°不能整除360°，所以正五邊形不能覆蓋平麵，不難看出，超出六邊的正多邊形的每一個內角大於120°，小於180°，都不能整除360°，因此，都不可能覆蓋平麵。這樣看來，能覆蓋平麵的正多邊形隻有正方形、正三角形、正六邊形三種。
現在，我們來看看不規則的多邊形能不能覆蓋平麵。事實上，任何不規則的三角形和四邊形都可以覆蓋一個平麵。
那麼，其它怎樣的凸多邊形才能覆蓋平麵呢？1918年，法蘭克福大學一位研究生卡爾·萊因哈特曾研究過這個問題。後來發表了論文，確定五種可以拚成平麵的凸多邊形。例如，他提出如果五邊形ABCDE的各邊分別為a、b、c、d、e，且c、e兩邊所對的角C、E滿足C＋E＝180°，又a＝C，那麼這個五邊形就能覆蓋平麵。
1975年，美國人馬丁·加德納在《科學美國人》這本雜誌上開辟了關於鑲嵌圖案的數學遊戲專欄，許多數學家和業餘數學愛好者都參加了討論。其中有一位名叫瑪喬裏·賴斯的家庭婦女是最熱情的參予者之一。
賴斯是五個孩子的媽媽，1939年中學畢業前隻學過一點簡單的數學，沒有受過正規的數學專業教育。她除了研究正多邊形的拚鑲問題以外，還研究了一般五邊形。她獨立地發現了一種五邊形，並且向加德納報告了這一發現：“我認為兩條邊長為黃金分割的一種封閉五邊形可以構成令人滿意的布局。”加德納充分肯定了賴斯的研究成果，並把她介紹給一位對數學與藝術的和諧具有職業興趣的數學家多裏斯·沙特斯奈德。在沙特斯奈德的鼓勵下，賴斯又發現了解決拚鑲問題的另外幾種五邊形，而使這樣的五邊形達到13種。
賴斯的家務很忙，但這沒有影響她研究的熱情。她對人說：“在繁忙的聖誕節，家務占踞了我大量的時間，但隻要一有空，我便去研究拚鑲問題。沒人時，我就在廚房灶台上畫起圖案來。一有人來，我就急忙地把圖案蓋上。因為我不願意讓別人知道我在研究什麼。”