證歸納變元n為每堆棋子的數目。設甲為先取者，乙為後取者。
奠基n=1，易證乙必勝。
歸納設n≤k時，乙必勝。現證n=k+1時也是乙必勝。
設甲在某堆中先取r顆，0＜r≤k，乙的對策是在另一堆中也取r顆。有二種可能：
(1)若r＜k，經過兩人各取一次之後，兩堆都隻有k-r顆，k-r＜k，現在又輪到甲先取，依歸納假設，乙必勝。
(2)若r=k；顯然是乙勝。證畢。
上述兩種形式的歸納法雖然比較簡單，但如使用不當，往往會發生錯誤。有兩點應注意。第一，在使用歸納假設時防止無形中引入不相幹的假設。第二，在證明過程中應注意數學規律的正確性。下麵我們引入1個反例，在這一個反例中，由於錯誤的證明導致證得了錯誤的待證命題。
反例：證明任意n條直線均能重合成一條直線。
下麵給出錯誤的證明：
證奠基n=1時該命題成立
歸納利用強歸納法，可以有如下的歸納假設：任意1條，2條，3條，…，k條直線均重合成一條直線，要證k+1條直線也重合成一條直線。設這k+1條直線為為L1、L2，…，Lk、Lk+1。由強歸納假設得L1，…，Lk重合為一條直線，記為L。又由強歸納假設得L和Lk+1這兩條直線重合為一條直線。於是任意n條直線便重合為一條直線了。
細心的讀者也許已經發現這裏的錯誤了，這是由於錯誤地使用了強歸納假設而造成的，具體地說就是“L和Lk+1這兩條直線重合為一條直線”這一點把強歸納假設使用錯了。強歸納假設中並沒有包含這一條件，因為我們這裏奠的基是n=1，因此待證命題“k+1條直線重合為一條直線”要求對於一切大於等於1的k成立，而上麵證明中所假設的L和Lk+1重合為一條直線實際上是要求k≥2。這就是錯誤的所在。
3、參變歸納法
在待證命題中含有參數的時候，例如P(u，n)，則用數學歸納法證明P(u，n)對一切n成立時，在奠基步中，應證P(u，0)對一切u成立。在歸納步中，假設P(u，k)對一切u成立，證明P(u，k+1)對一切u成立。這裏，“P(u，k)”對一切u成立稱之為參變歸納假設，這種證明方法叫參變歸納法，u起著參數的作用。
例：求證n≥3時有n0+1≥(n+1)2
本題證明的困難主要在於歸納步，無論采用哪種歸納假設，都難於證明。如果我們對該待證命題施展一定的技巧，把該式中的部分n寫成u(視作參數)，部分n保持不變，即寫成
nun≥(u+1)1
則可用參變歸納法證明當u≥n≥3時上式成立，原命題即可得證。
奠基n=3時，對u≥3的一切u均有
左端=3u3=u3+u·u2+u2u≥u3+3u2+9u＞u3+3u2+3u+1=(u+1)3=右端。
歸納n=k+1時
左端=(k+1)uk+1=u(k+1)·uk
=(uk+u)uk≥(uk+k)uk=k(u+1)·uk≥(n+1)(u+1)k
=(u+1)k+1=右端
所以當u≥n≥3時，有unn≥(u+1)n
令u=n，上式便為nn+1≥(nn+1)n，即為原不等式，故原式得證。
值得指出的是，上麵三種形式的數學歸納法，都要求待證命題含有自然數變元n，對n施行歸納，n稱為歸納變元。但是在數學的一些分支中，有些待證命題表麵上看來似乎不含自然數變元n，但仔細一分析，實際上是含有自然數變元的，當我們一旦把n的含義明確以後，用數學歸納法去證明這些待命題就迎刃而解了。舉一個簡單的例子。