劉徽是中國數學史上最偉大的數學家，他的傑作《九章算術注》和《海島算經》是中國最可寶貴的數學遺產，也是世界數學史不可多得的重要典籍。劉徽以其傑出的數學思想和創造性的數學成劉徽就，豐富了中國數學的內容，從而使他成為中國古代數學理論的主要奠基者。
劉徽的數學思想
《九章算術注》中劉徽自序說：“徽幼習九章，長更詳覽。觀陰陽之割裂，總算之根源，探頤之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦者，知發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方。至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也，當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。”
我們所以要將劉徽《九章算術注》自序中的這一大段168個漢字抄錄下來，是因為再沒有比這段文字更能表達劉徽的數學思想了。這168個漢字清楚地表達了劉徽學習數學的過程；對數學的總體看法；研究數學所應采取的方法；對數學本質的認識；數學知識來源；以及劉徽那時候的數學研究狀況。整段敘述毫無遮遮蓋蓋、故弄玄虛之處。反映了劉徽對中國古代數學的透徹理解，以及研究數學所采取的正確方法。
劉徽認為數學不是幹巴巴的教條，也不是雜亂無章沒有聯係的各類事物的堆積，而是“事類相推，各有攸（所）歸”，“枝條雖分而同本榦（幹）”，數學充滿著聯係，更有著聯係的規律。這種聯係和規律就是數學的本質，抓住了這個本質，也就能“知發其一端而已”。關於數學的作用，劉徽也持有正確的認識。他認為數學“雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方”，把數學作為認識事物的有效工具。這種認識比他後來的數學家要先進得多，如《孫子算經》序言中說：“夫算者，天地之經緯，群生之元首，五常之本末，陰陽之父母，星辰之建號，三光之表裏，五行之準平，四時之終始，萬物之祖宗，六藝之綱紀。”簡直把數學看成從精神到物質的一切事物的本質，陷入了唯心主義的泥坑。
劉徽不僅在他的自序中表達了他的數學思想，而且將這種思想具體地貫徹在他的數學研究中，作出了許多卓越的成就。
劉徽的數學成就
劉徽的數學成就極其豐富，歸納起來集中在三個方麵：把《九章算術》中各個孤立的算法加以整理，並給予理論闡發；在修正和證明《九章算術》中的方法的同時，創立新的方法，表達新的思想；獨立著書立說，創造係統的重差理論。下麵，我們就這三個方麵概括介紹劉徽的數學成就。
1.整理和闡發
劉徽主張“事類相推各有攸歸。”《九章算術》中的方法甚多而且分散，但不少方法出自同一個思想係統，適當加以整理和闡發勢必能實現理論上的升華，提高《九章算術》的學術水平。為此劉徽著重對齊同術、今有術、割補術、棋驗術等四種數學方法進行了理論重建。
齊同術 原先是一種通分的方法。因為通分運算包括“齊”與“同”兩個方麵：先求公分母，所謂同然後分子與分母擴大相同的倍數，所謂齊。如劉徽所說的“凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。”母同子齊，分數才能相加。然後，劉徽認為齊同術的本質不是通分，而是一種“不失本率”的變形規則。率是中國古代數學中的一個十分重要的核心概念。劉徽給“率”下定義說“凡數相與者謂之率。”當若幹個數發生了相與關係的時候也就產生了率。“相與”，相關、相聯的意思。例如，分子分母相與，就產生了一個率，即分數。采用齊同術，分子與分母擴大了相同的倍數，數變了，但本率不變，所以它是一種“不失本率”的變形。
劉徽正是看到了齊同術的這一本質特征，從而賦予了它更普遍的意義，使它成為中國古代數學中處理算率問題，如分數通分、比率算法、盈不足術和“方程術”等的理論基礎，用於解釋這類算法的合理性。
譬如劉徽在解釋用直除法解“方程”其合理性時，就明確地指出，將某行乘以一個數後去減另一行的先“偏乘”後“直除”的做法，其合理性就在於“齊同之意”。例如，《九章算術》方程第7題：“今有牛五，羊二，值金十兩。牛二、羊五，值金八兩。問牛羊各值金幾何？”按“方程術”，列出“方程”如下：
為先消去（b）行中的第一個數，劉徽采用了（b）×5-（a）×2的做法。劉徽說，這個做法的依據就是“齊同術”，因為“方程”的每行仍是一組率，采取（b）×5和（a）×2的運算是為了求同（10）而使率齊，因此方程術中的“偏乘直除”與“互乘相消”就是率的“齊同”。“互乘相消”法是劉徽根據齊同的原則創造的，它比“偏乘直除”更體現“齊同之意”。
按劉徽的解釋“……因物成率，審辨名分，平其偏頗，齊其參差，則終無不歸於此術也。”因為數相與總成率，所以隻要找出問題中各數的比率關係，分清其中的所有數，所求率和所有率，並在各數之間參差不齊和偏頗不平的時候，先用“齊同以通之”，那麼沒有一個問題不可以用它來解決。