這裏我還要強調一下獨立思考。獨立思考是搞科學研究的根本，在曆史上，重大的發明沒有一個是不通過獨立思考就能搞出來的。當然，這並不等於說不接受前人的成就而“獨立”“思考”。例如有許多人，搞哥德巴赫猜想，對前人的工作一無所知，這樣搞，成功的可能性是很小的。獨立思考也並不是說不要攻書，不要看文獻，不要聽老師的講述了，書本、文獻、老師都是要的，但如果拘泥於這些，就會失去創造力，使學生變成教師的一部分，這樣就會愈縮愈小，數學上出了收斂的現象。隻有獨立思考才能夠跳出這個框框，創造出新的方法，創造出新的領域，推動科學的進步。獨立思考不是說一個人獨自在那裏冥思苦想，不和他人交流。獨立思考也要借助別人的結果，也要依靠群眾和集體的智慧。獨立思考也可以補救我們現在導師的不足。導師經驗較差，導師太忙顧不過來，這都需獨立思考來補救。甚至於像我們過去在昆明被封鎖的時候，外國雜誌沒處來，我們還是獨立思考，想出新的東西來，而想出來的東西和外國人並沒重複。即使有，也別怕。例如說，我青年時在家裏發表過幾篇文章，而退稿的很多，原因是別人說你的這篇文章那本書裏已有此定理了，那篇文章在某書裏也已有證明了等等。而對這種情況是繼續幹呢？還是就泄氣呢？覺得上不起學，老是白費時間搞前人所搞過的東西。當時，我並沒有這樣想。在收到退稿時反而高興，這使我明白，原來某大科學家搞過的東西，我在小店裏也能搞出來。因此我還是加倍繼續堅持搞下去了。我這裏並不是說過去的文獻不要看，而是說即使重複了人家的工作也不要泄氣。要對比一下自己搞出來的同已有的有什麼區別，是不是他們的比我們的好，這樣就學習了人家的長處，就有進步，如果相比之下我們還有長處就增加了信心。
我們有了獨立思考，沒有導師或文獻不全，就都不會成為我們的阻力。相反，有導師我們也還要考慮考慮講的話對不對，文獻是否完整了……總之，科學事業是善於獨立思考的人所創造出來的，而不是像我前麵所說的等於幾塊集成電路的那種人創造出來的，因為這種人沒有創造性。毛主席指出，研究問題，要去粗取精，去偽存真，由此及彼，由表及裏。做到這四點，就非靠獨立思考不可，不獨立思考就隻能得其表，取其粗，隻能夠偽善雜存，無法明辨是非。
三、搞研究工作的幾種境界。
1.照葫蘆畫瓢地模仿。模仿性的工作，實際上就等於做一個習題。當然，做習題是必要的，但是一輩子做習題而無創新又有什麼意思呢？
2.利用成法解決幾個新問題。這個比前麵就進了一步，但是我們在這個問題上也應區別一下。直接利用成法也和做習題差不多，而利用成法，又通過一些修改，這就走上搞科學研究的道路了。
3.創造方法，解決問題，這就更進了一步。創造方法是一個重要的轉折，是自己能力的提高的重要表現。
4.開辟方向，這就更高了，開辟了一個方向，可以讓後人做上幾十年，成百年。這對科學的發展來講就是有貢獻。我是粗略地分為以上這四種，實際上數學還有許多特殊性的問題。像著名問題你怎樣改進它，怎樣解決它，這在數學方麵一般也是受到稱讚的。在二十世紀初希爾伯特提出了二十三個問題。這許多問題，有些是會對數學的本質產生巨大的影響。費爾馬問題我想這是大家都知道的。這個問題如用初等數論方法解決了，那沒有發展前途，當然，這樣他可以獲得“十萬馬克”。但對數學的發展是沒有多大意義的。而庫麥爾雖沒有解決費爾馬問題，但他為研究費爾馬卻創造了理想數，開辟了方向。現在無論在代數、幾何、分析等方麵，都用上了這個概念，所以它的貢獻遠比解決一個費爾馬問題大。所以我覺得，這種貢獻就超過了解決個別難題。
我對同誌們提一個建議，取法乎上得其中，取法乎中得其下。研究工作還有一條值得注意的，要攻得進去，還要打得出來。攻進去需要理論，真正深入到所搞專題的核心需要理論，這是人所共知的。可是要打得出來，並不比鑽進去容易。世界上有不少數學家攻是攻進去了，但是進了死胡同就出不來了，這種情況往往使其局限在一個小問題裏，而失去了整個時間。這種研究也許可以自娛，而對科學的發展和社會主義的建設是不會有作用的。
四、我還想跟同學們講一個字，“漫”字。