亨利??龐加萊，法國數學家、天體力學家、數學物理學家、科學哲學家，他的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學、天體力學、數學物理、多複變函數論、科學哲學等許多領域。
他被公認是十九世紀後四分之一和二十世紀初的領袖數學家，是對於數學和它的應用具有全麵知識的最後一個人，也被人稱為“最後一位數學全才”。
在他留下的巨大科學遺產中，有一個屬於代數拓撲學中帶有基本意義的命題，這就是困擾了數學家們將近一個世紀的“龐加萊猜想”。
1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學猜想，“單連通的三維閉流形同胚於三維球麵。”也即，在一個閉三維空間，假如每一條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間一定是一個三維的圓球。但在1905年，他發現其中的錯誤，修改為，“任何與n維球麵同倫的n維閉流形必定同胚於n維球麵”。
有人作了這樣一個比喻：一個無孔的橡膠膜相當於拓撲學中的二維閉曲麵，而一個吹漲的氣球則可以視為二維球麵，二者之間的點存在著一一對應的關係，同時橡膠膜上相鄰的點仍是吹漲氣球上相鄰的點，反之亦然。
這就是龐加萊猜想。
後來，這個猜想被推廣至三維以上的空間，也被稱為“高維龐加萊猜想”。
近百年來，無數數學家關注並致力於證明龐加萊猜想。
二十世紀三十年代以前，龐加萊猜想的研究隻有零星幾項。
英國數學家懷特海對這個問題產生了濃厚興趣，他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文，但在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣特例，這些特例也被稱為懷特海流形。
三十年代到六十年代之間，又有一些著名的數學家宣稱解決了龐加萊猜想，著名的賓、哈肯、莫伊澤和帕帕奇拉克普羅斯均在其中。
帕帕是1964年的維布倫獎得主，他以證明了著名的“迪恩引理”而聞名於世，然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻也最終倒在了龐加萊猜想的證明上。
在貝勒屯就流傳著這樣一個傳說，直到去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終前，他將一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友。
然而，這位數學家朋友隻翻了幾頁就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱忍不言。
這一時期，拓撲學家對龐加萊猜想的研究雖沒能產生他們期待的結果，但卻因此發展出了低維拓撲學這門學科。
斯梅爾在六十年代初想到了一個天才的主意：如果三維的龐加萊猜想難以解決，高維的會不會容易些呢？
隨後，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，他也因此獲得1966年菲爾茨獎。
1983年，美國數學家弗裏德曼將證明又向前推動了一步，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得1986年的菲爾茨獎。
雖然這一猜想的高維推論已得到解決，但三維像隻攔路虎一樣趴在最後一關口，向世界上最優秀的拓撲學家發出挑戰。