簡單地說，政治就是人的組織藝術。完美的政治是可能的嗎？阿羅“不可能”定理給了我們一個答案。你可能對此感到失望，但是，寧可知道不存在答案的問題，也決不要假裝不存在任何問題。
阿羅“不可能”定理
我們有時會陷入因選擇太多而無所適從的局麵，在前麵的“約會遊戲”中，我們的規則是不允許把約會對象一個個比較，其實，即使允許這樣做，也未必能找到“最理想”的一個。比如，Ａ、Ｂ和Ｃ都很不錯，但是各有特點：Ａ很風趣，Ｂ很成熟，Ｃ很浪漫，讓你決定不下。能不能給這三種特點排坐次呢？你可能覺得風趣不如成熟可靠，可成熟沒有浪漫有情調，而浪漫呢，又不如風趣那樣讓你開心！所以有句俏皮話說：一個女人需要三個丈夫！
這還隻是個人選擇，如果要很多人在這些特點中作選擇（比如你的父母、姨媽、兄弟姐妹都很關心你的終身大事，都來發表意見），那麼想要得出一個大家滿意的結論幾乎就是不可能的。當然，這件事還是可以由你做主（畢竟是你自己的事嘛），可是如果換成全家商量要去三個地方旅遊，或添置什麼大件商品，又該如何決斷呢？換成一個團體乃至一個國家，又會怎樣？
對於社會的選擇問題，斯坦福大學教授肯尼思?阿羅由這一類難題中，得出了著名的“不可能”定理。阿羅認為，在非獨裁的情況下，任何一個體係，若要將人們對三個或三個以上的選擇作出一項集體抉擇，不存在任何加總社會個體成員偏好的方法。
所謂加總社會偏好，即找到一個社會偏好函數，它必須同時滿足以下幾個最基本的要求：（１）傳遞性，（２）全體一致性，（３）不相關選擇的相互獨立性，（４）非獨裁性。傳遞性的要求是，假如人們在Ａ和Ｂ之間選擇Ａ，在Ｂ和Ｃ之間選擇Ｂ，那麼人們在Ａ和Ｃ之間必然選擇Ａ。全體一致性的要求是，假如在Ａ和Ｂ之間一致傾向於Ａ，那麼，人們就會選擇Ａ而非Ｂ。不相關選擇之間的相互獨立性的要求是，人們在Ａ和Ｂ之間作的選擇並不取決於是不是存在另外一個選項Ｃ。非獨裁性的要求是，沒有任何人可以每次都得逞，因而不存在獨裁的力量。
民主是一種妄想或自相矛盾
自從１９５１年肯尼思?阿羅令人信服地論證出了這個結論，即任何可以想得出的民主選舉製度可能產生出不民主結果，這一論證使數學家和經濟學家感到震驚。阿羅這種令人不安的對策論論證立即在全世界學術界中引起了評論。
１９５２年，後來在經濟科學方麵獲諾貝爾獎的保羅?薩繆爾森這樣寫道：“這證明了探索完全民主的曆史記錄下的偉大思想也是探索一種妄想、一種邏輯上的自相矛盾。現在全世界的學者們——數學的，政治的，哲學的和經濟學的——都在試圖進行挽救，都試圖挽救阿羅的毀滅性發現中能夠挽救出的東西，對數學政治來說，這一發現就是１９３１年庫爾特?哥德爾的數學邏輯的不可能證明一致性定理。”
阿羅的論證，稱之為不可能性定理（因為它證明了完全民主在事實上是不可能的），該論證幫助他於１９７２年獲得了諾貝爾經濟科學獎。對策論中最早的和最驚人的成果之一，也就是阿羅的“毀滅性發現”所產生的影響使人們至今還能感覺到。
在民主投票中所固有的不民主悖論可以用一實例進行很好的解釋。
假定有三個候選人——甲、乙、丙，民意測驗表明：選民中有２／３願意選甲而不選乙，２／３願意選乙而不選丙，那麼是否意味著，喜歡甲的選民一定超過喜歡丙的？
未必！如果選民的態度有三種，分別是：甲、乙、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙，持三種態度的人各占總數１／３，那麼就會出現一個怪圈：２／３人喜歡甲超過乙，２／３人喜歡乙超過丙；２／３人喜歡丙超過甲！
這個例子反映的道理是深刻的，如果是社會對幾個方案進行表決，如國家選舉總統、某個城市讓市民決定先修建哪個公共事業工程，等等，社會投票很可能得出矛盾的結果。
既不一定正確，也不一定公平
阿羅定理指的是，社會沒有一種“客觀的”反映群體的社會偏好的方法。如果某種偏好得以反映出來，如小布什而不是戈爾當選美國第５３任總統，完全取決於所確定的“民主”的選舉規則。另外一套規則得出的完全可能是另外一種結果。
戈爾比小布什多幾十萬張選票，然而美國實行的投票人製度是，誰獲得了某一州的多數票，那麼他就獲得該州所分配的選舉人的選票。小布什與戈爾之爭的關鍵是佛羅裏達州的選舉結果，布什獲勝就在於他以微弱優勢獲得了佛羅裏達州的２５張選舉人票。最後，小布什與戈爾的選票之比為２７７：２６６。小布什獲勝。
你會說，通過一次性投票來決定誰當選，這應該是合理的，即對候選人或候選方案進行一次性表決。但是，這很有可能讓選民最不喜歡的人或方案當選。
舉一個例子。假定有４個人，他們是Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，假定有２６％的人“最喜歡”Ａ，各有２５％的人“最喜歡”Ｂ和Ｃ，有２４％的人“最喜歡”Ｄ。現在進行一次性投票，Ａ當選。而很有可能的情況是“最喜歡”Ｂ、Ｃ、Ｄ的那些人“最不喜歡”Ａ，即：“最不喜歡”Ａ的人有７４％！在這種規則下，最多人“最不喜歡”的人當選了！這樣的規則合理嗎？
如果有一種確定了的規則，並且候選人的競選綱領在選民心裏得到確定的定位，即每個選民針對不同的候選人確定了其偏好程度，那麼結果是確定的。而為什麼不同的候選人同意同樣的規則呢？因為，每個候選人總會盡量以其競選綱領及個人魅力贏得選民的偏好。這裏有一個真理：假如你的競選綱領及個人魅力贏得了所有的選民，即對所有選民進行偏好排序你都是在最前麵的，那麼在任何選舉規則下你都會被選中。同樣，如果你永遠排在最後麵，那麼無論什麼規則，你都不會被選中。這一點可以用數學證明。
同時，候選人接納某種民主的選舉規則而參與競選，是因為他無法預先知道每個選民的偏好。民主的選舉是人們以此來揭示選民的心理排序情形的方法。阿羅不可能性定理正說明了人的有限理性的悖論。
此外，阿羅定理說的是，社會的選擇方法不可能既是有效率的，又是民主的。因為循環投票本身就是無效率的。而有效率的方式必須是獨裁的。這就再次揭示了民主和效率的矛盾。
團體決策的困境
和其他類型的多人博弈一樣，投票當中也會出現策略問題。投票者常常不願表達自己的真實傾向。
無論是少數服從多數的規則，或是任何其他投票機製，都不能解決這個問題，因為現在尚不存在一個完美無缺的體係，可以將個人的傾向會聚成人民的意願。
比如，三位女郎結伴逛街，臨近中午她們打算一起吃午飯。她們都喜歡洋快餐，正好這條街上有麥當勞、肯德基和必勝客，可是每個人的偏好不同：Ａ喜歡麥當勞，其次是肯德基，最不喜歡必勝客；Ｂ的偏好依次是肯德基、麥當勞、必勝客；Ｃ的選擇卻又不同：必勝客、麥當勞、肯德基。假定這三人一定要一起吃飯，那麼會出現什麼結果呢？
因為三個人的喜好如此不同，難於達成一致，所以她們決定采取投票表決的方式，先在麥當勞與必勝客之間決出一個勝者，然後再與肯德基決勝。
如果是每個人都誠實投票，那麼，麥當勞將戰勝必勝客（因為Ｂ在兩者之間傾向於前者），並在第二輪戰勝肯德基。但是如果Ｂ不誠實投票，結果就會大不一樣。
Ｂ知道其他人的偏好，而且她希望達到自己滿意的結果，於是在第一輪故意投票給必勝客，於是必勝客獲勝；在第二輪，肯德基又戰勝必勝客，於是，Ｂ通過策略實現了自己的願望。可是這個願望並不是符合大家的最大利益的——理想的結果應該是麥當勞，因為在三個人的綜合評價中，它的分數最高。
因此投票製的民主實是知易行難，由於排名內部的模棱兩可，造成狡猾的候選人有極大的操弄空間，無論什麼規則都會造成公平選舉遭到扭曲。所有政治演說也常談到尊重“人民意願”，卻不容易做到。事實上，也幾乎不可能決定何者是人民的意願。通常宣稱實行民主製度，遠比實際實施民主要容易得多。顯然這種決策困境亟待深入探討。
“三個快槍手”
細致煩瑣的推理過程也許讓你有點疲憊了，下麵我們來點刺激的，到充斥著野蠻暴力的西部世界（至少是西部片的世界）去走一遭。
在一個西部小鎮上，三個槍手正在進行生死決鬥，槍手甲槍法精準，十發八中；槍手乙槍法不錯，十發六中；槍手丙槍法拙劣，十發四中。假如三人同時開槍，誰活下來的機會大一些？
假如你認為是槍手甲，結果可能會讓你大吃一驚：最可能活下來的是丙——槍法最劣的那個家夥。
假如這三個人彼此痛恨，都不可能達成協議，那麼作為槍手甲，他一定要對槍手乙開槍。這是他的最佳策略，因為此人威脅最大。這樣他的第一槍不可能瞄準丙。
同樣，槍手乙也會把甲作為第一目標，很明白，一旦把他幹掉，下一輪（如果還有下一輪的話）和丙對決，他的勝算較大。相反，如果他先打丙，即使活到了下一輪，與甲對決也是凶多吉少。
丙呢？自然也要對甲開槍，因為不管怎麼說，槍手乙到底比甲差一些（盡管還是比自己強），如果一定要和某個人對決下一場的話，選擇槍手乙，自己獲勝的機會要比對決甲多少大一點。
於是第一陣亂槍過後，甲還能活下來的機會少得可憐（將近１０％），乙是２０％，丙是１００％。
通過概率分析，你會發現丙很可能在這一輪就成為勝利者，即使某個對手幸運地活下來，在下一輪的對決中，也並非十拿九穩，畢竟丙還有微弱的機會。
現在換一種玩法（我們知道，有時勝負是由規則決定的）：三個人輪流開槍，誰的機會更大？
這裏我們又要遇到瑣碎的排序問題，但不管怎麼排，丙的機會都好於他的實力。至少，他不會被第一槍打死。而且，他很可能有在第二輪首先開槍的便宜。
例如，順序是甲、乙、丙，甲一槍幹掉了乙，現在，就論到丙開槍了——盡管槍法不怎麼樣，但這個便宜還是很大的：那意味著他將近一半的機會贏得這次決鬥（畢竟甲也不是百發百中）。如果乙幸運地躲過了甲的攻擊呢？他一定要回擊甲，這樣即使他成功，下一輪還是輪到丙開槍，自然，他的成功概率就更大了。
問題來了：如果三人中首先開槍的是丙，他該怎麼辦？
他可以朝甲開槍，即使打不中，甲也不太可能回擊，畢竟這家夥不是主要威脅，可是萬一他打中了呢？下一輪可就是乙開槍了……
可能你會感到有點奇怪：丙的最佳策略是亂開一槍！隻要他不打中任何人，不破壞這個局麵，他就總是有利可圖的。（當然，你可能會說，鑒於這家夥的沒有準頭，也許他亂開槍反而更可能打中什麼人。但那就是另外的問題了。）
這個故事告訴我們：在多人博弈中，常常會發生一些奇奇怪怪的事情，並導致出人意料的結局。一方能否獲勝，不僅僅取決於他的實力，更取決於實力對比造成的複雜關係。
暫時同盟
你可能已經發現：乙和丙似乎達成了某種默契：在甲被幹掉之前，他們相互不是敵人。
這不難理解，畢竟人總要優先考慮對付最大的威脅，同時這個威脅還為他們找到了共同利益，聯手打倒這個人，他們的生存機會都上升。而且，從悲觀的角度看，他們恐怕也活不到需要相互拚個你死我活的時候。