2.微分方程
凡是表示未知函數和未知函數的導數以及自變量之間的關係的方程，就叫做微分方程。如果未知函數是一元函數，則稱為常微分方程，如果未知函數是多元函數，則稱為偏微分方積。微分方程的基本問題是在一定條件下，從所給出的微分方程解出未知函數。
微分方程幾乎是與微積分同時發展起來的，由於它與力學、物理學的淵源很深，所以在13世紀便已自成一門獨立的學科了。兩個多世紀來，這一學科已發展得相當完善。
1676 年，萊布尼茨在致牛頓的信中，首先提出了“微分方程”這個名稱。在他們兩人的著作中，都包含了許多微分方程的實例。早期的研究側重於探討各類一階方程的解法，並由此導致了方程的分類。18 世紀，歐拉解決了全微分方程和“歐拉方程”（一類高階變係數線性微分方程），提出了通解和特解的概念，指出了n階線性方程通解的結構。其後，泰勒得到了方程的奇解；拉格朗日推導了非齊次線性方程的常數交易法。
柯西對於微分方程組的研究始於19世紀前半葉，柯西開始研究解的存在性和唯一性。19世紀後半葉，數學家們開始利用群論來研究微分方程，由此建立連續群和李群的新理論。龐加萊引入了極限環的概念，李雅普諾夫引入了微分方程組解的穩定性概念。他們的方法都不必直接求解，稱為定性理論。1927年，畢爾霍夫建立了“動力係統”的一段定性理論。
一階偏微分方程的研究首先是從幾何學問題開始的。拉格朗日指出，解一階線性偏微分方程的技巧，在於把它們化為常微分方程。一階非線性偏微分方程的研究，始於歐拉和拉格朗日，蒙日為偏微分方程的幾何理論奠定了基礎。到18世紀末葉，在引入奇解、通解、全積分、通積分、特積分等概念之後，偏微分方程已形成一門獨立的學科。
拉格朗日二階偏微分方程的研究，始於18世紀的弦振動理論。通常見的二階偏微分方程均來自物理或力學的實際問題，它們構成了這門學科中一個獨立的係統——數學物理方程。
積分方程源於阿貝爾1826年的工作，但是直到1888年杜·波阿·雷蒙的著作中，才正式提出了積分方程這個名詞。1896 年開始，伏特拉給出了兩類積分方程的一般理論；不久，弗雷德荷姆大體上完成了一類重要的線性積分方程理論。由於這類積分方程常出現在一些物理問題中，因此積分方程論常被包含在數學物理方程內。
現代科學技術，如空間技術、現代物理學、力學等，都有許多問題需要用微分方程來求解，甚至在化學、生物學、醫藥學、經濟學等方麵，微分方程的應用也越來越多。
3、微分幾何
微分幾何這門分支學科主要研究三維歐氏空間中曲線和曲麵的內在性質，所謂內在性質就是同幾何對象在空間中的位置無關的性質。它以微積分、微分方程這些分支學科的理論為研究工具。或簡單地說，微分幾何就是用分析方法研究幾何性質。
微分幾何的發端可見於1731年克萊洛的著作中。蒙日1809年的著作包含了這一學科的雛形；歐拉研究了曲麵的一般理論；高斯1827年的《關於曲麵的一般研究》一書，論述了曲麵理論，創立了內涵幾何學，奠定了曲麵微分幾何的基礎。1887-1896 年，達布的《曲麵一般理論的講義》集曲線和曲麵微分幾何之大成。