太陽已落下西邊去，月亮也喚不起的夜裏，在我們眼裏所感著的美覺，不是掛了滿天的星嗎？有閃爍的，有飛舞的，沒有一個人不是用“無數”兩個字來表示它的不能數的多。數學對於這樣人不能數的星，卻用了幾個簡單的式子，就能統括起彼等行動的路來，按著式子就可決定彼等在某時的相關的位置，比用我們的兩眼所看的還正確。
在海王星沒有被發現以前，因研究關於星的擾動，許多天文學家和亞丹模士（Adams）就從數學上決定了它的軌道。當彼行到望遠鏡可以見著的時候，亞丹模士和他的朋友依計算所得的地位將望遠鏡移轉，這從前不曾發見而為數學所已決定的海王星果然無所逃避被他們看見了。
這樣的例證，雖然多，或者都因為是在理科科學上的運用，一般以數學為理科科學的基礎的朋友們當然不否認，別的人難免仍有微辭的。但以數為理科科學的基礎，雖沒有大錯，卻把數學的力量狹看了！
數學在哲學的領域以內占相當的勢力，這是從人類的文化略有基礎的時候就是這樣的。柏拉圖教他的弟子學哲學，要他們先有幾何鍛煉思想。彼塔果拉斯的哲學更和數學分不了家。其實哲學家不受數學洗禮的真是不易被尋出來，讀過哲學史的人對於這話總不至於以為武斷吧？
邏輯可當得哲學的基礎了，數理邏輯(Mathe matical Logic的創興，更使哲學的研究得到了較大的助力，雖然這種的研究才在萌芽時代，但“他可以使我們易於研究比‘言詞的推論所能數出的’更抽象的觀念，他可以指示‘用別的方法想不到’的有效的假定，他可以佐助我們立刻看出一個邏輯的或科學的理論之建築所需要的至少材料是什麼？”也就其功不可沒了。
數學上對於“聯續”和“無限”的研究，得到了美滿的結果以後，哲學上的疑問，有不少的也倚仗而得到解答。數學和哲學在某部分也是難於分出界限來的，因此數學不隻是理科科學的基礎。假使哲學在人的思想界能顯出更大的權威來，數學的功效也就值得稱為偉大了，何況彼所加惠於人的還不止此呢？
以求善為目的的人們很易將數學輕視，有時更以為數學是使人習於深刻的，應當反對。真正的善本沒有深刻與否的問題，後一層沒有答辯的必要。數學是以求真為主的，於善有關係嗎？數學對於人既有絕大的貢獻，本身當然是善的，以數學為基礎的科學，也是以有助於人的幸福為目的，數學也是沒有罪的。至於因科學受了利用而產生不少的罪惡——機械供資本家使用而使一般操手工業的，不能不忍辱含垢地到工廠裏去討苦痛生活，軍國主義者利用科學，製造殺人的猛烈的器具——這不是科學的罪惡，更不是為科學的基礎的數學罪惡。
“善”不是在別是非嗎？“善”不是要尋求道德的真正的意義嗎？這樣的企圖要滿足，恐怕不能不借助數學吧？
很容易表現和數學衝突，或無關係的，要算藝術了。
自然藝術是從情感發出的，但純粹不多少加入點理智的成分的情感，人也是不容易有的吧？“真”和“美”也不是可以絕對分開的啊！秩序啦，和諧啦，不是美的必要的條件嗎？音階的組成，不也要賴數學來將各音的振動的關係表明嗎？一張畫上各種物件的關係位置，各部分的大、小、長、短不也是數學所支配著的嗎？
數學本身也能將美貢獻於人的。我們和外界接觸的時候，森羅萬象，倘若在心理不能有相當整理，弄得秩然有序，自然界的可憎，恐怕要使人不可一朝居了！這種綜合的能力，從數學發生出來的比較簡要確實，非別的所能比擬的。就是表現一種圓形的變化，也以數學為簡單明了。
數中間的神妙變化，給以人的美感也是不可解說的啊！從一到無窮的整數中，整數是無窮的，從一到二間的數也是無窮的，從一到二分之一，或二十分之一，二百分之二……以至以二萬萬……分之一間的數仍然也是無窮的，這樣的想象果然隻能使人們感著枯燥沒有一點美感嗎？崇高和偉大也是興起美感的，使我們感著大而又大，大之外還有大，無論如何可以超出我們的想象力以外，這樣的美感從什麼地方還可得著呢？大，大至無窮；小，小至無窮；變幻，變幻至無窮。極紛繁的、不可計的，可以合綜到極單簡，極單簡的可以推演到無量數，這樣的、能動的、內心的美感不值得讚頌嗎？