（５）要防止形式主義的談話。運用談話法教學時，所提問題過於簡單，學生即刻回答，無助於思考；所提問題過於複雜，會使學生無從下手，教師改為自行講述，代為作答。這些形式主義的談話都應盡量避免。
（６）要掌握好時間。運用談話法時，容易耽誤時間，影響教學計劃的完成。
教師應當掌握好時間。當遇到學生難於回答時，不要一直問下去，應考慮自己所提問題是否循序漸進，是否應補充問題以啟發引導。
３．練習法練習法是指在教師指導下，通過學生獨立作業來掌握基礎知識和基本技能的一種教學方法。適用於解答習題，也可用來學習新知識。用於學習新知識時，首先應給學生一定的時間閱讀教材，然後在教師的指導下，讓學生進行討論、練習、總結等。練習法的優點是充分體現了教師為主導、學生為主體的教學原則，可以培養學生獨立研究的能力，有利於促進學生的思維。缺點是費時較多不易麵麵俱到。練習法的基本要求是：（１）教師不要直接去講解教材，而是引導學生自己去閱讀教材、發現問題、論證定理和公式。
（２）教師事先準備好由易到難、適合學生情況的一批練習題。同時這樣的練習題應有明確的訓練目的和要求，且形式多樣，在教師的指導下讓學生獨立完成。
（３）教師做好個別學生的輔導工作，對多數學生不明了的要適當進行提示，對帶普遍性的錯誤應及時糾正，最後由教師進行必要的總結。
４．講練結合法這是在教師的指導下，通過講與練的有機結合，引導學生學習新知識，複習鞏固舊知識，培養技能、技巧和基本能力的教學方法。運用這種方法，可從實際出發，采取講為主，適當練；也可采取練為主，適當講；還可采取邊講邊練、講講練練的靈活方式。但不管采取什麼方式，講與練是互相聯係又互相製約的。講是練的基礎和前提，練是講的深入發展。二者應該有機結合，努力做到以講帶·８４·第三章數學教學基本知識練，以練促講，推動教與學雙邊活動的開展，使學生學得生動、主動、紮實。講練結合教學法是當前中學數學教學中應用最為普遍的一種方法。它的優點是能夠充分發揮教師與學生兩個方麵的積極性，使學生既能集中注意力聽講，又能通過練習對剛學過的知識予以消化鞏固。而且雙方都能從對方及時獲得反饋信息，以便對教學作出必要的調整，彌補不足或薄弱環節。缺點是難以預料在練習中出現的各種各樣情況，對教師的應變能力和駕馭課堂的能力提出了更高的要求。講練結合法的基本要求是：（１）講解必須詳略得當，主次分明。對教材的重點、難點、關鍵和容易疏忽、混淆的內容應當詳講，而對次要的或較簡單的內容應略講或不講。
（２）練習必須緊扣“雙基”，形式多樣。練習是理論應用於實踐的一種必要的形式，應注意目的性、多樣性、層次性。從基本概念的理解、基礎知識的掌握、基本技能的訓練、基本能力的培養等，都要精心設計。題目的類型，除有基本題外，還要有靈活的、綜合性的訓練題，包括一些實際應用的題目。在練習中，教師應加強指導，發現概念性或普遍性的錯誤，及時講評指正。
（３）講和練要密切配合，目的明確，計劃周全。不論是先講後練還是先練後講、邊練邊講，都要有明確的目的，周密的計劃。講和練所占的比例按實際教學需要而定，避免盲目性和隨意性。
５．教具（課件）演示法教具（課件）演示法是指利用直觀教具（多媒體）來進行教學的一種教學方法。它包括實物演示、模型演示或課件播放。由於有些數學概念很抽象，僅憑口頭講解和圖形直觀難以使學生透徹理解其實際意義，這時借助於教具，把抽象概念與實物或模型結合起來，常常可以激發學生學習的興趣，集中學生的注意力，使抽象概念具體化、形象化，往往會取得較好的效果。如立體幾何中的某些問題通過教具（課件）的演示，有利於學生形成空間想象能力。隨著教學手段的現代化、電教化，這一傳統的教學方法已獲得新的含義，並且其應用有逐漸擴大的趨勢。運用教具（課件）演示法的基本要求是：（１）教師應事先及早地準備好教具（課件）。
（２）教具（課件）演示的時間要適當，不要過早出現，以免分散學生的注意力。使用時麵向全體學生，注意演示效果。
（３）要積極指導學生自製教具（課件）。
（４）教具（課件）演示要與講解相結合，注意培養學生的觀察力、想象力，使感性認識上升到理性認識，充分發揮教具（課件）的重點演示作用。
·８５·數學教學論導引這裏要特別提醒有關電腦輔助教學問題。多媒體的出現、網絡技術的運用，信息時代的到來，正在給教育帶來深刻的變化。多媒體電腦是融圖、文、聲於一體的認識工具，改善了認識環境，人們已經意識到，如同醫療設備更新了醫療手段、醫療方法一樣，以電腦為核心的新教育技術的運用更新了教學手段、教學方法、教學模式，這將使得人們關於教育、教學的傳統觀念受到衝擊，甚至將會導致教學內容、教育思想、教學理論、教學體製的變革。如何在先進教育理論的指導下，充分認識中學數學教學的需要，發揮電腦的作用，促進數學教學改革的深入，正引起人們越來越多的關注，電腦輔助中學數學教學已經普遍被接受，有關它的研究也正在日益興起。從較多的課件和一些電腦輔助教學的課來看，不能否認，一些課件、一些電腦輔助教學課還是很成功的，但是，為“公開課”而使用電腦，為評比而使用電腦，這些現象普遍存在，在電腦輔助教學這一實踐中明顯存在誤區，應該引起足夠的思考或重視。根據當前實際情況來看，電腦輔助教學中出現的一些偏差或誤區主要表現在如下幾個方麵：第一、不恰當地追求“多媒體”，忽視其對教學的幹擾；第二、追求課件的“外在美”，忽視課件的“內在美”；第三、重視電腦媒體的運用，忽視其他媒體的運用；第四、重視演示現象、說明問題、傳授知識，忽視揭示過程、培養能力；第五、重視形象思維，忽視抽象思維；第六、重視教師的“教”法，忽視學生的“學”法；第七、重視課內，忽視課外；第八、把“是否使用了電腦”作為“好課”評比的必要條件之一。
最後，還應當強調和說明幾點。首先，教學方法是為教學目標和任務服務的，它是為了達到教學目標，完成教學任務所采取的教學方式和手段。教學有法，教無定法。因此，教學方法的選擇和運用，要能最有效地實現教學目標，完成教學任務。其次，不論運用哪種教學方法，都要貫徹啟發性原則，都要注意調動學生的學習積極性、主動性，啟發學生積極思維。最後，要重視學生學習方法的研究，每一種教法都和相應的學法互相聯係、相輔相成，統一在一個教學過程中，要重視對學生學法的指導。
6N１．數學教學過程的本質是什麼？
２．什麼是數學教學模式，有什麼特點？常見的數學教學模式有哪些？
３．有哪些常見的教學方法？談談你對“教學有法、教無定法”的理解。
·８６·第四章數學學習的基本知識數學學習理論是數學教育學的重要組成部分，它以學生的數學學習作為研究對象，揭示其自身的性質、特點、過程和規律。學生的學習是在學校教育的條件下，以教材為中介進行的。所以我們首先介紹數學教育與數學學習的關係，然後指出數學學習的主要內容。
第一節數學教育與數學學習數學教學活動是師生雙邊的活動，它以數學教材為中介，通過教師教的活動和學生學的活動的相互作用，使學生獲得數學知識、技能和能力，發展個性品質和形成良好的學習態度。這就是說，數學教育目標的實現，最後體現在學生身上，並且要通過學生的活動才能達到。教學活動中，學生處於學習的主體地位，當教材、教學手段和教學方法符合學生“學的規律”時，才能發揮高效率，產生最佳效果。因此，在數學教育中，數學學習規律的研究處於基礎的地位。
為了培養數學人才、普及數學，許多數學家和數學教育家曆來都十分重視研究學生的數學學習，探索數學學習的規律。我國南宋末年的數學教育家楊輝，在《乘除通變本末》一書的上卷中有“習算綱目”一節，提出了他的數學教育主張，同時還提到“循序漸進與熟讀精思的學習方法”，指出了如何學習數學，怎樣培養學習者自覺的計算能力等，這是他研究數學學習方麵的重要成果。我國現代數學家華羅庚，結合自己自學數學的豐富經驗，多次作講演寫文章向青少年談如何學習數學，指導大、中學生和研究生進行數學學習與數學研究，從中揭示了數學學習的重要規律。美籍匈牙利數學家Ｇ·波利亞提出學習（數學）三原則，注重學生的學習過程，強調“猜測”、“發現”在數學學習中的重要性，認為“教師應當了解學習的方法和途徑”。
數學學習所要解決的根本問題，是探索在學校教育的條件下，學生的數學知識、技能和能力是怎樣獲得的，其中有什麼規律。科學家錢學森說：“教育科學中最難的問題，也是最核心的問題是教育科學的基礎理論，即人的知識和應用知識的智力是怎樣獲得的，有什麼規律，解決了這個核心問題，教育科學的其·８７·數學教學論導引他學問和教育工作的其他部門都有了基礎，有了依據。”這一精辟的論述也完全適合於數學教育的情形，即數學教育中最核心的問題，是學生的數學知識、能力是怎樣獲得的，有什麼規律。實際上，這就是數學學習論所要解決的根本問題，它反映了數學教育科學要以數學學習理論為基礎，同時要求我們在進行數學教育及其研究時，不能離開學生的數學學習這一主體活動的基本規律。
探索數學學習，主要在於揭示數學學習過程的心理規律，並符合學生的心理發展。由於不同年齡階段數學學習的心理過程存在著很大差異，這就要求數學教材的編寫與教學方法的運用要適應學生的年齡特征，並促進學生的心理發展。Ｆ·克萊茵提出“教材的選擇、排列，應適應於學生心理的自然發展”，也充分說明了課程設置，教材編寫應以數學學習理論為基礎，要體現學生數學學習的規律等。
數學學習的心理過程，不僅是一個認識過程，而且還交織著情感、意誌過程以及個性心理特征等，這就為數學教育提供了廣泛的內容。現在人們在數學教育中，重視對學生非智力因素和態度、精神的培養，不能不說與此有關。因此，對數學學習的研究，將會影響數學教育及其研究的廣度與深度，直接關係到數學教育的效果。
當今數學教育，已不僅僅局限於研究數學的教，而且還研究數學的學與數學課程等。就研究數學的教和學以及課程而論，也已突破自身的範圍，注意吸收和運用心理科學、教育科學等相關學科的有關理論，從多個方麵、不同的角度對它們進行探討。在數學教育研究蓬勃向前發展的今天，作為基礎的數學學習理論，已越來越被人們所重視，研究已逐漸走向深入，這無疑有助於提高我國數學教育及其研究的水平。
第二節數學學習的特點和類型一、學生的學習活動關於學習既有廣義的定義，又有狹義的定義。現代心理學家一般認為，學習是個廣泛概念，它是有機體憑借經驗的獲得而產生的比較持久的行為變化。這裏所謂的行為，包括思維、想象、記憶、感知等內部心理活動和言語、表情、動作等外部活動。這就是普通心理學關於廣義的學習的定義。如果從教育心理學角度看，則學習是指學生在教師指導下，有目的、有計劃、有組織、有步驟地進行的獲得知識、形成技能、培養能力、發展個性的過程。這是狹義的·８８·第四章數學學習的基本知識學習的定義。
學生的學習活動有如下一些特征：（１）學生的學習以學習基礎知識、基本技能為主，尤其是中、小學生的學習，主要是掌握最基本的知識和技能。其目的不在於直接創造社會價值，而在於為將來進一步學習或參加生產勞動奠定知識基礎，同時也要培養自己的態度和能力。因此學生必須接受係統的、嚴格的基礎知識的學習和基本技能的訓練。
（２）學生的學習在於獲得人類現成的知識。學生在學習過程中采用的“發現法”，隻能是一種再發現，而這個再發現與人類的發現是不完全相同的，它經過了教學法的加工。這是因為對於學生來說，並不需要也不可能完全重複前人的發現經曆，而隻是部分體驗前人的發現過程，以提高自己的能力。
（３）學生的學習是在教師的指導下進行的，它一方麵體現學生的學習是有計劃、有目的的，另一方麵可避免學習中走不必要的彎路，可節省大量時間，提高學習效率。
（４）學生學習的內容主要體現在教材中，教材不僅反映了學習的要求和程序，而且它已經過教學法的某些加工，適宜於學生學習。所以學習是依據教材進行的。
二、數學學習的特點數學學習是根據教學計劃進行的，它是一個在教師的指導下獲得數學知識、技能和能力，發展個性品質的過程。
由於數學具有其自身的特點，所以數學學習不僅具有一般學習的特點，而且還有自身突出的特點：（１）嚴謹推理特點。數學具有邏輯的嚴謹性，它用完善的形式表現出來，呈現在學生麵前，而略去了它發現的曲折過程，因此給學生的“再創造”學習帶來困難。數學教材往往是以演繹係統展開的，學習它需要有較強的邏輯推理能力。所以學生學習時要思考知識的發生過程，掌握推理論證方法等。
（２）抽象概括特點。因為數學是高度抽象概括的理論，它比其他學科的知識更抽象、更概括，而且數學中使用了形式化、符號化的語言，因此數學學習更需要積極思考、深入理解，需要較強的抽象概括能力。
（３）啟發引導特點。因為數學學習與其說是學習數學知識，倒不如說是學習數學思維活動，所以數學學習中教師對學生思維的啟發與引導更為重要。
·８９·數學教學論導引三、數學學習的類型關於學習的分類，在學習心理學中存在著各種不同的方法。例如，布魯納按學習目標將學習分成六類：知識學習、理解學習、應用學習、分析學習、綜合學習和評價學習；奧蘇伯爾從認知過程出發，把學習分成三類：符號學習、概念學習和命題學習；加涅根據學習水平的高低以及學習內容的複雜程度，把學習分成八類：信號學習、刺激反應學習、連鎖學習、言語聯係學習、辨別學習、概念學習、原理學習、問題解決學習。國內有的學者從學生不同的智力特點出發，將學習分成三類：知識學習、技能學習和問題解決學習。也有的書上，從學校教育實際出發，依據學習的內容和結果，將學習劃分為：知識的學習、動作技能的學習、智慧技能的學習、社會行為規範的學習。由此可見，出發點不同，學習就可以分成各種類型。
對數學學習進行分類是必要的，通過分類，能搞清楚影響數學學習的因素，能揭示出數學學習過程的心理因素，掌握學生學習的一般規律，以利於教師指導學生學習。
數學學習是一種特殊的學習。如果根據學習的深度，則可把數學學習分為機械學習和有意義學習；如果根據學習的方式，則可把數學學習分為接受學習和發現學習；如果相互配合，則可出現多種學習形式。數學學習，若按其內容來分，則可分為數學知識的學習、數學技能的學習和數學問題解決的學習等。這裏著重討論機械學習和有意義學習，接受學習和發現學習兩種類型。
１．機械學習與有意義學習學生學習數學，主要是掌握前人積累的數學知識，而這些知識是用語言文字符號和數學符號來表示的。學生隻有經過積極思考，正確理解這些符號所代表的數學內容，才能將其轉化為自身的精神財富。倘若學生在學習時，不理解一些符號所表示的意義或方法，僅僅記住這些符號的組合或詞句，例如，隻記住了“絕對值”這個詞或“｜犪｜”這個符號，並不理解它的涵義，那麼這種學習就是所謂的機械學習。但如果經過思考，理解了由符號所代表的數學內容和方法，並能融會貫通，那麼這種學習就是所謂的有意義學習。所以根據學習的深度，可把學習分為機械學習和有意義學習兩類。
因為數學知識具有邏輯性、係統性，並具有豐富的思想方法，所以數學學習基本上是有意義學習。當然，在數學學習中，也不排斥機械學習，某些情況下還是需要的。為了幫助學生記憶，可以運用“口訣”或“圖表”。例如，對同角三角·９０·第四章數學學習的基本知識函數的基本關係式，就可讓學生利用圖４１所示的“正六邊形”來記憶。又如，講完了誘導公式後，可讓學sinαcosα生讀記：“奇變偶不變，符號看象限”，幫助學生記憶。
但是，必須注意，上述這些幫助記憶的方法，隻能是輔tanαcotα助性的，是在意義學習以後為提高記憶效率而采用的熟記法，切不可用來代替有意義學習，因為這些方法隻secαcscα有助於“記”，而不能表明各個結果是如何推導出來的，圖４１也不能概括這些結果的意義。
有意義學習要靠理解。這裏所講的理解，是指符號所代表的新知識與學生頭腦中已有的適當知識（概念、原理、公式、定理等）建立了非人為的（非任意的）和實質性的（非字麵的）聯係。這裏所謂非人為的聯係，就是符號所代表的新知識同原來知識的聯係。例如，要使算術根概念的學習成為有意義的學習，就要把算術根概念與非負實數概念、開方概念、方根概念、絕對值概念等建立聯係。
所謂實質性聯係，指用不同語言或其他符號表達的同一認知內容的聯係。例如，同一個等腰三角形犃犅犆“底邊犅犆上的高”、“底邊犅犆上的中線”、“頂角∠犅犃犆的平分線”就有實質性的聯係。再如，“求把四個相同的球任意投入三個不同的盒子裏（且允許有空盒）的方法有多少種？”與“求不定方程狓１＋狓２＋狓３＝４的非負整數解的個數”以及“求三元四次齊次完全多項式的項數”這三個問題也有實質聯係。
學習新知識要與原有認知結構建立聯係。那麼，什麼是認知結構呢？所謂認知結構就是學習者頭腦裏的知識結構和認識結構的統一，它是從教科書以及課堂教學的知識結構轉化而來的。而“所謂數學認知結構，就是學習者頭腦裏的數學知識按照自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點組合成的知識結構”。一個學生在學習數學時，都以原有的數學認知結構為依據，將新知識進行加工，如果新知識與原有的數學認知結構中適當的知識相聯係，那麼通過新舊知識的相互作用，新知識就被納入原有的數學認知結構，從而擴大了它的內容，這一過程稱為同化。如果新知識在原有的數學認知結構中沒有適當的知識與它聯係，那麼就要對原有的數學認知結構進行改組或部分改組，進而形成新的數學認知結構，並把新的知識接納進去，這個過程叫做順應。例如，學習用配方法解一元二次方程時，經曆的就是同化過程：學生借助於原有的數學認知結構中的適當知識（如完全平方公式、方程同解原理和直接開平方法解一元二次方程等）進行加工，領會了配方法，並把它納入原有的數學認知結構，增加了解一元二次方程的方·９１·數學教學論導引法，同時為以後學習“公式法”等做好準備。再如，初一學生開始學習代數，可以說是通過順應來學習的。由於算術和代數的不一致性，在學生的算術認知結構中就沒有適當的知識可用來加工新知識，所以隻有改造算術認知結構，通過字母表示數等的學習形成新的數學認知結構，以逐漸適應代數學習。
如果說數學學習是數學認知結構的建立、擴大或重新組織的話，那麼同化就是改造新的學習內容使之與原有認知結構相吻合，順應則是改造原有的認知結構，以適應新學習內容的需要。有意義數學學習過程，即為數學學習的同化與順應的過程。一般說來，學生學習數學，需要在原有認知結構中有適當的知識可用來加工新知識，並且能積極主動地進行一係列分析、綜合的思維活動，以期獲得新知識，並加深對舊知識的認識。
２．接受學習與發現學習機械學習與有意義學習是根據學習的深度來區分的。如果根據學習的方式來分，學生的學習又可分為接受學習和發現學習兩類。接受學習，指學習的全部內容是以定論的形式呈現給學習者的一種學習方式。即把問題的條件、結論以及推導過程等都敘述清楚，不需學生獨立發現，隻要他們積極主動地與已有數學認知結構中適當的知識相聯係，進行思維加工，然後與原有知識融為一體，以備進一步學習和應用之需。發現學習的主要特征是，不把學習的主要內容提供給學生，它必須由學生獨立發現，包括揭示問題的隱蔽關係，發現結論和推導方法。當然這要對提供信息進行分解和重新組合，使它與已有的認知結構中的適當知識相聯係等。例如，利用割補、測量等方法，讓學生去發現關於三角形內角和命題的學習，就是一種發現學習。
發現學習顯然比接受學習複雜得多，所花的時間比較多。一般地說，學生的數學知識，大量是通過接受學習獲得的，而各種數學問題的解決，則往往通過發現學習來實現。
四、數學學習的四個階段根據認知學習理論，數學學習的過程乃是新的學習內容與學生原有的數學認知結構相互作用，形成新的數學認知結構的過程。依據認知結構的變化，數學學習的過程可以分為四個階段：輸入階段、相互作用階段、操作階段和輸出階段。
１．輸入階段所謂輸入，實質上就是創設學習情境，給學生提供新的學習內容。在這一·９２·第四章數學學習的基本知識學習情境中，學生原有的數學認知結構與新學習的內容之間發生認知衝突，使學習者在心理上產生學習新知的需要（即“心向”）。
２．相互作用階段新學習的內容輸入以後，學生原有的數學認知結構與新學習的內容之間相互作用，數學學習就進入相互作用階段。這種相互作用，有同化和順應兩種基本的形式。所謂同化，就是把新學習的內容納入到原數學認知結構中去，從而擴大原有認知結構的過程。所謂順應，就是當原有認知結構不能接納新的學習內容時，必須改造原有的認知結構，以適應新學習內容的過程。相互作用階段的結果是產生了新的數學認知結構的雛形。
３．操作階段操作階段實質上是在第二階段產生新的數學認知結構雛形的基礎上，通過練習等活動，使新學習的知識得到鞏固，從而初步形成新的數學認知結構的過程。通過這一階段的學習，學生學到了一定的技能，使新學習的知識與原有的認知結構之間產生較為密切的聯係。
４．輸出階段這一階段基於第三階段，通過解決數學問題，使初步形成的新的數學認知結構臻於完善，最終形成新的良好的數學認知結構，學生的能力得到發展，從而達到數學學習的預期目標。
數學學習的一般認知過程如圖４２所示。
圖４２以上四個階段是密切聯係的，任一階段的學習出了問題，都會影響數學學習的質量。無論數學新內容的接受還是納入，都取決於學生原有的數學認知結構。因此，學生已有的數學認知結構總是學習新數學內容的基礎。要順利完成以上四個階段的任務，數學教師首先要考慮學生已知了什麼，掌握到何種程度；然後考慮數學教學內容的難易程度、呈現序列等問題，確保學生原有認知結構與新的數學知識相互作用。並且，數學教師還要注意做好數學認知學習的決策·９３·數學教學論導引分析，包括認知目標分析、認知起點測定、認知過程診斷和認知結果評定。
第二節數學學習的“建構學說”先從兩個實例談起。成年人都具有“物體常存性”的認識，即客體超出我們的視線時仍然是存在的，然而對非常幼小的兒童來說，“看不見的東西就不存在”才是他們對於現實的一個“精確”描述。另一個例子涉及“體積的守恒性”，成年人都知道當液體由一個容器倒入另一容器時體積保持不變，但當同樣容量的水從一個玻璃杯倒入另一個不同形狀的玻璃杯時，孩子們會認定液體表麵層較高的玻璃杯中有較多的水。由此得出的結論是：盡管兒童與我們所看到的現象是同樣的，但卻作出不同的結論。以上實驗告訴我們，我們對於客觀世界的認識依賴於自身的“解釋結構”（認知結構），從而，在這樣的意義上，認識就是一種建構的活動。
瑞士心理學家、哲學家皮亞傑從認識的發生和發展的角度對兒童心理學進行了係統、深入的研究，從而對兒童心理學的現代發展產生了十分重要的影響。
同時，皮亞傑還明確地提出了認識是一種以已有知識和經驗為基礎的主動的建構活動的觀點，從而不僅被看成是現代建構主義的主要代表人物之一，也為心理學研究與哲學研究、特別是認識論研究的密切結合提供了一個範例。皮亞傑提到了兩種不同的建構，即所謂的“同化”和“順應”。按照皮亞傑的觀點，對客體的認識是一個“同化”的過程，即如何把對象納入（整合）到已有的認識框架（認知結構）之中；也隻有借助於所說的同化過程，客體才獲得了真正的意義。
從而，認識就並非是思維對於外部事物或現象的簡單的、被動的反映，恰恰相反，這事實上是一個建構的過程。與此同時，認識框架本身也有一個不斷發展或建構的過程，特別是，在已有的認知結構無法“容納”新的對象的情況下，主體就必須對已有的認知結構進行變革以使其與客體相適應，這就是所謂的“順應”。皮亞傑提出，數學的認知並非是關於物質對象本身，而是關係到人類施加於物質對象之上的活動，因而是一種活動和反省抽象的過程。例如，次序的觀念並非是從對象中抽象出來的，而是依賴於排序的行動，因而這是一種能動的建構過程。而數學認識的發展一方麵是反省抽象的直接結果，另一方麵也是人類的“自我調節”，即內在的數學結構與外部環境的相互作用。最基本的內在結構是“圖式”（是人腦中已有的知識經驗的網絡），它包含了活動的一般化的特征，而反省抽象起的就是“圖式化”的作用，皮亞傑具體地稱之為“內化”，並認為，活動的內化就是概念化，也就是把活動的圖式轉變為名副其實的概念。因·９４·第四章數學學習的基本知識而，活動的內化必然以其在高級水平上的重新構成為先決條件，也就是說，反省抽象必然是構造性的。
數學學習並非是一個被動的接受過程，而是一個主動的建構過程。也就是說，數學知識不能從一個人遷移到另一個人，一個人的數學知識必須基於個人對經驗的操作、交流，通過反省來主動建構。這就是建構主義的數學學習觀，或稱為數學學習的建構學說。
下麵，就此觀點作些說明：（１）關於數學學習活動“建構性”的理論，不僅是認知心理學的一般原理在數學中的直接應用，而且也是數學特殊性質的具體表明。任何數學知識的獲得都必須經曆“建構”這樣一個由“外”到“內”的轉化過程。
（２）已有的知識、經驗等構成了新的認識，亦即新的建構活動的必要基礎。
（３）與具體的、零散的知識相比，整體性的知識是更為重要的，因為隻有後者才能為新的認識活動提供必要的“認識框架”。
（４）要注意所說的“建構”活動的“社會性質”。就學生的數學學習過程而言，盡管數學知識的“建構”活動最終是由學生相對獨立地完成的，但必定是在一定的“社會環境”之中進行的。我們應當首先看到數學教師的作用，同時也應充分重視“學習共同體”，即同學、小組、班級、學校、家庭對於學生認識活動的影響。
建構學說對數學學習有何指導意義呢？可以從三方麵來看：（１）學習不應被看成是對於教師所授予的知識的被動接受，而是學習者以自身已有的知識和經驗為基礎的主動的建構活動。即學生能積極主動地構造意義。他們不是一張白紙可以任教師隨意“書寫”知識，每個學生都按照自己對世界的認識來理解世界的意義，這些理解或者說是世界的模型不斷地被修改，永遠也不會達到最終狀態。任何真正的學習（並非對於某些結論或算法的機械記憶和模仿）都不是對於外部所授予的知識的簡單接受，而必定是一種主動的建構。因而學習活動必然具有“創造性質”。盡管一些基本的數學概念具有較為明顯的直觀背景，但是，任何數學對象又都是抽象思維的產物，而並非經驗世界中的真實存在，因此可以說，數學對象是一種純粹的建構，或者說，正是人們通過自己的建構活動創造出了數學對象。學生對於教師所講的內容必然有一個“理解”或“消化”的過程，但是學生有他自己的“數學現實”，在學生先前的學習活動與社會生活中，已經掌握了一定的數學知識和思維模式。所謂“理解”就並非隻是指弄清教師的“本意”，而首先是學習者必須依據自身已有的數學知識和經驗去對教師所講的內容作出“解釋”，從而使其成為對自身來說是有意義·９５·數學教學論導引的，由此應當說這是一種“個體創造性的理解”。另外，又因為所說的“解釋”活動事實上就是指如何把新的數學內容納入已有的認識框架，從而使其成為整個數學結構的有機組成部分，這也就是“消化”的基本涵義。
因而數學學習活動就是通過學生自身主動的建構，使新的數學材料在學生頭腦中獲得特定的意義，這就是在新的數學材料與學生已有的數學知識和經驗之間建立實質性的、非任意的聯係。
（２）相對於一般的認識活動而言，學習活動的一個主要特點在於：這主要是一個“順應”的過程，也即不斷地對學生已有的認知結構作出必要的發展或變革，也就是說，學習就是學習者認知結構的組織和重新組織，而這又正是新的學習活動與認知結構相互作用的結果。
認識必定是一個“整合”的過程，即如何把新的對象納入到已有的認知結構之中，從而使全部知識彙成一個整體，而為了實現這樣的整合，就必須對已有認知結構作出必要的更新。真正的數學認識應當是形式建構與“具體化”的辯證統一：既應善於依據已有的數學知識和經驗去把握新的抽象數學概念，同時又應善於從抽象的高度去把握具體的對象；既應肯定直覺在數學學習活動中的重要作用，同時又應從純形式的角度去對有關的結論作出嚴格的證明。數學學習過程不應被看成是單一的積累（量變）過程，而必然包含有一定的質變。
事實上，從認識發生的角度看，個體認識的發展過程在一定意義上即可看成曆史發展的重複或縮影，從而就必然包含有對於錯誤或不恰當觀念的糾正和更新。數學學習作為一種建構活動，往往需要經過多次的反複和深化，而並非是一次性完成的。相對於一般的建構主義觀點而言，我們明確提倡社會建構主義的立場。社會建構主義的核心就是對數學認識活動與數學學習活動的社會性質的肯定。數學的認識並非是一個封閉的過程，也不是一種直線型的發展，而必然有一個發展、改進的過程；而所說的“發展與改進”則又主要是通過與外部的交流得以實現的，即必然包含有一個交流、反思、改進、協調的過程。個體的建構必然受到外部世界和社會環境的製約。作為社會建構主義的數學學習觀，是把學生看成是一個個的主體，這些主體又和教師一起組成了一個共同體，正是這一“數學學習共同體”為數學學習這樣一種主動的建構活動提供了必要的外部環境。
（３）建構學說還強調學習是發展，是改變觀念。按照建構學說的看法，知識就是某種觀念，因此知識是無法傳遞的，傳遞的隻是信息。學習者應對這些信息作觀念的分析與綜合，進行有選擇的接收和加工處理。此外，認識是一個不斷發展與深化的過程。因此，學習者的認知結構也就有一個不斷發展、不斷建·９６·第四章數學學習的基本知識構的過程。這種在發展中學習，在學習中改變觀念的觀點，對指導數學學習是十分有益的。
第三節數學學習的“再創造”理論首先簡單介紹“再創造”理論的提出者弗賴登塔爾。弗賴登塔爾生於１９０５年，１９３０年獲柏林大學博士學位。１９５１年起為荷蘭皇家科學院院士，１９７１—１９７６年任荷蘭數學教育研究所所長。弗賴登塔爾是著名數學家布勞威爾的學生，早年從事純粹數學研究，以代數拓撲學和李群研究方麵的傑出工作進入國際著名數學家的行列，曾任荷蘭數學會的兩屆主席。作為著名的數學家，弗賴登塔爾非常關注教育問題，他很早就把數學教育作為自己思考和研究的對象，在這一點上弗賴登塔爾與其他科學家有所不同。他本人有一個非常簡單的解釋：我一生都是做教師，之所以從很早就開始思考教育方麵的問題，是為了把教師這一行做好。弗賴塔爾在“思維的教育”的報告中闡述了對長期占據他心靈的算術教育問題的看法：兒童不可能通過演繹法學會新的數學知識。弗賴登塔爾在長期的數學教育研究實踐中，逐步形成了適應兒童心理發展，符合教育規律，經得起實踐檢驗，並且有自己獨特風格的數學教育思想體係。他積累的研究成果和實踐經驗，不僅改變了荷蘭數學教育的麵貌，也通過世界範圍的相互交流，極大地推動了國際數學教育研究的發展。作為具有國際聲望的數學家，他從１９５４年起擔任了荷蘭數學教育委員會主席，１９６７年又擔任了國際數學教育委員會主席。他還是國際上最有影響的數學教育刊物《數學教育研究》雜誌的創始人。
一、什麼是“再創造”弗賴登塔爾指出：一個學科領域的教學論就是指與這個領域相關的教與學的組織過程。教學者就是組織者、教育研究工作者、教科書作者、各級教師，甚至包括那些組織個人或小組學習過程的學生。而通過數學化過程產生的數學必須由通過教學過程產生的數學教學反映出來，因此，弗賴登塔爾認為數學教學方法的核心是學生的“再創造”。但這和我們常說的“發現學習”並不等同。
這裏理解的創造，是學習過程中的若幹步驟，這些步驟的重要性在於再創造的“再”，“再創造”則既包含了內容又包含了形式，既包含了新的發現又包含了弗賴登塔爾“再創造”的理論，依賴於如下的想法，他認為，數學的根源在於普通的常識，數學實質上是人們常識的係統化，因而每個學生都可能在一定的指導下，·９７·數學教學論導引通過自己的實踐活動來獲得這些知識。事實證明，隻有通過“再創造”的方式才能達到最好的效果。誰都知道數學是最古老的科學，早在上古時代，人們就從日常生活中，獲得了數與形的概念，進而又積累了有關的知識，並進一步凝聚成為各種規則、定律，就是這些日常的知識，逐步提高發展而形成了數學。
曆史上很多數學原理是在世界各個地方獨立地發現的，微積分是牛頓與萊布尼茲分別從力學與幾何學的角度創造出來的，非歐幾何學（羅巴切夫斯基幾何學）是高斯、波裏埃與羅巴切夫斯基各自分別建立起來的。數學發展的曆史進程是如此，個人學習數學的進程也同樣如此，每個人都應該在學習數學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識。當然這並非要我們再去機械地重複曆史，但是新的一代也不可能恰好從前人所終止的那一點上繼續下去，也就是說，從某種意義上我們還是應該重複人類的學習過程，重複數學創造的曆史，但並非按照它的實際發生過程，而是假定我們的祖先在過去就知道了更多的現有知識以後，情況會怎麼發生和可能發生的曆史。應該允許學生發現自己的潛力與標準，然後在一定的指導下，抓住機會去追求、去攀登、去鑽研、去探索通向這個標準的道路，從而達到他們力所能及的高度和深度。除了上述從數學的角度來說明“再創造”學習方式的依據，還可以從教育學的角度來找到這一做法的合理根據，至少可以列出以下三點：一是，通過自身活動所獲得的知識與能力，遠比別人強加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實用性，一般來說還可以保持較長久的記憶。二是，“再創造”包含了發現，而發現是一種樂趣，因而通過“再創造”來進行學習能引起學生的興趣，並激發學生深入探索研究的學習動力。三是，通過“再創造”方式，可以進一步促使人們借助自身的體驗形成這樣的觀念：數學是一種人類的活動，數學教學也是一種人類的活動。
二、有指導的“再創造”傳統的數學教學出現了一種不正常的現象，弗賴登塔爾稱之為“違反教學法的顛倒”。數學家從不按照他們發現、創造的真實過程來介紹他們的工作，實際上經過艱苦曲折的思維推理獲得的結論，常以“顯然”二字一筆帶過。教科書更是常將通過分析法所得的結論采取綜合法的形式來敘述，也就是說文字表達的思維過程與實際獲得的發現過程完全相反，因而嚴重阻塞了“再創造”的通道。數學確實是一門演繹科學，它的一個特征就是嚴謹的邏輯推理和高度的抽象化。數學教學的目標之一也應該讓學生掌握一個不同水平的形式體係，問題是通過怎樣的方式才能達到這一目標？傳統的方法就是將數學當作是一個已·９８·第四章數學學習的基本知識經完成的現成的形式理論，教師從定義出發，介紹它的符號、表達方式，再討論一係列性質，從而得出各種規則、算法。教師的任務是舉例、講解，學生的任務則是模仿，唯一留給學生活動的機會就是解題———所謂的“應用”。實際上，真正的數學家從來也不是以這樣的方式來學習數學的，他們常常憑借數學的直覺思維，作出各種猜想，然後再加以證實（直到今天，還有許多猜想等待人們去檢驗或推翻）。那些符號、定義都是思維活動的結果，為了知識係統化或是交流的需要而引進。如果給學生提供同樣的條件，不僅是性質、規則，甚至定義也都可以包括在學生能夠重新創造的範圍以內。
偉大的教育家誇美紐斯有一句名言：“教一個活動的最好方法是演示。”他主張要打開學生的各種感覺器官，那就不僅是被動地通過語言依賴聽覺來吸收知識，也包括眼睛看甚至手的觸摸及動作。弗賴登塔爾將這一思想進一步發展成為“學一個活動的最好方法是實踐”，這一提法的目的是將強調的重點從教轉向學，從教師的行為轉向學生的活動，並且從感覺的效應轉為運動的效應。就像遊泳本身也有理論，學遊泳的人也需要觀摩教練的示範動作，但更重要的是他必須下水去練習，老是站在陸地上是永遠也學不會遊泳的。當然，每個人有不同的“數學現實”，每個人也可能處於不同的思維水平，因而不同的人可以追求並達到不同的水平。一般說來，對於學生的各種獨特的解法，甚至不著邊際的想法都不應該加以阻撓，要讓他們充分發展，充分享有“再創造”的自由，甚至可以自己編造問題，自己尋找解法，一句話，應該讓學生走自己的道路。但從教師的角度，自然應該在適當的時機引導學生加強反思，鞏固已經獲得的知識，以提高學生的思維水平，尤其必須有意識地啟發，使學生的“創造”活動逐步由不自覺或無目的的狀態，進而發展成為有意識有目的的創造活動，以便盡量促使每個人所能達到的水平盡可能地提高。這也正是有指導的再創造的真正涵義所在。因為有指導的再創造意味著在創造的自由性和指導的約束性之間，以及在學生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間，達到一種微妙的平衡，所以結果就不是那麼簡單了。而且，學生的自由選擇已經被“再創造”的“再”所限製，因此，學生可能創造一些對他來說是新的，而對指導者來說卻是熟知的東西。
三、怎樣指導“再創造”根據弗賴登塔爾的觀點，既然強調數學是一種人類活動，數學教學也是一種人類活動，因此，“再創造”原理實施的目標，也就必須是讓學生“參與到一種活動中去”。換句話說，學生應該“再創造”：數學化而不是數學，抽象化而不是抽象，圖式化而不是圖式，形式化而不是形式，算法化而不是算法，用語言描述·９９·數學教學論導引而不是語言。如果學生是被指導著去再創造這一切，就會更容易學會、記住和遷移這些有價值的知識和能力，而如果是被強迫做的，那就不同了。“再創造”原理的提出就是為了更好地反映出教學過程必須通過教師與學生雙方的積極參與才能解決問題，尤其是更體現了“學生是學習的主體”這一思想，讓學生的活動更為主動、有效，以便真正積極地投入到教學活動中去。“再創造”必須貫串於數學教育的整個體係之中，實現“再創造”方式的前提，就是要把數學教學作為一個活動過程來加以分析，在這整個活動過程中，學生應該始終處於一種積極、創造的狀態，要參與這個活動，感覺到創造的需要，於是才有可能進行“再創造”。教師的任務就是為學生提供自由廣闊的天地，聽任各種不同思維、不同方法自由發展，決不可對內容作任何限製，更不應對其發現作任何預置的“圈套”。換句話說，教師應該通過指導，借助“再創造”方式將學生帶到數學化及其有關的各方麵的活動範疇之中，讓學生在親身經曆中獲得所期望的一切，也從中鍛煉與培養學生的創新觀念與創造精神。指導意味著在教的強迫性和學的自由性兩者之間取得一個微妙的平衡。
“有指導的再創造”中的指導方法：一是，在學生當前的現實中選擇學習情境，使其適合於橫向（水平）的數學化。數學產生於現實，產生於讓學生組織的現實，並將現實進行數學化，他們將現實看作是最原始的來源。數數是孩子最初的口頭數學，從口頭的數數到數某些具體的東西。數圍著桌子的人數，數鼻子，數眼睛，數耳朵的個數，甚至數桌下看不見的腳。將一連串的數用到這些集合上是橫向的數學化，而要想知道為什麼在這些數中有一些是相等的，就是在問一個縱向（垂直）的數學化的問題了，這個問題必須通過從自身到群體的推斷所形成的轉化來回答。被數的東西是有結構的集合而不是無結構的，這樣一個集合結構可以或多或少地在已知條件中明顯地看出來，或者可以把構造的任務留給學生。一群人中眼睛的集合按人的集合來進行構造，或者說以“雙”的集合來構造，如果按２，４，６等的方式來數，它是一種縱向的數學化，至少在第一次發生時是這樣。
二是，為縱向（垂直）數學化提供手段和工具。在個體教學的環境中，教師可以有大量即興操作的機會，通過這樣的即興操作，可以加強學生在再創造方麵的嚐試。如果可能，將學生放到具體的、形象的情境中去，讓他直觀地學習，教師不解釋任何東西，也不歸納任何法則，直到確信他已經知道了答案，才問“為什麼”。當然這種方式也視學生而定，對有的學生可能要求他作更多的反思，而對另一些學生則不時地給出一些暗示。
三是，相互作用的教學係統。這裏的相互作用不僅體現在一種班級與教師·１００·第四章數學學習的基本知識的關係的意義上，並且甚至可能更多地體現在學生與學生之間的一種相互關係上，讓幕後的教師有更多的空間和時間來做有效的即興操作。對於教與學的過程，是觀察還是加強，是使它們結合還是使它們分離，確實需要而且應該允許有靈活性。可以確信，作為一個整體，教與學必須認真組織，但我們關心的是需要包括對靈活性的重視。相互影響意味著教師與學生雙方既都是動因，同時又都對對方起作用，教與學應該是相輔相成的。
四是，承認和鼓勵學生自己的成果。這顯然是“再創造”學習方式中的一條基本原則。教師是否承認並鼓勵學生自己的成果，是反映教師對“再創造”原理的認識、理解程度的試金石，也是能否真正貫徹“再創造”原理的試金石。學生自己的成果包括對現實情境的解釋與理解，也包括對數學概念和模式的掌握與運用，它不僅包括解法的再創造，而且甚至包括問題的再創造。事實證明，這是一種最有效的訓練。在承認和鼓勵學生自己的成果的同時，教師明顯地從傳統的“傳授”地位上退隱下來，從而更有力地鼓舞了學生的主動參與性。
五是，將所學的各個部分結合起來。從課程的觀點來看，教師通過將教的各個部分結合起來，可以使教師的即興操作變得格外容易，從而也會使所學的各個部分結合起來。對所學的各個部分的結合應當盡可能早地組織，並且應該盡可能延續得更長，並盡可能不斷地加強。在不可避免地出現雜亂狀態時，唯一可以繼續下去的機會就是能夠和別的內容聯係起來，使之成為一個交織的起點，並合乎邏輯地延續下去。
6N１．數學學習有哪些特點和類型？
２．“建構學說”對數學學習有何指導意義？
３．數學學習的“再創造”理論含義什麼？怎樣指導學生數學“再創造”？
·１０１·第五章數學教學原則第一節教學原則的一般概念教學原則是根據教育、教學目的和教學規律而製定的指導教學工作的基本要求。它是使教學取得成效而必須要遵守的各項基本準則；它也是教師在教學過程中實施教學最優化所必須遵循的基本要求和指導原理。
數學教學作為一項特別的教育活動，不僅有自身獨特的特點，而且具有特殊的規律，它的教學原則隻能根據教學目的和數學教學的規律（本質）而製定。
數學教學是一門實踐性很強的教育活動，這一特點決定了數學教學原則來自於數學教學實踐，是實踐經驗提煉而成的，是數學實踐的理論抽象，反過來又指導數學教學實踐。
必須說明的是，數學教學規律是客觀的，不以人的意誌為轉移的，無論作何表述，也無論作何反映，它都是客觀存在的。數學教學原則卻不同，它既是客觀規律的反映，又是實踐經驗的總結，帶有明顯的實踐性和主觀性。同一條數學教學規律，人們的主觀認識不同，可能提出不同的教學原則。例如，教學永遠具有教育性，這是客觀的規律，在任何社會的教學過程中都是客觀存在的。但不同社會對這一規律的認識不一樣，提出的教學原則也不一樣。教學規律是永遠符合實際的和正確的。但數學教學原則可能是正確的也可能是錯誤的，可能是有益的，也有可能是有害的。例如，具體與抽象相結合的原則是正確的，也是有利的。“注入式”也可以說是一條教學原則，實踐證明它是一條錯誤的教學原則。
數學教學的經驗是數學教學原則的源泉，但數學教學的經驗並不等於數學教學原則，因為數學教學經驗是在特定條件下獲得的，缺乏一般的指導作用。
隻有把數學教學經驗進行提煉，才能成為數學教學原則。數學教學原則必須來自數學教學實踐，離開實踐的教學原則將成為無本之木、無源之水。
·１０２·第五章數學教學原則第二節數學教學原則及其選擇本節從中學數學教學的特點和中學生學習數學的心理特征出發，討論中學數學教學的一些原則。這些基本原則，是數學教學工作所必須遵循的基本要求和指導原理，既涉及基本的教學論原理在數學教學中的應用，更關係到數學教學特殊的規律性。
一、數學教學的基本原則１．抽象與具體相結合的原則從具體到抽象，是人類認識發展的規律，個體認識的發展也遵循這一規律。
高度的抽象性是數學學科的特點之一，所以數學教學必須把發展學生的抽象思維作為一個主要目的。隻有正確理解好具體與抽象之間的相互關係，才能正確貫徹具體與抽象相結合的原則。
隻有在數學教學中充分注意數學具有高度的抽象性這個特點，才能有效地培養學生的抽象概括能力。由於受年齡、理解能力、認識能力等特點的影響，學生抽象思維具有一定的局限性，主要表現在：過分地依賴具體素材；具體與抽象相割裂；不能將抽象理論應用到具體問題之中；不易把握抽象的數學對象之間的關係等方麵。這裏所說的具體素材，是與所要學的抽象概念和結論相對而言的，是指從其中可以抽象出所學概念和結論的那些原形（並不一定是現實世界中的實際事例）。具體與抽象相割裂，是指對抽象結論理解的片麵性、局限性。
隻能理解列舉過的具體事例或十分相近內容的現象，而不能對這些現象作本質性的概括。出現這些現象的原因是多方麵的，就數學教學而論，沒有妥善處理好具體與抽象的關係是主要原因之一。
貫徹具體與抽象相結合的原則，就是在數學教學中根據人的認識規律，從學生的感知出發，以客觀事物為基礎，從具體到抽象，形成抽象的概念，上升為理論，進行判斷和推理；再由抽象到具體，用理論指導實踐，在實踐中應用或檢驗。這樣才能掌握好數學基礎知識，培養基本能力。
具體與抽象相結合，就是為了使學生對抽象的理論理解得正確、認識得深刻，從而發展學生的抽象思維。具體、直觀僅是手段，而培養抽象思維能力才是根本的目的。因此，在教學中如果不注意培養抽象思維能力，則不可能學好數學。反之，如果不依賴於具體、直觀，抽象思維能力也難以形成。在教學中隻有·１０３·數學教學論導引不斷地實施具體與抽象相結合，具體抽象具體，循環往複，才能不斷將學習向縱深發展，使認識逐步提高和深化。
２．理論與實踐相結合的原則理論與實踐相結合，這既是認識論與方法論的基本原則，又是教學論與學習論的基本原則。在數學教學中正確貫徹這一教學原則是實現教學目的的重要保證。它的重要意義在於不僅要學到書本上的理論知識，還要通過學習能運用這些知識來指導實踐。
就數學理論的教學而言，理論聯係實際有其自身的特殊含義。數學的抽象需要現實原型和實際經驗的支持。數學難學的根本原因在於其高度的抽象性，集中在對數量、結構和關係等方麵的難以理解，克服這個困難的最好辦法，就是借助生活、生產和其他學科的實際問題，使數學的抽象性盡可能體現在現實的原型之中，從而把抽象的數學概念建構在學生最有感性認識，又最容易引起共鳴的經驗之上，建構在學生最容易認識，最熟悉的事物之上。
學生思維發展的特點，需要數學教學理論聯係實際。根據數學學習的理論，中學生的思維發展正處在由“形象思維”向“邏輯思維”過渡的階段。在這一階段學生的思維以“經驗型的抽象思維”為主，也就是說，學生已能進行抽象思維，但離不開具體形象和直接經驗的支持。在這個階段，學生的思維活動還保留著形象思維的習慣方法，他們比較相信看得見的直觀和具體，對活動中獲得的經驗存在著較多的依賴。從這個角度看，注重理論聯係實際，教學中給予更多的直觀性，從具體逐步向抽象過渡，比較符合學生思維發展的特點。理論聯係實際，有利於提高學生分析問題和解決問題的能力。
學習數學的根本目的還在於用數學，如果數學教學始終停留在理論階段，學生不知道如何用數學，那麼數學教學就喪失了意義。理論聯係實際正是實現培養學生數學應用能力的最好途徑。
在教學過程中貫徹這一原則，要求教師在數學教學中，傳授知識、訓練技能、培養能力、學以致用，達到深刻理解理論實質、增長實踐才幹的目的。理論與實踐的結合，首先，要培養學生能夠將實際問題提煉、抽象、概括成數學問題。
很多數學家之所以能在數學研究上作出重大貢獻，往往與他們善於從實際問題中提煉出數學問題分不開。例如，著名的“哥尼斯堡七橋問題”、“蜂房問題”、“四色問題”等等。實際問題轉化為數學問題，既需要豐富的實際知識，更需要有較強的觀察、分析、抽象、概括的能力。其次，要培養學生將數學理論應用於實踐的能力，在實踐中豐富、發展和提高數學水平。例如，幾何學的理論就來自·１０４·第五章數學教學原則實踐，但幾何學一旦與形式邏輯相結合，極大地提高了人們的智能，迅速推動了數學的發展，並促進數學從實踐經驗向係統理論的轉化。歐幾裏得把前人的龐大資料加以係統化，寫出了傑作《幾何原本》，而反過來人們又以這些幾何知識為工具，解決大量的實際問題。
３．鞏固與發展相結合的原則鞏固與發展相結合，是由中學數學的教學目的、教學特點與規律決定的，是受人的記憶發展的心理規律製約的。數學教學目的在於讓學生鞏固掌握數學基礎知識、基本技能，同時使他們的思維得到發展，能力得到提高。
知識的掌握包括感知、領會、鞏固和應用四個有聯係的層次和過程。感知是由不知到知，領會是由淺知到深知，鞏固是由遺忘到保持，應用是由認識到行動的過程。學習數學目的之一在於應用，如果知識得不到鞏固，應用也就落空。
要鞏固所學知識，記憶起著不可缺少的作用。隻有提高記憶力，才能牢固掌握數學基礎知識和基本技能。理解是記憶的基礎，隻有加深對知識的理解，才能牢固記憶。否則，即便記住了，也不會應用。為了加深對知識的理解，需加強基本概念、關係和原理的教學，從多方麵揭示它們的本質和聯係。為了更好地鞏固知識，可采用形象識記和邏輯識記相結合的方法。形象識記比邏輯識記效果好，兩者相結合效果更好。如果對識記的材料進行形象和邏輯兩方麵的編碼，再現時當然就更容易提取。因此，對定理、公式、法則的講解，除了應注意邏輯推導外，還應注意采取適當的直觀手段，促進記憶。另外通過對照、比較、係統整理來促進邏輯記憶，使所學知識得以鞏固。
數學教學的目的不僅要使學生深刻而又牢固地掌握係統的知識和技能，而且更要使他們的思維能力得到發展。隻有發展了思維能力，才能更深刻地理解和鞏固掌握所學的知識。“數學是人類思維的體操”，所以在數學教學中必須注意：要明確思維的目標與方向，要為思維加工提供充足的原料，要讓學生掌握思維方法。鞏固的真正目的是為了發展學生的數學思維能力。
鞏固與發展相結合，就是要把鞏固掌握數學基礎知識和發展提高思維能力結合起來。鞏固知識需要複習和應用，發展思維需要訓練。通過複習，溫故而知新、舉一反三、觸類旁通，使學得的知識得以深化，思維得以訓練和發展，能力得以提高。處理好鞏固與發展相結合關係。首先，要重視對學生所學知識、技能和方法進行複習鞏固工作的研究。要全麵係統地複習基礎知識，讓學生領會基本的數學思想和方法。適時進行單元複習、總複習，使所學知識係統化。領會其中的數學思想和方法，就不僅能夠逐步舉一反三、靈活運用，達到鞏固和深·１０５·數學教學論導引化知識的目的，而且能夠將這些知識係統逐漸內化，由量變到質變，從而引起和促進學生思維整體結構的發展，提高學習和應用的基本能力。其次，複習題的選配要著眼於發展學生思維和培養學生的能力。選配複習題不僅要具有概括性、典型性、針對性、綜合性，而且還要有啟發性、思考性、靈活性以及創造性等特點。
４．數與形相結合的原則著名數學家華羅庚教授關於數形結合問題有一段精辟的論述，“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數缺形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”法國數學家拉格朗日說過，“隻要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以後，就以快速的步伐走向完善。”數與形是數學中兩個最基本的概念，數學的內容和方法都是圍繞對這兩個概念的提煉、演變、發展而展開的。在數學科學的發展中，數與形常常是結合在一起的，內容上相互滲透，方法上相互聯係，在一定的條件下相互轉化。中學數學的主要內容是代數和幾何，其中代數是研究數和數量關係的學科，幾何是研究形和空間形式的學科，解析幾何則是把數與形結合起來研究的學科。事實上，中學數學的各學科都滲透了數形結合的內容。例如，實數與數軸上的點一一對應、複數與坐標平麵上的點一一對應；函數可用圖像表示、二元一次方程表示坐標平麵上的一條直線、二元二次方程表示二次曲線等。把數與形結合起來研究，可以把圖形的性質問題轉化為數量關係問題，或將數量關係問題轉化為圖形的性質問題，從而使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易。
以數與形相結合的原則進行教學，這就要求我們切實掌握數形相結合的思想與方法，以數形相結合的觀點鑽研教材，理解數學中的有關概念、公式和法則，幫助學生用數形相結合的思想分析問題與解決問題，從而提高數學運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和數學解題能力。
５．傳授知識與發展能力相結合的原則知識是人們對客觀事物認識的總和，是對客觀事物的現象與本質的反映。
能力是人們順利完成某種活動的本領，屬於個人的心理狀態或心理特征。數學中的基本能力表現為運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，以及由此逐步形成的分析和解決問題的能力。智力是大腦機能在社會活動中認識和改造客觀事物的心理特征，通常是指觀察力、記憶力、想象力、思維力和注意力。智力與能力統稱為智能或一般能力。知識與能力既有區別，又是相互聯係、相互製約·１０６·第五章數學教學原則的。其區別表現在各自有不同的內涵。知識是後天獲得的，而能力與先天因素、後天環境、教育等因素有關。知識的獲得是無止境的，發展相對要快一些。
能力的發展是有限度的，發展相對要慢些。不能機械地用掌握知識的多少來衡量能力的大小或發展的程度。其聯係表現在，能力通常在掌握知識的過程中逐步形成與發展，已經形成的能力，反過來又影響著掌握知識的速度、深度與廣度。也就是說，掌握知識是發展能力的條件與基礎，能力又是掌握知識的前提與結果。傳授知識與發展能力相結合，是辯證唯物主義的教學原則。這個結合有利於增長知識、發展智能。在中學數學教學中，貫徹傳授知識與培養能力相結合的原則，是一個比較複雜且涉及麵很廣的問題。一般說來，應注意以下幾個方麵：要重視基本技能的訓練；要重視對學生進行學習目的性的教育，激發其學習興趣；要將傳授知識與發展能力構成一個統一體，力求達到同步發展。知識與能力之間，存在著先後有序、各有側重的一麵，又有互相影響、彼此聯係、互相促進的一麵。隻有將二者構成一個統一體，才能達到同步發展的目的。
上麵我們討論了中學數學教學的一些基本原則。正確地運用各項教學原則，有助於我們自覺地按照教學工作的客觀規律辦事，在教學過程中充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用，為全麵提高中學數學教學質量創造條件。
二、數學教學的特殊原則以下我們介紹近年來廣大數學教育工作者在數學教學改革過程中探索形成的數學特色更加濃厚的幾條特殊的數學教學原則，既是推廣，亦是研究。
１．充分暴露數學思維過程的原則現代數學教學理論認為，數學教學不僅是數學思維結果的教學，更是數學活動過程的教學，在這種思想指導下，自然要把充分暴露數學思維過程當作數學教學的基本原則。實踐和理論都已證明，真實的數學思維過程是數學教學中最有教育意義的成分。因此，在數學教學中，對一些較重要的或具有典型意義的問題，教學的任務不僅要給出這些問題的結論，更重要的是要重視展示這些問題的思維過程，就是如何提出問題、怎樣分析問題以及通過分析如何獲得解決這些問題的途徑和方法等，使學生從問題的解決中學會解決問題。
過程性原則是針對傳統教學中重結果輕過程的教學狀況提出來的，要求在數學教學過程中充分暴露數學思維過程，即充分暴露概念的形成過程、充分暴露公式和法則的推導過程、充分暴露解題思路的探索過程、充分暴露問題的被發現過程、充分暴露知識結構建立、推廣和發展過程。
·１０７·數學教學論導引學生學習的本質是什麼？前麵章節已有討論。這裏再敘述兩位科學大師的看法。１９８４年，李政道教授在談到人才培養問題時，曾風趣地打了一個比方：一個上海學生對上海馬路十分熟悉，另一個學生從未到過上海，若給一個學生一張上海地圖，告訴他們明天測試畫上海的地圖和填寫街道的名稱，則後者可能考得比前者好；但過了一天，把他們放到上海市中心，假定所有牌子都拿掉了，那麼誰能正確走到目的地呢？答案是顯然的，李政道接著說：“真正的學習，是要沒有路牌子也能走路，最後能走出來，這才是學習的本質。”這個例子生動地說明，學習、考試取得好成績固然重要，但學會自己走路，培養獨創精神與獨立工作能力更為重要。
眾所周知，已故數學家華羅庚教授經常借喻“點金術”來啟迪學生。相傳古代八仙之一的呂洞賓有點石成金之術，貪婪的人都掙著要拾他點出的金子。華羅庚就用這個傳說中的金子比喻知識。他主張，青年一代對於知識的追求，要比拾金子的人更加“貪得無厭”；但是，現成金子要拾，而更重要的是要學會“點金術”，學會掌握知識的途徑。因此，他教導同學們：“我認為，同學們在校學習期間，學會讀書與學到必要的專業知識是同等重要的。”兩位科學大師的觀點都是相同的。未來社會，或者說現代教育對教育者的要求，已經不僅是“學到什麼”，而更重要的是“學會怎樣學習”了。所以學習的本質，就在於學會怎樣科學地思維，學會怎樣創造。
在數學教學中，存在著三種思維活動。數學家的思維活動（隱藏於教材中）、教師的思維活動與學生的思維活動。從這個意義上說，數學教學過程是學生在教師指導下，通過數學思維活動學習數學家思維活動的成果，並發展數學思維能力的過程。這就是說：（１）教會學生科學地思維，應是數學教學的重要目的之一。即課程標準所強調的，數學教學中，發展思維能力是培養能力的核心。
（２）數學教學應力求充分暴露學生的思維過程，然後根據反饋信息，有的放矢地進行教學。
（３）數學教學不應是“結果”的教學，而應是“過程”教學，數學活動的教學，即要把知識的形成、發展過程展現給學生。具體來說，就是要把知識的獲取過程，結論的探索過程，問題的深化過程，這些分析、解決問題的艱難曲折過程展現出來。
這樣就引申出另一個問題，作為教師，如何正確評價學生暴露出來的各種思維活動？如何讓學生突破思維上的障礙？怎樣才能把自己的思維活動與隱含在教材之中的數學家的思維活動科學地展現出來，傳授給學生？換言之，在·１０８·第五章數學教學原則教師的教與學生的學之間，需要有一種正確的觀點、思想、方法來加以溝通，才能教會學生科學地進行思維，引導學生開展積極的思維活動。
什麼才是最成功的教育，一位哲學家曾說過：“即使是學生把教給他的所有知識都忘記了，但還能使他獲得受用終生的東西。”這裏“受用終生的東西”理當是指“思想方法”。數學教學，就是要注意揭示隱含在教材中的數學思想方法，展現數學知識形成、發展的軌跡；要注意從科學方法論高度去指導學生解答數學問題及其他應用問題；要注意應用科學方法論觀點揭示和探索數學知識之間的聯係。總之，要在數學教學中，有意識地把思維過程中的方法論問題，諸如比較與分類方法、分析與綜合方法、歸納演繹與類比的方法、理想化方法、公理化方法、形象思維與辯證思維的方法、科學概念與規律的抽象與概括的方法等，結合數學具體內容，深入淺出地教給學生，潛移默化地讓學生獲得科學方法的有益啟示。
通過討論兩個案例說明怎樣在數學教學中充分暴露思維過程。
首先討論圓周角及其定理的教學。
有不少教師從暴露探求證明思路的過程出發，通過由特殊到一般的程序，突出定理證明方法的意義，這無疑是一種進步，但問題解決得仍不夠徹底，因為這些教學設計還沒有暴露概念的形成過程。數學概念往往是人們對概念的內涵有了較深刻的認識以後才產生的，同樣，圓周角的概念也是因為人們發現這類角具有某種共同的特征以後，才把它從一般角的範圍中劃分出來加以定義的，據此有教師教學設計如下：（１）提供問題的背景：如圖５１，∠犃犗犅為⊙犗的圓心角，如何度量？
（∠犃犗犅的度數＝犃︵犅的度數）PPP(P)OOOOBBBABAAAPPPCDPEOBOOAOBAABAB圖５１·１０９·數學教學論導引（２）一般化提出問題：考慮問題①的一般情況，如果∠犃犗犅的頂點不是圓心，而是圓內任意一點犘，∠犃犘犅如何度量？∠犃犘犅的度數仍然等於Ａ︵Ｂ的度數嗎？在否定了上述猜想以後，思考：∠犃犘犅的度數應該如何度量呢？
這時學生可能出現各種思路，教師應對思路作跟蹤追擊，在學生發生困難時，教師可以在學生已有思路的基礎上，作適當引導。下麵就是引導方案之一。
（３）特殊化思考：在一般性問題難以解決的時候，可作特殊性思考，問題（１）中的∠犃犗犅和問題（２）的∠犃犘犅相比較，特殊在∠犃犗犅的邊都通過圓心犗，那麼可否先考慮介於（１）和（２）之間的情況，即犗在犘犃邊上的情況呢？
（４）再特殊化：當犘在犃犗上運動時，∠犃犘犅仍然不是定值，能否考慮更１特殊的情況，比如犘點在圓周上（直徑的端點），不難得到∠犘＝２∠犃犗犅。
（５）一般化：解決了問題（２）的特例，現在回到比較一般的情況。例如，圓心１不經過角的任一邊，會有何結論？（仍然有∠犘＝２∠犃犗犅）（６）再一般化：回到問題（２），思考能否將問題（２）轉化為已經解決了的問題？這時已經得到的結論是否仍然成立？
至此，我們發現了一類角及其度量方法。這類角的頂點在圓周上，兩邊都和圓相交，我們把它定義為圓周角。
給出圓周角定理，並將證明過程加以整理。
（７）再一般化：給出圓外角和圓外角度量定理。
（８）概括、小結、整理。
上述教學設計，清楚地揭示了圓心角、圓周角、圓內角和圓外角的聯係，不僅突出了知識結構，而且突出了化歸的基本方法，可使教學取得令人滿意的效果。這個教學設計充分暴露了數學概念的形成過程，體現了數學概念往往是在人們對概念的內涵有了較深刻的認識以後才產生的認識規律。
再以解答數學問題為例。
教師往往不是當麵引導學生共同思考，而是帶回去，然後再拿出一個完善、深奧的解答給學生，學生看到的隻是教師成功的結果（似乎是天上掉下來的），看不到教師失敗、受困與掙脫困境的過程；學到的隻是一道題的解答，隻是一招一式，無法體驗“失敗是成功之母”這條哲理的深刻內涵，著名數學家華羅庚教授把這種現象喻為“隻把做好飯拿出來”，他主張教師當堂解答，向學生交代清楚自己的思維過程，把學生放到逆境中鍛煉成長。下麵通過具體例子說明如何向學生交代解決問題的探索過程。
·１１０·第五章數學教學原則槡７狓－３１課題求函數狔＝狓的最小值，其中狓∈［２，３］。
某教師在講授此題時，給出了兩個解法。
槡７狓－３１６解法１設狔＝犳（狓）＝狓，在［２，７］內犳（狓）是單調遞增函數，在６１［７，３］內犳（狓）是單調減函數（證略），且犳（２）＝犳（３）＝槡２，故得狔的最小值為槡２。
１解法２∵狓∈［２，３］，∴下列不等式成立１１（狓－２）（狓－３）≤０（當且僅當狓＝２或狓＝３時取等式），展開得：２狓２－７狓＋３≤０，槡７狓－３即槡２≤狓，故狔的最小值等於槡２。
以上兩種解法既“簡”且“奧”給人以美的享受，然而不向學生交代方法的來曆，使學生感到結果“從天而降”。
下麵介紹一種突出解題的探索過程的講法。
槡７狓－３第一個念頭：設法將狔＝狓化為狓的有理式，然後再求狔的最小值，１由於狓∈［２，３］，所以狔＞０，因此原不等式在狔＞０的條件下，可以兩端平方，解同解方程：２７狓－３狔＝狓２，可化為狔２狓２－７狓＋３＝０，由於狓為實數，Δ≥０，即Δ＝（－７）２－４·狔２·３＝４９－１２狔２≥０，７槡３狔≤６，７槡３即０≤狔≤６。
７槡３７槡３這說明狔的值不能大於６，如果有機會使等式狔＝６成立，那麼狔的最·１１１·數學教學論導引７槡３７槡３２２６大值等於６這是容易辦到的：以狔＝６代入狔狓－７狓＋３＝０，解得狓＝７１６７槡３∈［２，３］，故當狓＝７時，獲得最大值６。
非常可惜，本問題是要計算狔的最小值，因此，不得不轉入第二個念頭：槡７狓－３６設犳（狓）＝狓，由於狓＝７時，犳（狓）取得最大值。現在自然要考察一１１７槡３下區間端點的值。即犳（２），犳（３）。事實上，犳（２）＝犳（３）＝槡２＜６。槡２是不是最小值呢？
１６６如圖５２，如果能證得［２，７］是犳（狓）的單調遞增區間，［７，３］是犳（狓）１的單調遞減區間，那麼立即發現：當狓＝２，３時，犳（狓）取得最小值槡２。
於是剩下的問題是證明下列兩個命題成立。
１６命題甲當狓∈［２，７］時，函數是單調y73遞增函數；6６2命題乙當狓∈［７，３］時，函數是單調遞減函數。
事實上，可以證明以上兩個命題都成立O1623x（略）。27１１６反思將［２，３］分成兩區間［２，７］與圖５２６［７，３］再從論證它們的單調性入手去解決問題，顯然解法粗俗，是一條較為麻煩的途徑，然而，走完這條路之後，稍加思考，就容易另辟一條思路。
１１由於犳（２）＝犳（３）＝槡２，設法證明，當狓∈［２，３］時，不等式槡７狓－３狓≥槡２總成立。
·１１２·第五章數學教學原則１這是輕而易舉的事，因為隻要證明當狓∈［２，３］時不等式槡７狓－３槡２≤狓成立，也就是隻要證明不等式７狓－３２≤狓２成立即可，或證２狓２≤７狓－３，２狓２－７狓＋３≤０，（２狓－１）（狓－３）≤０成立，而當狓１∈［２，３］時，（２狓－１）（狓－３）≤０顯然成立。改寫成綜合法即得開始的證明。
２．重視數學認知結構的原則現代認知學習理論的代表人物是布魯納和奧蘇伯爾，他們認為學習中存在著一個認識過程，學習是通過認知獲得意義和意向形成認知結構的過程，是認知結構的組織與重新組織，現代認知學習所謂的認知結構，可以簡單地認為是頭腦中形成的經驗係統，人的認識活動按照一定的階段順序組成，發展成對事物的結構認識後，就形成認知結構，其組成部分包括：知覺範疇、比較抽象的概念、主觀臆測或期望等，新的信息就是根據上述這些組成部分被加工整理的。
在學習中，那些新的觀念、信息、經驗等新事物或者同化於原有知識結構，或者改組擴大原有的知識結構，產生新的範疇。現代認知學習理論比較符合教學實際，能比較滿意地解釋學習的過程。現代認知結構學習理論，都重視內在學習動機與學習活動本身帶來的內在強化作用。布魯納和奧蘇伯爾在對於如何獲得新的知識的過程所強調的側重點略有不同，布魯納強調發現，奧蘇伯爾強調接受。布魯納在學習上主張“發現學習”，他認為，從本質上講，學生和科學家的智力一樣的，無論是掌握一個概念，或是解決一個問題，還是發現一個科學理論，都是一個人的認識過程，是通過主動地把進入感官的事物進行選擇、轉化、儲存和應用而進行的，因而在學習上主張“發現學習”。他認為，學習者在一定情境中對學習材料的親身體驗和發現的過程，才是學習者最有價值的東西。因此，他強調教師應當製定和設計各種方法，創設有利於學生發現、探究的學習情境，使學習成為一個積極主動的“索取”過程，充分發揮學生主體自我探究、猜測、發現的自然傾向。奧蘇伯爾是當代認知學派的主要代表人物之一，他認為，學生在學校裏的學習，主要是通過言語形成理解知識的意義，接受係統的知識。
因此，他提出了一個“有意義學習”的新概念，要使學生成為有意義的學習者，必須具備三個條件：第一，學習材料對學生有潛在意義；第二，學習者認知結構中·１１３·數學教學論導引具備適當的觀念用來同化新知識；第三，學習者要具有意義學習的心向。具備了以上三個條件學生就能把新知識同化到原有的認知結構中，從而獲得新知識。在學習上，他認為學習者已有的認知結構要和所學有意義的材料結合起來，把這兩個“結構”融會貫通，才能學得好。
從現代認知學習理論中，我們可以得到如下一些啟示：（１）重視內部動機對學習的作用。
（２）創造條件讓學生在學習過程中進行探究、猜測和發現。
（３）良好的認知結構可以簡化知識，可以產生新知識，有利於知識的利用，有利於知識的遷移。
（４）在向學生輸入新的知識信息時，注意充分利用學生原有認知結構並使其發揮積極作用，努力尋找新知識的生長點。如果新的知識與原有知識有脫節現象，必須做好“架設認知橋梁”的工作。
（５）承認學生存在著固有的認知結構。
（６）承認學習的過程是認知結構將外界知識的內化過程。內化過程是學生按照自己的理解，用內部語言納入已有認知結構的同化過程。
（７）在這個過程中，認知結構得到新的擴展與完善，更加符合於客觀世界，所以又是一個順應的過程。
（８）教師不可能“灌入知識或單純從外部改變學生的認知結構，教師隻能起催化、協助作用”，思想應在學生的頭腦中產生出來，而教師隻起一個產婆的作用。
重視數學認知結構的教學原則，簡單地說來，就是要把發展學生的數學認知結構看成是數學教學的歸宿和手段。
歸宿：指把發展學生的認知結構，健全學生數學知識的內容、觀念和組織，實現數學知識結構與數學能力結構在學習者頭腦中的統一，看成是數學教學中的一項重要任務。
手段：指在數學教學中，要努力發揮學生已有的認知結構的作用，努力提高原認知結構的可利用性、穩定性與清晰性，為將新概念、新信息融入已有的認知結構創造條件。
具體地說，重視數學認知結構的原則要求我們注意以下幾點：（１）明確數學教學內容即思維的對象和材料不是零碎的數學知識，而是形成了結構的數學體係。因此，要十分注意數學知識的整體性、係統性和知識之間的聯係，要提高學生對數學整體結構的認識。
（２）明確數學能力並不是解題技巧、方法及其由它們組織起來的整體，其核·１１４·第五章數學教學原則心部分則是數學思維能力結構。
（３）數學教學應該通過建立一個良好的教學結構方式來實現發展學生認知結構的目的，達到知識結構與認識結構的統一。
以同類項概念教學為例，探討重視認知結構教學的意義。有一節初中數學“合並同類項”的觀摩課，教學安排如下：多項式的概念，通過舉例觀察，比較得出同類項定義，練習判別同類項，由例題引出“合並”的概念，從小學逆用分配律的乘法連加３×１９９９＋７×１９９９＝（３＋７）×１９９９得出合並的根據、法則、完成例子、注意事項、練習與布置作業。
從形式上看，教師講練有序，分析細微，節奏鮮明，學生也會做題，是比較完美的。但總有一種感覺，學生是在被牽著走。我們不禁提出這樣的問題，學生能做題，是不是就了解了“合並”的本質？
其實，“合並同類項”這個新知識與學生已有的知識結構有著密切的聯係，小學乘法連加計算中逆用分配律，提出公因數如３×１９９９＋７×１９９９＝（３＋７）×１９９９，實質上就是合並。所新之處，是把算術上的具體數字變為代數中的符號字母，把具體數字運算技巧總結為一類運算規律，這個從數到式的抽象，是從算術到代數的“質”的飛躍，體現了“符號化”這一基本數學方法，從某種意義上講，滲透這種本質的變化，才是更深刻的教學目的。
於是可建議，就從複習小學算術的乘法連加簡便算方法入手，由３×１７＋７×１７，３×１７×２３＋７×１７×２３＋２×１７×２３觀察、找規律，用字母代替數，著重解決：①什麼條件可以合並？———同類項的概念。②怎樣合並？———合並同類項的法則。再把它們和多項式的概念相結合。
在此例中，找到了新知識的“生長點”，就是小學乘法中的“連加簡算”，再利用遷移的規律，發揮學生原有認知結構的作用，促進新知識結構的形成。
再如雞兔同籠問題：雞、兔共有頭１８個，腳６０隻，問雞、兔各有多少隻？
第一種解法古老的解法是“假想”這１８隻都是雞或都是兔：如都是雞，共有１８×２＝３６（隻）腳，６０－３６＝２４（隻）腳，應都是兔子的腳，兔子數應為２４÷２＝１２（隻）兔子。
如都是兔子，共有１８×４＝７２（隻）腳，７２－６０＝１２（隻）腳，應都是給雞多算的腳，故１２÷２＝６（隻）雞。
這種方法，思路精巧，但很多學生想不通：明明有雞有兔，為什麼假設隻有一種呢？
第二種解法如果所有的雞都“金雞獨立”，同時所有的兔都用後腳直立起來，就容易發·１１５·數學教學論導引現：所有的腳的一半與頭數之差正好是兔子的隻數。即：（６０÷２）－１８＝１２（隻）這種方法奇妙有趣，但猶如天外奇想，學生們難以想象。
第三種解法問：兔４隻腳，雞２隻腳，是不是不公平？
答：（思考後）不是不公平，雞還有２隻翅膀。
問：如果翅膀都看成是腳的話，共有多少隻腳？
答：１８×４＝７２（隻）腳。
問：題中翅膀算不算腳？
答：不算！
問：那麼有多少隻翅膀呢？
答：７２－６０＝１２（隻）翅膀。
於是，學生立刻興奮地說：６隻雞！
這種解法從學生的常識出發，自然引出答案，與學生的經驗一致，實際上是得用自己的經驗建立了對問題解法的理解。
實事求是地說，沒有一個人真正能“教”數學，好的教師不在於能教數學，而在於關心如何提高學習動機和興趣，增強教學內容與日常生活或以往學習經驗的聯係，激發學生固有的質，自己去學習數學，隻有當學生通過自己的思考建立起自己的數學理解力時，才能真正學好數學。
擴大或改善學生的認知結構是數學教學的根本任務，而在這一變化過程中，教師要想方設法為學生的認知結構的改善創造條件。
［日］藤井齊亮先生為了考查學生對不等式的認知情況，創設了下麵的教學情境：師：請解不等式狓－２＞５。
生：狓－２＋２＞５＋２，即狓＞７。
師：為什麼要在不等式兩邊同時加上２呢？
生：在不等式２＜３兩邊同時加１，或加１００，都不會改變。
師：這裏有不改變的意見，它指的是什麼不改變呢？
生：不等號方向不改變（從表麵上看，多數人讚成這個回答）。
師：如果在不等式較大一端加較大的數２，同時在較小一端加一個比２小的數（比如１），那麼不等式方向也不變。例如狓－２＋２＞５＋１，即狓＞６這兩種解法的結果就不同了，這是怎麼回事？……上述教學情境中學生心理上至少產生三種認知衝突：·１１６·第五章數學教學原則①就結果來說，狓＞７與狓＞６，哪個正確？
②就解題方法來說，“不等式兩邊同加一個數”與“不等式較大一端加較大數，同時在較小一端加較小數”，哪個正確？
③就兩種解題方法的根據來說：“犪＞犫犪＋犮＞犫＋犮”與“犪＞犫，犮＞犱犪＋犮＞犫＋犱”，哪個正確？
教師將以排除學生認知衝突為契機，加深學生對解不等式和證明不等式變形條件（即等價變換與推出變換）的理解，以進一步完善學生關於不等式性質的認知結構。
３．歸納與演繹並用的原則首先說明一下歸納與演繹的關係。我們知道，數學中最基本的推理方法就是歸納法和演繹法。歸納推理和演繹推理是根據思維過程的不同加以區分的。
歸納是由個別到一般的推理，演繹是由一般到個別的推理。歸納和演繹是兩種不同的思維過程，但它們又有著密切的聯係，這種聯係表現在兩個方麵：一方麵，從演繹的前提看，它最初的基礎是從原始概念和數學公理開始的，而所謂的原始概念和數學公理都是從實踐中歸納出來的，從演繹所要證明的定理、公式、法則來看，這些結論開始也是人們在實踐中通過歸納猜想而得到的。而後才是對它們給予演繹證明。因此，演繹以歸納為基礎，歸納為演繹準備了條件。另一方麵，從歸納的前提看，歸納對於所考察的每一個特殊結論一般都經過演繹思考的，從歸納的結論來看，它的正確性也需要經過演繹證明才能確認。因此，歸納以演繹為指導，演繹為歸納提供了理論依據。
從歸納與演繹的關係我們不難看到，歸納的過程蘊含著數學問題的猜測與發現的過程，歸納法具有一定的創造性。演繹過程是對數學問題的證明、整理的過程，演繹法是擴展數學知識體係，揭示知識的內部聯係的主要方法。因此，歸納和演繹在數學理論形成和發展的過程中，都有起著十分重要的作用，這也意味著在數學教學中，必須正確處理好歸納與演繹的關係，使學生的演繹推理、歸納推理能力都得到培養。
然而，在現實的數學教學中，普遍存在著重演繹而輕歸納的現象。反映在教材處理和教學方法上，似乎力求把數學知識組織成演繹的邏輯體係來進行教學，把學生注意力吸引到形式論證的“嚴密性”上去，對於如何教會學生尋求真理、發現真理的本領不夠重視，在一定的程度上，忽視了歸納推理在數學活動中的重要性。中學數學教學中，重演繹輕歸納的現象有三種情況：第一，在概念教學中，重視對概念的解釋和運用概念進行解題的教學，而忽視對形成概念的背·１１７·數學教學論導引景材料的歸納與概括過程的教學；第二，在公式、定理教學中，重視對公式、定理證明的教學，而忽視通過放手讓學生去實踐從觀察、歸納、猜想中得出結論的教學；第三，在解題教學中，重視給出一個完美解答模式的教學，而忽視引導學生共同思考、掙脫困境獲得解題方式歸納過程的教學。事實上，科學認識總是歸納與演繹的結合，過分重視演繹推理能力訓練的教學，往往掩蓋了一個最重要的事實：在數學的實際創造性活動中，觀察、歸納和猜想起到了不可或缺的作用。
當然，在我們分析重演繹輕歸納的現象時，也不能忽視另一種情況，看重歸納並排斥演繹。認為演繹是從一般到個別的推理，因而運用演繹法得不出什麼新的結論來，隻有歸納法才能發現新的東西。這個觀點也是片麵的。因為，認識了一般不等於認識了所有的個別情形，要判定某個複雜的個別結論是否真實可靠、是否為一般結論下的邏輯結果時，正需要利用多個一般性結論進行演繹論證。一般結論與個別結論之間的關係有時並非一目了然，要確認個別結論為真理常常需要艱苦的演繹工作。所以學會演繹不僅使人思維清晰、嚴密，而且也是發現和確認真理不可缺少的部分，同時不完全歸納所得出的結論也並不總是正確的。
重演繹輕歸納、重歸納輕演繹的做法都是片麵的。偉大導師恩格斯指出：“正如分析與綜合一樣，歸納與演繹是必然聯係著的，不應當犧牲一個而把另一個捧到天上去，應當把每一個用到該用的地方，而要做到這一點，就隻有注意它們的相互聯係，它們的相互補充。”著名數學教育家波利亞也十分強調數學知識的雙重性，即“歸納與演繹”的雙重性，因此，我們提出“歸納與演繹並用”的教學原則，就是要正確處理好歸納與演繹的關係，教學中不僅要表現知識的結果和狀態，還要突出知識的演化和過程。具體地說，在教材處理上，要求使課堂教學充分顯示出具有“雙重性”的教學內容，充分體現知識發生過程的“歸納性”材料；在教學方法上，要引導學生像科學家發現真理一樣去學習，一方麵鼓勵學生善於歸納，大膽猜想，另一方麵又要引導學生善於運用演繹推理的方法，對猜想進行證明和整理。
例如，有一節關於“三角形內角和”的課堂教學，可以看成是典型的重演繹輕歸納現象。該教師采取先讓學生看課本上的定理全文，然後再通過實驗的方法進行驗證。在定理證明教學時，也是先讓學生看看課本證明的全文，然後再回答輔助線是怎樣添加的等問題。這樣處理是純演繹性教學法的典型案例，學生的學習過程，僅僅是在知道結論的基礎上，作一些反思，由於缺少歸納與猜想的過程，因而數學發現的過程被徹底忽視，學生數學能力得不到培養。
·１１８·第五章數學教學原則另外一節“三角形內角和定理”課是這樣設置的。在提出三角形三個內角之間有什麼關係問題後，設計了如下實驗：用橡皮筋構成△犃犅犆，其中頂點犅、犆為定點，犃為動點（如圖５３），放鬆橡皮筋後，點犃自動收縮於犅犆上。請同學們考察點犃變動時所形成一係列三角形△犃１犅犆，△犃２犅犆，△犃３犅犆，……，其內角會產生怎樣的變化？
BAnA1A2A3C圖５３在上述實驗的基礎上，學生可能得到下麵結論：（１）三角形各內角的大小在變化過程中是相互聯係，相互影響的。
（２）三角形的最大內角不會等於或大於１８０°（３）三角形犃犅犆中，當犃點離犅犆越來越近時，∠犃越來越接近１８０°，而其他角越來越接近於０°；當犃點遠離犅犆時，∠犃越來越小，逐漸趨近於０°，而犃犅與犃犆逐漸趨向平行，∠犃、∠犆逐漸接近為互補的兩個同旁內角，即∠犃＋∠犆→１８０°。
（４）猜想：三角形三個內角和可能是１８０°。
本節課精心設計了實驗，遵循了從生動的直觀到抽象、歸納到演繹的認識規律，力求最大限度調動學生學習的積極性，力求把教的過程轉化為學生自我觀察、歸納、猜測、論證、探索、發現的過程，學生的數學學習能力會得到了充分的提高。
又如，等比數列前狀項和公式的教學。為了探求“錯位相減法”的由來，可由歸納入手，得到猜想，然後再由分析法和綜合法給出公式完美的推導過程。
以國王獎勵象棋發明人的故事引出等比數列犛６４＝１＋２１＋２２＋…＋２６３求和問題，然後把上述問題一般化，就是如何求等比數列前狀項和犛狀＝犪１＋犪１狇＋犪１狇２＋…＋犪１狇狀－１的問題。
當狇＝１時，犛狀＝狀犪１。
當狇≠１時，從特殊情況考察起：犛１＝犪，犛２＝犪１（１＋狇），犛３＝犪１（１＋狇１＋狇２），…，犛狀＝犪１＋犪１狇＋犪１狇２＋…＋犪１狇狀－１。
·１１９·數學教學論導引以犛３為突破口，由犛３＝犪１（１＋狇１＋狇２）聯想到１－狇３＝（１－狇）（１＋狇１＋狇２）推得１＋狇１＋狇２＝（１－狇３）／（１－狇），於是有犛３＝犪１（１－狇３）／（１－狇），類似地可將犛２，犛１變形，即犛２＝犪１（１－狇２）／（１－狇），犛３＝犪１（１－狇３）／（１－狇）。
由犛１，犛２，犛３歸納猜想，可能有犛狀＝犪１（１－狇狀）／（１－狇），試圖證明此式成立。
要證上式成立，即證犛狀－狇犛狀＝犪１（１－狇狀）。
觀察左邊的結構：犛狀－狇犛狀是兩項之差，這個差從何而來？此時會自然地想到要在犛狀＝犪１＋犪１狇＋犪１狇２＋…＋犪１狇狀－１（１）兩邊同乘以公比狇，得狇犛狀＝犪１狇＋犪１狇２＋犪１狇３＋…＋犪１狇狀－１＋犪１狇狀（２）然後（１）、（２）兩式求差即可，如此得到課本上的“錯位相減法”。此時可自然地引出“錯位相減法”。
４．揭示數學背景的原則背景是依賴於自然而然地產生問題的生活場景或較為初級的數學活動，這個問題既能反映和覆蓋整個單元的知識的核心或由來，同時又涉及到先前觀念。世界是一個整體，人們在生活中所觀察到的現象，盡管還僅僅是表麵的，但已經蘊含了其在下一個認識層次所會遇到的問題。數學背景則是指數學知識產生所必須依賴的數學曆史情境或數學現實環境，是數學知識產生的必然。數學理論的建立必有其一定的背景，或因數學外部客觀實際的需要，或因數學內部自身矛盾的解決，數學家在滿足實際需要和解決數學自身矛盾的過程中建立了新的數學。第一次數學危機的產生促使人們進一步去認識和理解無理數，另一方麵導致了公理幾何學和古典邏輯的誕生。１７世紀工業革命引出了速度問題、切線問題、極值問題和求積問題，於是微積分理論應運而生。數學知識產生的這一背景因素同樣生動地反映在中小學數學教材各知識點之中，數學課堂教學就應該在揭示數學知識的背景過程中，使學生既知道是什麼，又知道為什麼，簡單地說就是來龍去脈，就是要從廣泛得多的角度來向學生介紹數學思想、發展規律和背景。
數學家徐利治說過：“如果一位數學教師隻給學生講清楚一些數學定理的形式演繹論證步驟，不指出那些定理的直觀背景和整個來龍去脈，那就是所謂‘見樹不見林’。優秀的數學教師當然都會讓學生既見樹又見林，教師本身對數學題材有一番直觀的整體認識和分析概況，使題材內容成為他自己腦海中非常·１２０·第五章數學教學原則直觀淺顯的東西，這樣才可能誘導學生從直觀上真正弄懂所學知識。”史寧中教授認為：“我們學習的數學，雖然表現形式是第二次抽象，但我們必須講第一次抽象，講具體的背景，不要遨遊於一大堆抽象的符號之間，要有感性認識，要建立起直觀來，有了直觀才能判斷。”他還說“雖然數學的表達是符號的，但在教學中是要有背景的”。
例如，在有了傾斜角概念完全可以刻畫直線的傾斜程度的條件下，為什麼還要建立直線斜率的概念？直線上的動點（狓，狔）與作為不變量的傾斜角，不能直接建立其關係，必須將傾斜角代數化，這樣才能將變量（狓，狔）和不變量斜率建立起聯係，這就是建立直線的斜率概念的數學背景。在對斜率代數化時為什麼使用了正切而不是正弦或餘弦，是因為正切函數的單調遞增性。無論是銳角還是鈍角，都是傾斜角越大斜率越大，正弦或餘弦函數達不到這個效果。
又比如，負數的產生源於兩個背景：首先是客觀實際的需要。現實世界中廣泛存在著具有相反意義的量，而量與量發生作用時需要數學方法去解決，已有的數不夠用了。其次是數學自身和諧的需要。負數的引入要滿足數係擴充的基本思想，把算術數集擴充到有理數集時，要讓學生清楚新與舊的差異、新與舊的不同意義（例如０不再表示沒有，乘法有了新的含義），同時還要使學生明白，負數引入之後，即有理數集建立以後，原來的算術數集僅僅是新數集的一種情況，互相並不排斥（運算關係、交換律等主要性質、解決問題時原來用的運算方法在新數集仍然保持）。
因此，學生學習負數時就應該講清楚負數產生的背景。教師在引導學生認識負數時，可以溫度的變化、海拔的高低、效益的盈虧等生活現象為現實背景，說明實際生活當中存在著大量具有相反意義的量，進而研究如何用數來表示它們。首先，如果仍舊用以前學過的數來表示，就必須用語言來指明方向（如零上５℃，零下５℃）。顯然，這種表達方式不夠簡潔，也不便於統計，所以要建立一個新的數來解決上述問題。由此，引進表示相反關係的一對符號“＋”和“－”。接著，師生共同歸納出負數的意義，即用以前學過的數（零除外）前麵放上“－”號或“＋”號來表示相反意義的量，從而引出負數和正數。通過上述教學情境的引導，學生不僅了解了負數產生的背景和意義，同時為以後數的概念進一步擴充奠定了堅實的思想基礎，這才是學習負數真正的落腳點。僅僅從海拔和天氣報告溫度的表示中見到帶“－”號的數來讓學生認識負數，學生得到的僅僅是一個符號而已，不可能真正地感悟到負數所蘊含的數學思想。
數學背景是指數學知識產生所必須依賴的數學曆史情境或數學現實環境，是數學知識產生的必然。數學理論的建立必有其一定的背景，或因數學外部客·１２１·數學教學論導引觀實際的需要，或因數學內部自身矛盾的解決，數學家在滿足實際需要和解決數學自身矛盾的過程中建立了新的數學。數學課堂教學就應該在揭示數學知識的背景過程中，使學生知道數學知識的來龍去脈。
５．加強數學應用的原則在相當長的時期內，數學教學中存在著一種普遍的偏差，無論是知識傳授、技能訓練，還是能力培養以及有關學習興趣、學習態度方麵的非智力因素教育，都在很大程度上是為升學考試服務的，為數眾多的內容也隻有升學的價值，因而那些升學無望的學生在年複一年地接受著升學考試的熏陶，他們一旦走向社會必然會出現多方麵的不適應。如個性品質上的不適應，數學知識、技能上的不適應，數學能力上的不適應等。
在應試教育狀況下，學生頭腦中的數學知識與實際生活經驗構成了兩個互不相幹的“認知場”，似乎數學是書本上寫的，老師講的，它與現實生活全然無關。因此，我們認為改變這種狀況的唯一途徑，就是在數學教學中明確指出：通過數學教學，使學生養成運用數學的意識。所謂運用數學的意識，是指運用數學知識的心理傾向性。它包含兩方麵的意義：一方麵，當主體麵臨有法解決的問題時，能主動嚐試著從數學的角度，運用數學的思想方法去探求解決問題的策略；另一方麵，當主體接受一個新的理論時，能主動探索這一新理論的實際應用價值。
“加強數學應用的原則”是由數學具有廣泛的應用性特點決定的，數學與生活、生產有著緊密聯係，這種聯係在初等數學階段以及現代各數學分支的建立初期表現得最為直接，它推動著數學的發展和數學教育事業的發展。因此可以說，生活、生產實際是數學發展的原動力，也是數學教育事業的原動力，加強數學與生活生產的聯係，也必然是學生學習數學，掌握數學的原動力。因此，發展學生運用數學的意識，使他們在對數學的積極運用過程中，能充分體驗數學的力量、數學的美。隻有學生在各種各樣的具體問題中最廣泛地使用數學知識，才有可能培養學生的分析概括能力，數學中這種抽象概括能力與廣泛應用性的辯證統一表明，培養學生運用數學的意識是促使學生形成健全數學頭腦的極重要的因素之一。
眾所周知，數學具有最廣泛的應用性特點，它表現在如下幾個方麵：①數學提供了特有的思維訓練；②數學提供了科學的語言表達；③數學是人類文化總體的重要組成部分。
·１２２·第五章數學教學原則從現代角度看，數學已經滲透到我們日常生活所處的環境之中，數學的觀念在眾多層次上影響著我們的生活方式和工作方式。
（１）日常生活需要數學。如在改善生活水平方麵，馬上能用到的知識，比如銀行存款利率的優劣、商品價格的計算、看懂比例尺畫的圖、理解通貨膨脹率的含義、家用電器的使用、對營養品認識和使用等，這些能力直接帶來實際利益。
這種數學的最基本應用，作為現代社會人的生活常識，是現代人的基本文化。
（２）公民的數學意識是最基本的素質。如關於核擴散、稅率、公共衛生、房價政策、房產政策、人口增長率、犯罪率等本質上與數學有關的內容，公民的數學意識，都直接影響著公民對國家政策的認識和理解，因此，數學成為“有見識的公民”的文化基礎。
（３）人們的職業離不開數學。如由於現代科學技術使工作場所“數學化”，導致數學滲入到現代社會機體的每一個部分，現代化的趨勢使工作領域更少體力勞動而更多腦力勞動、更少機械的而更多電子的、更少例行公事的而更多隨機變化的，現在更需要僅與以前上大學的極少數人相關的數學能力，同時也要成為所有人要達到的目標，數學是從事任何一項事業所必不可少的工具。
（４）有文化的公民必須了解數學。數學與人類文化息息相關，數學文化在人類的文化中占有特殊的地位。正是這種地位決定了每個人都必須接受數學教育，這種教育並非要求每個人都成為數學家，而是要通過對數學的認識和理解，提高文化素質，成為現代社會發展所需要的人。
那麼，如何通過數學教學來培養學生運用數學的意識呢？主要從兩方麵入手：一方麵，應該把培養學生具有運用數學的意識落實到整個數學教學過程，這主要是因為，作為數學學科的雙基的內容是相對穩定的，基礎數學的體係一經確立，則在相當長的時期內可能不會有多大的變化。問題的關鍵在於，對於同一知識點，由於教學指導思想不同，其敘述方式、講解方式以及相應的教學效果都會大相徑庭。另一方麵，也是最根本的方麵，即打破傳統的單純的學科式數學知識體係，從社會需要、就業模式及學生實際情況和發展可能性出發，更新教學內容，使學生們盡可能多地接觸一些與現實生活密切相連的，對學生的數學頭腦有訓練價值的應用性數學。因為，教育最終應符合社會發展的需要，應滿足人的個性發展的要求。所有這些，目的無非是在於擴展學生的數學眼界，培養學生運用數學的意識，增強其走向社會的積極參與意識和適應能力。
以下列舉兩則案例說明加強數學應用教學的必要性和重要性。
某數學教材收錄了如下問題，該問題有較強的現實意義，充分體現了數學的應用價值。問題：企業有５個股東，１００個工人，１９９０—１９９２年間收益情況如·１２３·數學教學論導引表５１：表５１年份股東紅利（萬元）工資總額（萬元）１９９０５１０１９９１７．５１２．５１９９２１０１５將表中數據用圖表示出來（如圖５４）。
15200%2000010150%100005100%500015001000199019911992199019911992199019911992(1)(2)(3)圖５４圖５４（１）由股東畫，圖５４（２）由工會領導畫，圖５４（３）由工人畫。三幅圖反映了工人、工會領導人、股東在為是否增加工資進行的一場激烈的談判，請同學們仔細分析圖表，說說每幅圖所表達的含義？
事實上，圖５４（１）表明：兩條平行線，表明勞資雙方“有福共享，有難同當”。圖５４（２）表明：以１９９０年為１００％，股東紅利增長圖２００％，而工人總額僅為１５０％，所以應加速增長工資（從圖形看，差距越來越大）。圖５４（３）表明：以股東和工人的個人所得計算，收入相差十分懸殊。
這道題依數據所畫的圖像更深入地描述了數據所表達的信息，因而十分有說服力。從這裏我們也看到數學的正確運用與否已成為影響人生存的重要因素，加強數學應用能力的培養勢在必行。
再舉一“概率知識”在新聞調查中應用的案例。
問卷調查是社會科學中最常用的方法之一，有時研究人員需要用這種方法精確地測定持有一種特定信念或經常介入某種行為的人所占的百分比。這種調查要求從隨機挑選的一個人群中得到對他們所提問題的誠實回答。問題的關鍵是既要收集到真實有效的信息，同時又能保護被調查者的隱私不受侵犯。