圖書在版編目（犆犐犘）數據數學教學論導引／劉耀斌編著．—２版．—南京：南京大學出版社，２０１８．１１ＩＳＢＮ９７８７３０５２１２１１６Ⅰ．①數…Ⅱ．①劉…Ⅲ．①中學數學課教學研究Ⅳ．①Ｇ６３３．６０２中國版本圖書館ＣＩＰ數據核字（２０１８）第２６００５８號出版發行南京大學出版社社址南京市漢口路２２號郵編２１００９３出版人金鑫榮書名數學教學論導引編著劉耀斌責任編輯賈輝吳汀編輯熱線０２５８３６８６５３１照排南京紫藤製版印務中心印刷南京人民印刷廠有限責任公司開本７８７×９６０１／１６印張１３．７５字數２５６千版次２０１８年１１月第２版２０１８年１１月第１次印刷ＩＳＢＮ９７８７３０５２１２１１６定價３５．００元網址ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｎｊｕｐｃｏ．ｃｏｍ官方微博ｈｔｔｐ：／／ｗｅｉｂｏ．ｃｏｍ／ｎｊｕｐｃｏ官方微信ｎｊｕｐｒｅｓｓ銷售谘詢（０２５）８３５９４７５６版權所有，侵權必究凡購買南大版圖書，如有印裝質量問題，請與所購圖書銷售部門聯係調換第二版前言《數學教學論導引》（第一版）是在新一輪基礎教育課程改革背景下和實際教學需要情況下編寫的。出版後，教育部於２０１１年１２月頒布了《義務教育數學課程標準（２０１１年版）》，是對２００１年公布並付諸實施的《全日製義務教育數學課程標準（實驗稿）》的修訂，新修訂的《義務教育數學課程標準（２０１１年版）》在體例與結構、前言、課程目標、內容標準、實施建議等方麵都有大的修改。突出對學生創新意識的培養，提出“四基、四能”等目標，給出數學十個核心概念。在注重直接經驗、自主探究的同時，也關注間接經驗、教師的作用，同時關注直觀與抽象的統整，演繹與歸納的結合。《數學教學論導引》修訂後將體現新修訂的《義務教育數學課程標準（２０１１年版）》的精神，並注意與《普通高中數學課程標準（２０１７版）》呼應，重視滲透數學核心素養培養的理念。另外，教育部從２０１５級師範生起，施行教師資格證統一考試，《數學教學論導引》（修訂）將保持與教育部教師資格證統一考試大綱要求的一致性。《數學教學論導引》（修訂）進一步滲透數學教學首先是數學的理念，強調數學教學一方麵要把握數學本質，另一方麵要接受教育理論的指導。
《數學教學論導引》（第一版）出版已有近六年的時間，基礎教育研究成果層出不窮，修訂時盡量吸收與教材主題相關的內容，同時納入編者本人近年來教學科研新思考。
《數學教學論導引》（修訂）在每章後配備適量思考題，既是對本章重點內容的總結，也是促進師範生消化思考、技能訓練的一個途徑。
再次重申，書中引用了許多研究者的研究成果，其中能確切指出材料和觀點的，均以適當方式說明，有些材料係輾轉引用，受條件所限一時無法深入考證與查實。在此，對書中所引用材料的作者再次致以最深深的謝意。
感謝戴風明教授的進一步指導，感謝王雙副教授（博士）參與修訂工作。
編者目錄認識“數學教學論”………………………………………………………………１第一章數學教學的價值………………………………………………………１２第一節數學的價值………………………………………………………１２一、數學的研究對象…………………………………………………１２二、數學的特征………………………………………………………１６三、數學的地位及貢獻………………………………………………２１四、數學的價值………………………………………………………３４第二節數學教育的功能…………………………………………………３５第二章數學課程概述與新課標簡介…………………………………………３８第一節課程和數學課程的含義…………………………………………３８第二節影響中學數學課程設置的因素分析……………………………４０一、社會因素…………………………………………………………４０二、數學因素…………………………………………………………４２三、學生因素…………………………………………………………４３四、教師因素…………………………………………………………４４五、教育理論因素……………………………………………………４５六、課程的曆史因素…………………………………………………４５第三節國際數學課程改革回顧…………………………………………４５一、克萊茵貝利運動…………………………………………………４５二、新數學運動………………………………………………………４６三、“回到基礎”和“大眾數學”………………………………………４９第四節我國數學新課程介紹……………………………………………５２一、新課程標準的背景………………………………………………５２二、《全日製九年義務教育數學課程標準（實驗稿）》簡介…………５３·１·數學教學論導引三、課程改革的爭鳴…………………………………………………５５四、《義務教育數學課程標準（２０１１年版）》簡介……………………５８第三章數學教學基本知識……………………………………………………６７第一節數學教學過程……………………………………………………６７一、數學教學過程中的基本要素……………………………………６７二、數學教學過程的動態結構………………………………………６８第二節數學教學及其本質………………………………………………６９第三節數學教學模式……………………………………………………７４一、數學教學模式的含義……………………………………………７４二、常見的數學教學模式……………………………………………７５第四節數學教學方法……………………………………………………８１一、教學方法的啟發式原則…………………………………………８１二、常用的數學教學方法……………………………………………８２第四章數學學習的基本知識…………………………………………………８７第一節數學教育與數學學習……………………………………………８７第二節數學學習的特點和類型…………………………………………８８一、學生的學習活動…………………………………………………８８二、數學學習的特點…………………………………………………８９三、數學學習的類型…………………………………………………９０四、數學學習的四個階段……………………………………………９２第二節數學學習的“建構學說”…………………………………………９４第三節數學學習的“再創造”理論………………………………………９７一、什麼是“再創造”…………………………………………………９７二、有指導的“再創造”………………………………………………９８三、怎樣指導“再創造”………………………………………………９９第五章數學教學原則………………………………………………………１０２第一節教學原則的一般概念…………………………………………１０２第二節數學教學原則及其選擇………………………………………１０３一、數學教學的基本原則…………………………………………１０３二、數學教學的特殊原則…………………………………………１０７·２·目錄三、數學教學原則的選擇…………………………………………１３１第六章數學教學的基本工作………………………………………………１３３第一節備課與說課……………………………………………………１３３一、教材分析………………………………………………………１３３二、了解學生………………………………………………………１３６三、編寫教案………………………………………………………１３８第二節說課……………………………………………………………１４９一、說課的類型……………………………………………………１５０二、說課應注意的問題……………………………………………１５２第三節微課……………………………………………………………１５２第四節數學教學藝術的追求…………………………………………１５３第七章中學數學中的邏輯問題……………………………………………１６０第一節邏輯規律………………………………………………………１６０一、同一律…………………………………………………………１６１二、矛盾律…………………………………………………………１６１三、排中律…………………………………………………………１６２四、充足理由律……………………………………………………１６２第二節概念……………………………………………………………１６３一、概念的概述……………………………………………………１６３二、概念的分類……………………………………………………１６５三、概念的定義……………………………………………………１６６四、概念的係統……………………………………………………１６８第三節判斷……………………………………………………………１６９一、數學命題………………………………………………………１６９二、命題的結構……………………………………………………１６９三、命題的變化……………………………………………………１７０四、等價命題………………………………………………………１７１五、命題的複雜性…………………………………………………１７２第四節推理和論證……………………………………………………１７３一、推理……………………………………………………………１７３二、論證……………………………………………………………１７４·３·數學教學論導引第八章數學教學質量的測量與評價………………………………………１８１第一節數學教學測量與評價概述……………………………………１８１一、教學測評的功能………………………………………………１８２二、教學評價的分類………………………………………………１８３三、教學測評的特征………………………………………………１８５第二節數學學習質量的測評…………………………………………１８６一、數學試題的題型和編製………………………………………１８６二、數學試卷的編製………………………………………………１８８三、學生學習評價的改革趨勢……………………………………１８９第三節數學課堂教學質量評價………………………………………１９１一、數學課堂教學質量評價的教師因素分析……………………１９１二、數學課堂教學質量評價方案…………………………………１９２三、聽課和評課……………………………………………………１９３第九章數學教師的進修與科研……………………………………………１９８第一節中學數學教師的基本素質……………………………………１９８一、道德素質………………………………………………………１９８二、文化素質………………………………………………………１９９三、能力素質………………………………………………………２０１四、身心素質………………………………………………………２０１五、教師的風度儀表………………………………………………２０２第二節數學教師的進修………………………………………………２０２一、數學教師進修與提高的必要性………………………………２０２二、數學教師進修與提高的途徑…………………………………２０３三、數學教師進修的內容…………………………………………２０３第三節數學教師的科研………………………………………………２０４一、選題……………………………………………………………２０５二、寫作……………………………………………………………２０８參考文獻………………………………………………………………………２１２·４·認識“數學教學論”數學是一門給人以智慧的科學，數學教學是一種充滿魅力的藝術。偉大的德國數學家希爾伯特的學生外爾曾經這樣評價希爾伯特，“希爾伯特這位吹笛人所吹的甜蜜的蘆笛聲，誘惑著許多老鼠投入數學的深河”。希爾伯特講課的內容“不僅是數學，還有希爾伯特對科學的信念以及對理性和科學的熱愛”。這樣的境界多麼令人憧憬！
隨著人類教育現象的出現，逐步就有了學校教育，自然就會出現教學方法的問題。開始時，教學方法並沒有形成獨立的科學體係，人們隻是摸索、積累自己的經驗和零散地學習別人的有關經驗。如孔子的教育思想就屬此類。師範教育出現後，為了有效地提高教授水平，逐步出現了“教授法”、“教學法”、“教材教法”。以我國來說，１９０４年清政府在《奏定優級師範學堂章程》中明確規定了師範生在校期間必須學習“教育學”，其中包括各科“教授法”，１９１７年以後，將“教授法”改稱為“教學法”。１９３９年國民政府教育部頒布的《師範學院分係必修及選修科目表施行要點》又把這個學科的名稱定為“分科教材及教法研究”。這期間，我國高等師範院校裏就出現了“數學教材教法”的課程。新中國成立後，中央人民政府教育部在１９５０年頒布的《北京師範大學暫行規程》中明確規定了中學教材教法為公共必修課程。１９５７年，教育部在修訂教材教法課的內容時，規定這門課程的內容為：了解中小學教材內容和編寫原則，熟悉基本的教學方法，對使用教材過程的經驗和問題進行研究。此後，我國各地師範院校大專科的數學專業就設立了“中學數學教法”或“中學數學教材教法”等課程。
“文革”期間，學科教材教法受到了衝擊。“文革”後，特別是進入２０世紀８０年代以來，我國在學科教學的改革上取得了顯著的成績，積累了許多有益的經驗，還十分注意吸收外國的先進經驗。國家教育領導部門也十分重視學科教育學的發展，原國家教委副主任柳斌同誌在１９８８年就說過，“我們不但要建立自己的教育學，還要建立自己的學科教育學，這方麵的工作是大量的，有廣闊的天地，大有可為。如果要講學術性，我們師範教育的學術性的特色就在這裏……”隨著社會的進步，科學技術的發展，特別是出現了社會數學化的趨勢，從幼兒教育到高等教育，從學校教育到社會教育，數學教育都占有相當重要的地位，·１·書數學教學論導引並已經成為整個教育的一個重要組成部分。過去的數學教學法或教材教法已經不能充分地承擔數學教育的重擔，因而提出了創建數學教育學的問題。這是社會發展和科學進步的必然。
自１９８２年我國數學教育界提出創建具有中國特色的數學教育學以來，廣大數學教育工作者在數學教學理論和實踐等方麵進行了深入細致的研究，並取得了豐碩的成果。目前，我國對數學教育學的研究日臻成熟，已進入了理論建構的新階段，呈現出一派欣欣向榮的景象。
隨著現代教學論和數學學科的發展，以及數學教育學理論的建立，師範院校曾經開設的數學教材教法課程，已逐步演變為數學教育學。傳統的教材教法課注重教學經驗的總結與歸納，注重教學技能的傳授與獲取，而數學教育學則是一門研究數學教育現象，揭示數學教育規律的學科，是建立在數學和教育學的基礎上，並綜合運用心理學、認知科學、邏輯學等成果於數學教育實踐而形成的一門文理滲透型的交叉學科，是教育科學的重要組成部分。數學教學論又是數學教育學的一個分支，它旨在研究傳授數學知識的一般規律，並為指導和改進數學教學實踐提供科學的理論依據。
數學科學、教育科學、認知科學、心理科學所取得的重大成就和進展，為數學教學論的教學提供了新的理論基礎和新的方法論，廣大數學教師多年積累的教學經驗為數學教學論研究提供了豐富的素材。因此，在教學中，要力求做到精益求精、求新務實，盡量反映我國數學教學多年來的成功經驗，反映現代教學理論研究的新成果，以及國際數學教育中湧現的新思想、新觀點和新方法。
那麼，師範生為什麼要學習和研究“數學教學論”？根據以往數學教學法課程教學的經驗，師範生往往不夠重視，存在“一聽就懂，一看就會，一做就難”的現象。這裏有必要首先和同學們說一說學習必要性的問題。一個合格的師範生乃至將來成為優秀的中學數學教師，必須至少具備三個條件：①具有堅實的數學理論基礎，能在高觀點下研究和處理中學數學問題。②掌握基本的數學教育理論，能在正確的數學教育理論指導下，進行數學教學研究與實踐。③形成嫻熟的數學教學技能，能將板書、語言、多媒體、教具等有機結合起來，提高課堂教學效率。
師範生在校期間必須掌握必備的數學專業知識、基本的數學教育理論和規律，學會備課、上課、輔導和批改作業等教學基本功，了解中學數學教改形勢，把握最新數學教改動態等。有人說中學數學內容我了如指掌，又學了那麼多的高等數學，教初中、高中數學還不是易如反掌，學不學教學法無所謂；甚至還能列舉一些沒有經過師範教育培訓而成為優秀教師的例子。這種想·２·認識“數學教學論”法是否正確，一個合格的師範生乃至將來成為優秀的中學數學教師，必須至少具備哪些條件，探討以下幾個實際問題後，大家可以自己去尋找答案。
問題１算術與代數的區別與聯係。
我們所麵對的“代數”課本，不是簡單知識的羅列，它是千年當中若幹代數學家辛勤探索的知識寶庫，它是活潑、生動、不斷發展的數學思想的輝煌展示。
曾經在中學數學教師培訓班上和老師們討論這個問題：小學裏的方程與初中裏的方程有什麼區別與聯係？幾乎所有老師不能全麵而準確地回答。這個問題看似簡單，其實很重要，不能理解這個問題，就不能處理好小學數學和初中數學教學銜接問題，就不能很好地完成各自的教學目標，小學裏容易造成“拔苗助長”，中學裏容易造成“囫圇吞棗”。事實上，這個問題實質是在問算術與代數的區別與聯係問題？事實上就是要回答：（１）算術與代數的根本區別在哪裏？
（２）字母代數思想有什麼優越性？
眾所周知，用字母表示數是代數學的基本思想。算術與代數是數學中最基礎、最古老的兩個分支學科，算術是代數的基礎，代數則是由算術演進而來的，正是由於字母代數這種數學思想的產生，促進了算術向代數的演進。由字母代替數字，或由“數字符號化”而產生了“代數”這個數學分支學科，但人類從“算術”走向“代數”卻曆經千年（現在中學卻在幾年的時間就學習了初等代數的全部內容），代數的產生是“數學中真正的進展”，“代數”的確是“更有力的工具和更簡單的方法”。因此，我們所麵對的“代數”課本，不是簡單的知識羅列，它是千年來一代又一代數學家辛勤探索的知識結晶，它是活潑、生動、不斷發展的數學思想的輝煌展示。
這個問題的根本區別就在於算術把未知數排斥在運算之外，而代數則允許未知數作為運算對象參與運算。如果說算術也論及未知數的話，那麼這個未知數隻能單獨地處在等式的左邊，所有已知數在等式右邊進行運算，未知數沒有參與運算的權利。因此，算術方法有很大的局限性，對於那些大量的具有複雜數量關係的實際問題，運用算術方法往往需要很強的技巧，列算式也不那麼容易。而對於那些含有多個未知數的實際問題，要利用算術方法解決實際問題常常是不可行的。
在代數中，方程作為由已知數與未知數構成的條件等式，本身就意味著未知數與已知數有著同等的地位，未知數不僅成為運算的對象，而且可以依照法則從等式一邊移到另一邊。解方程的過程，實際上是通過已知數與未知數的重新組合，把未知數轉化為已知數的過程，即把未知數置於等式的一邊，把已知數·３·數學教學論導引置於等式的另一邊，從這種意義上看，算術運算是代數運算的特殊情況，代數運算是算術運算的發展和推廣。
由於引入了字母代數思想，代數運算較之算術運算有了更大的普遍性和靈活性，極大地擴展了數學的應用範圍。許多用算術無法解決的問題，用代數方法卻能輕而易舉地解決。
不僅如此，字母代數的思想的出現對整個數學的發展也產生了巨大而深遠的影響，數學中的許多重大發現都與字母代數思想有關。如解一元二次方程的根的問題導致了虛數的發現，對五次以上方程的求解導致了群論的誕生。正因為如此，人們把字母代數思想的誕生作為數學思想方法發生重大轉折的重要標誌。
一般說來，字母代數思想有巨大的優越性：（１）用字母表示數能夠簡明地表示事物的本質特征和規律。
（２）用字母表示數具有辯證性。字母表示數既具有任意性，可代表任一個數；同時字母表示數又具有確定性，可表示一個確定的具體的數。
就數學教學而言，“由算術到代數的過渡”是中學數學教學的重大難關之一，教學中不僅要教課本上列舉出來的知識，更要教滲透在其中的數學思想方法，使學生深刻領會字母代數思想，靈活運用字母代數的方法。否則，學生始終會對狘犪狘＝±犪模糊不清，也不能接受犛＝犪犫是運算結果。
以上問題的討論充分說明，我們隻有基礎紮實，才能深刻理解與吃透教材，才能居高臨下，把握數學的本質。
問題２關於逆運算。
關於有理數的四則運算之間的關係，有一學習資料中是這樣表述的，“加法與減法互為逆運算，乘法與除法互為逆運算。”而另一教材中是這樣表述的，“小學學過的方法是根據加減法互為逆運算、乘除法互為逆運算的關係來解的。”但普及義務教育以前的初中課本《代數》第一冊中隻寫了“有理數減法是有理數加法的逆運算，有理數除法是有理數乘法的逆運算”。
究竟什麼叫做逆運算？為什麼減法是加法的逆運算，除法是乘法逆運算？
課本為什麼不寫“加法是減法的逆運算”、“乘法是除法的逆運算”？
為了回答這些問題，必須弄清數的“運算”和“逆運算”的數學定義。
數的運算，通常總是在給定的數集上定義的。
定義Ⅰ設犃是一個給定的數集，而是一個給定的法則，如果根據法則，對於從集犃中按順序取出來的任何兩個數犪與犫，都能得到集犃中的一個數犮，即有犪犫＝犮，那麼法則就叫做集犃的一種運算。
·４·認識“數學教學論”顯然，按照數的“運算”的定義，普通的加法“＋”和減法“－”，都是有理數集Ｑ的一種運算；普通的乘法“×”和除法“÷”，都是非零有理數集Ｑ′（即由一切不為零的有理數所組成的集合）的一種運算。
那麼，什麼叫做逆運算呢？
定義Ⅱ設是數集犃的一種運算，如果對於從集犃中按順序取出來的任何兩個數犪與犮，在集犃中總存在這樣一個數狓，它能同時滿足狓犪＝犮（１）和犪狓＝犮（２）並且，這個數狓可以根據集犃的另一種運算⊙由犮與犪得到，即有犮⊙犪＝狓（３）那麼，運算⊙就叫做運算的逆運算。
特別的，如果由（３）可以得到滿足（１）的數狓，那麼運算⊙就叫做運算的右逆運算；如果由（３）可以得到滿足（２）的數狓，那麼運算⊙就叫做運算的左逆運算。
現在我們來分析有理數的四則運算之間的關係。
如前所述，加法“＋”是有理數集Ｑ的一種運算。對於從集Ｑ中按順序取出來的任何兩個數犪與犮，在集Ｑ中顯然存在這樣一個數狓，它能同時滿足狓＋犪＝犮和犪＋狓＝犮並且，這個數狓可以根據集Ｑ的另一種運算———減法“－”由犮與犪得到，即有犮－犪＝狓因此，根據上述“逆運算”的定義，減法“－”是加法“＋”的逆運算。
但是，不能說“加法是減法的逆運算”，這是因為，對於從集Ｑ中按順序取出來的任何兩個數犪與犮，在集Ｑ中一般不存在這樣一個數狓，它能同時滿足狓－犪＝犮（１′）和犪－狓＝犮（２′）例如，不存在這樣的有理數狓，它能同時滿足狓－１＝３和１－狓＝３．因此，根據上述“逆運算”的定義，減法“－”沒有逆運算，當然就不能說“加法是減法的逆運算”了。
不過，在集Ｑ中隻滿足（１′）的數狓是存在的，並且這個數狓可以根據加法“＋”由犮與犪得到，即有犮＋犪＝狓，因此我們可以說“加法是減法的右逆運算”。
在集Ｑ中，隻滿足（２′）的數狓也是存在的，但這個數狓不能根據加法“＋”由犮·５·數學教學論導引與犪得到，即犮＋犪≠狓，因此我們不能說“加法是減法的左逆運算”。
再看乘法“×”，它是非零有理數集Ｑ′的一種運算。對於從集Ｑ′中按順序取出來的任何兩個數犪與犮，在集Ｑ′中顯然存在這樣一個數狓，它能同時滿足狓×犪＝犮和犪×狓＝犮並且，這個數狓可以根據集Ｑ′的另一種運算———除法“÷”由犮與犪得到，即有犮÷犪＝狓因此，根據上述“逆運算”的定義，除法“÷”是乘法“×”的逆運算。
但是同樣的，不能說“乘法是除法的逆運算”。這是因為：對於從集Ｑ′中按順序取出來的任何兩個數犪與犮，在集Ｑ′中一般不存在這樣一個數狓，它能同時滿足狓÷犪＝犮（１″）和犪÷狓＝犮（２″）例如，不存在這樣的有理數狓，它能同時滿足狓÷２＝３和２÷狓＝３因此，根據上述“逆運算”的定義，除法“÷”沒有逆運算，當然就不能說“乘法是除法的逆運算”了。
不過，在集Ｑ′中，隻滿足（１″）的數狓是存在的，並且這個數狓可以根據乘法“×”由犮與犪得到，即有犮×犪＝狓，因此我們可以說“乘法是除法的右逆運算”。
在集Ｑ′中，隻滿足（２″）的數狓也是存在的，但這個數狓不能根據乘法“×”由犮與犪得到，即犮×犪≠狓，因此我們不能說“乘法是除法的左逆運算”。
由以上分析可知，九年製義務教育教材《代數·第一冊》（上）和《初中代數疑難解析》關於數的逆運算的表述是不恰當的，對此教師必須有判別力。
問題３為什麼要把“０”作為自然數？
數“０”目前已經明確地作為一個自然數。為什麼？有很多的解釋，大部分的解釋是把這看作一個“規定”，就是說可以把“０，１，２，…，狀，…”作為自然數，也可以把“１，２，…，狀，…”作為自然數。顯然，這樣的“解釋”對數學教師來說是不夠的，在這兒談談我們的理解，供同學們參考。
首先，應該從自然數的功能說起，自然數是人類最早用來描述周圍世界“數量關係”的概念，幾乎從一開始就具有三個基本功能：一是幫助人類刻畫某一類“東西”的多少，用現代的數學語言來說就是描述一個有限集合的基數（性質）。
二是刻畫一類“事物”的順序，“第一”，“第二”，……，用現代的數學語言來說，就是描述一個有限集合中元素的“順序”性質。這就是說，自然數既具有用來描述·６·認識“數學教學論”集合（有限）元素多少的基數性質，又具有描述集合元素順序的序數性質。或者可以進一步說，自然數既是基數，又是序數。三是“運算功能”。自然數可以做加法運算和乘法運算。在此基礎上，隨著對運算的深入研究使得我們一步一步地建立起了有理數、實數和它們的運算。
我們知道“空集”是集合中一種最主要、最基本的集合，也是我們在描述周圍現象中經常用到的集合，在數學研究中更是如此。例如，所有不能表示為兩個素數之和的偶數集合是空集嗎？這就是著名的哥德巴赫猜想。一般地說，集合常常被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限元素的集合，像學校中人的集合、學校中男生的集合、學校中女生的集合、學校中老師的集合和學生的集合、某個一元二次方程解的集合等都是有限集合；無限集合是含有的元素不是有限的集合，像自然數集合、有理數集合、實數集合、複數集合等都是無限集合。把“空集”作為一個有限集是很自然的，並且我們很容易理解應該用“０”來描述“空集”中含有元素的多少。
有了前麵這些說明，我們就容易理解這樣一個事實：如果把“０”作為一個自然數，那麼“所有自然數”就可以完整地完成刻畫“有限集合元素多少”的“任務”了，而沒有“０”的“所有自然數”總是有“缺陷”的，因為沒有自然數可以表示“空集”所含元素的多少。這樣，我們從“自然數的一種基本功能”方麵說明了把“０”作為自然數的好處。
我們還必須說明另一個問題：把“０”作為自然數，是否會影響自然數的“序數功能”和“運算功能”？回答是否定的。不僅不會，而且還會使“自然數”的這兩個功能更加“完整”。先看原來沒有“０”的自然數，我們都知道不同自然數有大小之分，８大於５，１０００大於９９９，按這樣的大小，所有自然數構成了一個“有順序”的集合。即若自然數狀１＞狀２，狀２＞狀３，則自然數狀１＞狀３，我們稱之為“傳遞性”。另外，對於任何兩個自然數狀１和狀２，或者狀１＞狀２，或者狀２＞狀１，或者狀１＝狀２，即“三歧性”，一般地說，我們把具有傳遞性和三歧性的集合稱之為線性序集。在這裏我們不想用非常規範的集合論語言敘述這些性質，這樣會增加閱讀上的困難，希望對這部分內容有進一步了解的讀者可以選讀任何一本關於“集合論”的著作，我們很容易理解有理數集、實數集都是線性序集（按照通常的順序），即若有理數（實數）狉１大於有理數（實數）狉２，而狉２大於有理數（實數）狉３，則狉１大於狉３（傳遞性）；另外，對任意兩個有理數（實數）狉１和狉２，則或狉１＞狉２，或狉２＞狉１，或狉１＝狉２（三歧性）。自然數在“順序”方麵的性質，除了上述性質之外，還有一種它所具有的特殊的性質。在陳述這一基本性質之前，有必要說明一點，如前麵所述，“自然數”具有三種基本功能，或說·７·數學教學論導引三種基本性質，我們在有些時候要說明這些性質之間的聯係，但有時候常常單獨地討論一種“功能”的性質，在這種情況下，要學會“排除”其他“功能”的幹擾，這樣才能較好地理解“一種功能”的“本質”，“自然數反映性質的性質”中最基本的性質是“自然數集合的任何一個非空的子集合中，一定有最小的數”。在不包含０的自然數集合中。例如，“所有偶數的集合”中２是最小的；在“既可被５整除又可被７整除的自然數集合”中，３５是最小的，並不是所有有“順序”性質的集合都具有這種“特殊的性質”，例如：無論是有理數，還是實數，都具有“傳遞性”和“三歧性”，但是它們同樣不具有自然數所擁有的那種特殊的性質。例如區間（０，１）是有理數集合或實數集合中的非空子集，然而（０，１）中沒有最小的數存在。