首先定義了一種新的邏輯關係，他稱之為力迫關係。不難看出，這種關係與蘊涵相似，不同之處在於是可以在構造過程中保持不變的邏輯關係時蘊涵則不是在這種不變性。證明了存在著個整數集合使得所有關於它的命題都是為命題，於是這樣的集合就是所有關於它們質的構造過程中保持不變的集稱這樣的集合為叫成集合。
關於生成集合我們給出下列定義。一類整數集合稱作生成集合，如果具有下列的性質：設是一個一階理論，是其中的一項謂詞，是一個整數，為一語句集合，其中的語句具有；這兩種形式而且中任一公式或其否定為語句集合的一個有窮子集合所力迫。這裏我們用力這一概念來定義生成集合。從這裏還可以看出我們不僅能夠在集合論中定義生成集合而且能夠在算術與其他數學分支中定義這種集合。是一個語法概念，生成集合的概念則是直接由前者得出的。但引進這些概念的動機卻是語言方麵的。
關於連續統假設獨立性的證明的大意如(包括正則性公理和可構成性公理）的一個模型。第三個超窮基數並令為也的不同的子集合。令為包含和所有最小模型。如果作為第三個超窮基數這一性質在中保持不變，則廣義連續統假設在中不成立。而能否構造出這樣的關鍵在於能否選出一組，使得的元素在中不會出現新的性質。利用力迫法選出了這樣一組，從而解決了這一問題。
用類似的方法構造了選擇公理和可構成性公理在其中不成立的模型。結合在1939年得到的結果我們就能夠證明，對於25而言，連續統假設，選擇公理和可構成性公理都是獨立的。
由於力迫法是一個證明獨立性的有效的方法，1963年後，一係列集合論命題的獨立性得到了證明。
我們在前麵簡單陳述了60年代初期以來關於幾個集合論命題的獨立性和不可判定性的結果。這是數學中比較奇特的現象。從1931年發現較複雜的公理係統都是不完備的這一現象以來，不可判定的數學命題已是人們熟知的東西。但已發現的算術等分支中的不可判定的命題都是奇異命題，而公理集合論中的這一批不可判定的命題卻是一些基本命題。這就說明了現有的公理係統是很不完備的，而尋找能判定這一批命題的新公理就成為當前的中心課題。
如所周知，為了判定像連續統假設這一類命題有兩種途徑，即擴大論域或排除其進一步擴充的可能性。關於後者，可構成性公理就可以用來判定一些重要命題。在假設二乙後連續統假設就成為可證的而假設就成為可否。但一般集合論工作者不認為能夠成立。因之有希望的途徑是前者。也就是尋找新的集合存在法則，以便能得到比更強的係統。
我們在下麵將介紹三條集合存在的法則提出的集合的概括公理，等人提出的反映法則，和兩個係統公理的係統與作為法則的形式化的係統。
這幾條法則都是建立在關於集合的累積式類型結構的概念之上的。公理是集合的概括公理，等人提出的反映法則可以看作是無窮公理與替換公理的合並，是對於集合的累積式類型結構的說明，而公理是可以從反映法則推出的。提出的法則也是一條強的無窮公理，一條關於累積式類型結構的法則。最後一條法則特別值得注意，因為近年來建立了一種作為這一法則的形式化係統。而在這一係統中證明了可測基數的存在性。的係統可能是現有的集合論係統中最值得注意的一個。
他實際是設定那個由所有集合構成的全域具有累積式的類型結構，是發展的。相對於任給定時間，這個集合構造過程都是未完成的，這個過程是永遠不會完結的。法則是斷定集合構造過程中的階段有無窮多個，因之這是一條無窮公理。
係統和係統是建立在法則上的。係統特別值得重視，因為在這一係統中，我們能夠證明可測基數存在。這說明它是比等強得多的係統。在這一係統中也許有可能判定一些至今無法判定的集合論命題。
公理與人係統
在1965年提出廣種與很不一樣的集合論係統（我們將稱之為係統）中是有限域法則作為挑選公理的指導原則的，而在係統的公理中則隻保留了法則的最弱的推論即集合的分和一個集合的子類是集合。對公理6作了下列論證。當我們開始研究集合論的時候，並非所有集合全都是事先給定的，應該認為這些集合是在某種構造過程中得出的。在這一過程的任何時都不能認為謂詞是“有完全定義的”。因為構造集合的過程正在進行，一個給定的最後是否將被構造成為一個集合是尚未確定的。因此僅當條件風不包括謂詞時，才能認為它是定義的。由於類似的理由，的參數隻能限於集合。