變換理論對於微分幾何的影響，產生了射影微分幾何、仿射微分幾何等分支。20世紀初，出現了對非充分光滑曲線和曲麵以及曲線曲麵的整體問題的研究，形成現代微分幾何。1923年，嘉當提出了一般聯絡的理論。1945年，陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯係，他又是纖維叢概念的創建人之一。
4.函數論
函數論包括複變函數論和實變函數論，但有時也單指複變函數論（或複分析）而言。
歐拉複數概念出現於16世紀，但對它的全麵掌握和廣泛運用，卻遲至18世紀。自變量是複數的函數，叫做複變函數。如果複變函數在某一區域內除了可能有有限個例外點之外，處處有導數，那麼這個複變函數叫做在這個區域內的解析函數；例外點叫做奇點。複變函數論主要研究解析函數的性質。
複變函數的研究是從18世紀開始的。18世紀30-40年代，歐拉利用冪級數詳細討論了初等複變函數的性質。達朗貝爾於1752年得出複變函數可微的必要條件（即“柯西—黎曼條件”）。拉普拉斯也考慮過複變函數的積分。
複變函數的全麵發展是在19世紀。1825年，柯西討論了虛限定積分，1831年他實質上推出了柯西積分公式，並在此基礎上建立了一整套複變函數微分和積分的理論。黎曼 1851年的博士論文《複變函數論的基礎》，奠定了複變函數論的基礎。他推廣了單位解析函數到多位解析函數；引入了“黎曼曲麵”的重要概念，確立了複變因數的幾何理論基礎；證明了保角映射基本定理。威爾斯特拉斯完全擺脫了幾何直觀，以冪級數為工具，用嚴密的純解析推理展開了函數論。定義解析函數是可以展開為冪級數的函數，圍繞著奇點研究函數的性質。近幾十年來，複變函數論又有很大的推進。
複變函數論是解決工程技術問題的有力工具，飛機飛行理論、熱運動理論、流體力學理論、電場和彈性理論等中的很多問題。
實變函數的發展較晚，其中積分論是它的重要組成部分。容度和測度是線段長度概念的推廣，是為了推廣積分的概念而建立起來的。1893年，約當給出了“約當容度”的概念，並用於討論積分。1894年，斯提捷首先推廣了積分概念，得到了“斯提捷積分”。1898年，波萊爾改進了容度的概念，他稱之為“測度”。下一步決定性的進展是1902年勒貝格改進了測度理論，建立了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”等概念。1904年，他完全解決了黎曼可積性的問題。後來，數學家們對積分的概念又作了種種推廣和探索。
實變函數的另一個領域是函數構造論。1885年，威爾斯特拉斯證明：連續函數必可表示為一致收斂的多項式級數。這一結果和切比雪夫斯基最佳逼近論，是函數構造論的開端。近年來，這個方向的研究十分活躍。
5、泛函分析
本世紀初，出現了一個廣闊的新領域——泛函分析，它是古典分析觀點的推廣。近幾十年來，由於分析學中許多新分支的形成，從而發現在代數、幾何、分析中不同領域之間的某些方麵的類似。其次，幾何與集合論的結合產生了抽象空間的理論，將函數看成函數空間中的點。再加上實變函數論以及近世代數的觀念和方法的影響，就產生了泛函分析。它綜合函數論，幾何和代數的觀點，研究無窮維向量空間上的函數、算子和極限理論。
19世紀末弗爾太拉和20世紀初阿達瑪的著作中已出現泛函分析的萌芽。隨後希爾伯特、海令哲開創了“希爾伯特空間”的研究，黎斯、馮·諾伊曼等人在這方麵都有重要的建樹。