要完成我們對複雜性理論的理解，還需要另外兩個概念。第一個是複雜係統中極端事件相對於溫和事件的發生頻率，被稱為度分布。第二個是規模的概念。
金融經濟學中使用的鍾形曲線度分布認為溫和事件每時每刻都在發生，而極端事件幾乎永遠不會發生。然而鍾形曲線隻是很多種度分布當中的一種。描述複雜係統中很多事件的度分布被稱為冪次法則。圖2展示的是一條符合冪次法則的曲線。
在這個度分布中，縱軸表示事件的發生頻率，橫軸表示事件的嚴重程度。跟鍾形曲線一樣，極端事件的發生頻率低於溫和事件，這就是為什麼當曲線向右延伸（更為極端的事件）時，曲線向下傾斜（不太頻繁的事件）。但是冪次法則和鍾形曲線之間存在一些關鍵差異。其一是鍾形曲線（見圖1）在靠近縱軸的地方更“胖”，這意味著在鍾形曲線分布中溫和事件發生得更為頻繁，而冪次法則中發生的頻率較低。更重要的是，這種冪次法則曲線永遠不會像鍾形曲線那樣靠近橫軸。曲線的“尾巴”向右延長了很長一段距離，並且始終與橫軸保持分離。這就是著名的“肥尾效應”，與鍾形曲線的尾部對比，它看起來不會與橫軸交叉。這意味著極端事件在冪次法則分布中會更為頻繁地發生。
電視和博客中充斥著對肥尾的討論，盡管這些往往是陳詞濫調，而不是專業的理解。人們對規模的作用更加不甚了解。為了方便起見，圖2所示的曲線結束於某個點，然而理論上它可以向右永遠持續下去，而不會跟橫軸交叉。這種持續性將把可能發生的災難的影響擴大到難以想象的地步，就像10級地震這樣從來沒有過記錄的事件。
尾部的長度是否存在極限呢？是的，在某點上這個肥尾會垂直下降並與橫軸交叉。這個截斷標誌著係統的極限。某個係統中災難的最大規模受限於係統本身的規模。一個例子是某個偏遠島嶼上的一座活火山。火山和小島構成了一個處在臨界狀態的複雜動態係統。火山或許會在幾百年內持續噴發，造成不同程度的破壞。最終火山完全爆發，小島沉入大海，什麼也沒有留下。這個事件相當極端，但是受限於係統的規模——一個小島。災難的影響不能大於它所在的係統。
這是一個好消息。壞消息是人造係統的規模在不斷擴大。電網越來越大，也更加連通，道路係統也得到了發展，互聯網增加了節點和交換機。更糟糕的消息是災難的風險和規模呈指數關係。這意味著如果係統的規模加倍，風險將不隻是加倍，而是增加十倍；如果係統的規模再次加倍，風險則增加百倍；再次加倍則風險呈千倍增加，依此類推。
金融市場是無可匹敵的複雜係統，數百萬的交易者、投資者和投機者是自主的主體。這些主體在各自的資源、傾向和風險偏好方麵具有多樣性，他們構成了牛市和熊市、多頭和空頭。一些人會拿數十億美元去冒風險，而其他人可能隻有幾百塊。這些主體緊密相連。他們在交易所、經紀人、自動執行係統和信息流構成的網絡中進行交易和投資。
相互依賴也是市場的特點之一。當次貸危機在2007年8月初襲來時，東京股市急劇下跌。日本的一些分析家們最初很疑惑為什麼美國抵押貸款危機會影響日本股市。原因在於日本股市具有流動性，可以通過出售來籌集資金，應對美國住房抵押貸款倉位追加保證金的要求。這種金融蔓延是報複性的相互依賴。
最後，交易商和投資者必須具備適應性。他們觀察交易流向和群體反應，通過信息服務、電視、市場價格、聊天室、社會媒體和麵談持續進行了解，從而作出反應。
資本和貨幣市場表現出複雜係統的其他特征。湧現性可在技術分析專家所鍾愛的反複出現的價格模式中看到。波峰和波穀、“雙頂”、“頭肩”和其他技術圖表模式是整個複雜係統湧現性的例子。相變——快速極端的變化——市場泡沫和崩潰的形式呈現。
把資本市場當做複雜係統進行研究的大量工作還隻是理論上的。然而存在較強的經驗性證據，首先由伯努瓦·曼德勃羅提出，表明某個市場的價格幅度和頻率表現出冪次法則的度分布。曼德勃羅表明，這些價格移動的時間序列圖形展現出他所謂的“分形維數”。一個分形維數是一個大於1而小於2的維度，用11/2這樣的分數表示；“分形”僅是“分數”的簡稱。一條直線有一個維度（長度），一個正方形有兩個維度（長度和寬度），而11/2的分形維數介於其間。
一個熟悉的例子是報紙和財經網站上無處不在的股市圖表。圖表本身不止一條線（它有數以百計的小線條），但卻比一個完整正方形要少（線段之間有很多未填充的空間）。因此它具有介於1和2之間的分形維數。股價起伏的不規則模式是一種湧現性，而一場暴跌則是一個相變。
不管圖表是否被放大來包含幾小時、幾天、幾個月還是幾年的數據，類似的分形模式總會出現，而且在觀察貨幣、債券及衍生產品市場的其他圖表時也會得到同樣的結果。這些圖表顯示了價格走勢，也就是風險，按照冪次法則分布，而且各種圖表模式的分形維數遠大於1.0。這些特點與普通的風險分布不符，而與複雜係統中事件的冪次法則分布相一致。盡管需要在這個領域進行更多的工作，迄今為止把資本市場理解為符合冪次法則度分布的複雜係統的做法令人注目。這就把分析帶回規模的問題。
貨幣和資本市場的規模如何，並且將如何影響風險？如果災難性崩潰是規模的指數函數，那麼規模的每次增加都將導致風險更大規模的增加。資本市場規模的持續擴大，就是黑天鵝的數量和強度不斷增加的原因。
考慮資本市場今天的規模，就像在英尺、碼或米被發明以前嚐試測量一塊地的尺寸。還沒有普遍承認的度量標準可以用來通過複雜性和臨界狀態動力學計算市場風險。這種缺失並非沒有先例。地震在整個曆史上都廣為人知，然而用來測量地震強度和頻率的裏氏震級到1935年才被發明出來。地震是複雜的構造板塊係統的相變，它們經由裏氏測量儀測量得出的強度和頻度也與冪次法則保持一致。股市圖表與地震儀讀數（圖3）的相似性不是巧合。
實證工作需要一段時間才能跟上這一領域的理論工作。然而，諾貝爾經濟學獎可能在等待那些發現了最佳規模度量和精確計算冪次曲線斜率的人。但是從這項理論中得出合理結論，並不需要等待這些工作的完成。即使在發明裏氏震級之前，把建築建造在一個已知斷層上也是個壞主意。在資本市場忽略複雜性和冪次法則也是個壞主意——即使經驗上並不完善——資本主義的大廈可能在此期間倒塌。
即便現在也可以對資本和貨幣市場的風險統計特性作出有價值的推論。毫無疑問，無論被如何良好地度量，這些市場的規模在過去10年間都有大幅增加。一係列的交易所合並創造了全球性巨型交易所。放鬆管製允許商業銀行和投資銀行采取聯合行動。表外活動和分離的管道投資工具創建了與可見係統一樣大的影子銀行體係。2000年6月至2007年6月，在市場開始崩潰的前夕，場外外彙交易衍生品從15.7萬億美元增加到57.6萬億美元，增加了367％。同期場外利率衍生品從64.7萬億美元升至381.4萬億美元，增加了589％。場外股權衍生品在同樣的7年之間從1.9萬億美元升至9.5萬億美元，增長了503％。
在華爾街一貫的風險評估方法中，這些增加並不令人擔憂。因為它們包括多頭頭寸和空頭頭寸，在風險價值方法中這些金額彼此估算淨值。對於華爾街來說，風險總是存在於淨頭寸。如果某個證券有10億美元的多頭，而另一隻高度相似的證券有10億美元的空頭，風險價值方法就會把空頭從多頭中減去，從而推斷出風險相當低，有時近乎為零。
使用複雜性分析，看法會完全不同。在複雜係統分析中，空頭不會從多頭減去，而是相加。每一美元的名義價值都代表了係統內主體之間的某種聯係，都創建了某種相互依賴。如果合約方違約，某家銀行起初的淨頭寸馬上變成總頭寸，因為“對衝”已經消失了。從根本上說，風險存在於總頭寸，而不是淨頭寸。當總頭寸增加500％時，由於係統規模和災難性事件的規模之間的指數關係，理論風險會增加5000％甚至更多。
這就是為什麼金融體係在2008年崩潰得如此壯觀。次級貸款就像引發雪崩的雪花。實際的次貸損失仍低於3000億美元，與恐慌所帶來的整體損失相比要小得多。不過當雪崩開始時，係統被橫掃，整個銀行係統處在風險之中。把衍生品和其他票據計算在內，總損失超過6萬億美元，比抵押貸款蒙受的實際損失高出一個數量級。沒能對臨界狀態動力學和規模度量加以考慮，解釋了監管機構為什麼“沒有看到它的到來”，以及銀行家為什麼不斷地驚訝於問題的嚴重性。監管者和銀行家那時使用了錯誤的工具和錯誤的度量。不幸的是，他們現在依然如此。
當一個自然係統達到臨界點，並通過相變而崩潰時，它會經曆一個精簡的過程，結果是大大降低係統規模，也減少了發生另一場極端事件的風險。所有的人造複雜係統卻不是這樣。以救援和印鈔等形式進行的政府幹預，可以暫時阻止失敗的擴散，然而並不能讓風險消失。風險潛伏在係統中，等待下一個帶來不穩定的事件。
要解決係統成長到極大規模而帶來的風險，方案之一是讓係統變小，這被稱為縮小比例。這就是為什麼山坡滑雪巡邏隊在當天的滑雪開始前向不穩定的斜坡上投擲炸藥，這是通過減少積雪的數量來減少雪崩的危險。今天的全球金融正在發生相反的情況——央行的金融巡邏隊正往山上堆積更多的雪。當前的金融體係比2007年市場崩潰的前夕規模更大，也更為集中。
除了縮減全球金融的規模，複雜性風險的另一個解決方案是維持係統現有規模，通過禁止任何部分過分成長來讓這個係統更加健壯。對銀行業來說就是擁有更多規模較小的銀行，係統總資產保持不變。現在的摩根大通幾年以前還以四家獨立的銀行存在：J·P·摩根、大通銀行、漢華銀行和化學銀行。今天如果實行分拆，金融體係會更加強健。然而，與2008年相比現在美國的銀行規模更大，其衍生品業務也更為龐大。這讓一場比2008年的崩潰規模更大的崩潰不僅成為可能，而且是一個必然。然而，下一次將會真的不同。基於理論上的規模度量，下一場崩潰不會因為政府幹預而止步，因為它的規模遠超政府。5米高的海堤將會麵臨高達10米的海嘯，堤壩將會崩潰。
複雜性、能量和金錢
如果不能很快阻止印鈔和債務增加，那麼同時使用行為理論和複雜性理論的工具則會讓人清楚地看到貨幣戰爭將如何演變。貨幣戰爭的進程將包括美元的一係列勝利，以及之後的一次決定性潰敗。這些勝利，至少美聯儲認為是勝利，將通過銀根鬆動帶來的通貨膨脹促使其他國家對各自貨幣進行重新估值而實現。其結果將是美元極大貶值，這恰恰是美聯儲所期望的。而取代美元作為儲備貨幣的全球性政治共識，以及共同放棄美元的個人共識，則終將導致美元的崩潰。
當美元的崩潰來臨時，它將采取兩種方式：首先是逐步的，然後是突然的。這個模式由於被海明威用來描述一個人如何破產而廣為人知，是對複雜係統中臨界狀態動性的恰當描述。漸進的部分是幹擾一個小雪堆的雪花，而突然的部分則是雪崩。哪一片雪花引發雪崩是隨機的，但雪崩是不可避免的。這兩個概念很容易掌握，難以掌握的是發生隨機事件的係統的臨界狀態。
就貨幣戰爭而言，這個係統是主要基於美元的國際金融體係。所有其他市場——股票、債券和衍生品——都建立在這個市場的基礎之上，因為它規定了這些資產本身的美元價值。因此當美元最終崩潰時，所有的金融活動將隨之崩潰。
如果美國民眾能夠保持對美元的信心，外國投資者或許仍會對美元抱有信心。另一方麵，美國民眾對美元信心的喪失會招致全球性信心的喪失。一個簡單的模型將說明對美元信心的些微喪失，無論是出於何種原因，都能導致信心的徹底崩潰。
首先把美國的人口看做一個係統。為了方便起見，這裏的人口數量設定為311001000人，非常接近實際值。人口按照個人臨界值進行劃分，在這個模型中被稱為T值。係統中個人的關鍵臨界值T代表了必須有這麼多的人對美元失去信心，才能讓這個人失去信心。這個T值是一個度量，考察個體是對變化的第一個潛在信號作出反應，還是等到一個進程處於極晚期之後才進行響應。這是一個個體臨界點，不同的行為者會擁有不同的臨界點。這就像是在問必須有多少個人從一個擁擠的劇院裏逃跑出來，才能促使下一個人決定開始逃跑。有些人會在看到麻煩的首個跡象後就開跑。其他人會緊張地坐著，直到大部分觀眾已經跑起來才開始行動。還有人會最後一個離開劇院。係統中有多少個行為者，就會有多少臨界閾值。
T值被分成五個區間，來顯示一組對另一組的潛在影響。
在我們的例子中，首先考慮一下如果有100個人突然拒絕接受美元，會發生什麼事情。拒絕接受表示個人拒絕美元作為交換介質、價值存儲、定價的可靠方式等傳統職能以及執行其他的計算功能。這100人將不願意持有美元，並會把獲得的任何美元不斷地轉換為硬資產，比如貴金屬、土地、建築和藝術品。他們不指望在未來把這些硬資產再兌換成美元，隻關注這些資產的內在價值。他們會回避美元計價的紙麵資產，例如股票、債券和銀行存款。
在這個例子中，100人拒絕接受美元的後果是什麼也不會發生。這是因為係統中任何一組人群的最低臨界閥值是T=500，這意味著隻有當500或更多的人拒絕接受美元時，才能讓第一組也拒絕接受美元。在我們假設的例子中，由於隻有100人拒絕接受美元，最敏感分組的閥值T=500沒有被觸及，該分組作為整體並不受這100人行為的影響。由於其他分組的T值高於500，他們的行為也不會受到影響。沒有臨界閥值被觸發。這是一個隨機事件在係統中逐漸消失的例子。最初發生了一些事情，然而沒有因此而引發別的事情。如果最初拒絕接受美元的最大群體人數被固定在100，這個係統被認為是次臨界的，表示不容易受到拒絕接受美元的連鎖反應的衝擊。
跟第一種情況一樣，當同樣的100名民眾拒絕接受美元時，現在會發生什麼？在第二種情況下，100人拒絕接受美元會觸發千人分組的臨界閥值，這1000人現在也拒絕接受美元——這就像有更多的人從電影院跑了出來。現在這1000人對美元新的排斥觸發了下一個百萬人群的臨界閥值，他們也拒絕接受美元了。現在有100萬人拒絕美元，下一個10萬人閥值被輕鬆跨過，又有1000萬人拒絕美元了。崩潰此時已勢不可當。當1000萬人拒絕接受美元時，另外1億人又加入進來，此後不久剩下的兩億人也一起拒絕接受美元——整個美國民眾對美元的排斥業已完成。美元作為貨幣單位在國內外都已崩潰。這第二個係統被稱為超臨界係統，已經災難性地崩潰了。
這裏有一些重要的注意事項。這些閥值都是假設的，T的實際值是未知的，而且可能是不可知的。T值被分成五組是為了方便起見。在現實世界中，將有數百萬的獨立臨界閥值，因此現實情況比這裏顯示的要複雜得多。崩潰過程或許不會從一個閥值立即跳到另一個閥值，而是由於信息的緩慢傳播以及各不相同的反應時間，隨著時間逐步觸發。
然而這些注意事項並未有損於主要觀點，那就是初始條件的細微變化可以導致災難性的不同後果。在第一種情況下，對於最初100人拒絕接受美元沒有產生任何反應，而在第二個例子中整個係統崩潰了。然而催化劑是一樣的，那就是99.7％人口的喜好。占總人口0.3％的人群偏好的小改變，就足以讓結果從平安無事變為徹底崩潰。在幾乎沒有發生係統性變化的情況下，這個係統從次臨界狀態變成超臨界狀態。