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龐加萊猜想
龐加萊是在1904年發表的一組論文中提出這一猜想的：“單連通的三維閉流形同胚於三維球麵。”它後來被推廣為：“任何與n維球麵同倫的n維閉流形必定同胚於n維球麵。”我們不妨借助二維的例子做一個粗淺的比喻：一個無孔的橡膠膜相當於拓撲學中的二維閉曲麵，而一個吹脹的氣球則可以視為二維球麵，二者之間的點存在著一一對應的關係，同時橡膠膜上相鄰的點仍是吹脹氣球上相鄰的點，反之亦然。
1885年，瑞典國王奧斯卡二世設立“n體問題”獎，引起龐加萊研究天體力學問題的興趣。他以關於當三體中的兩個的質量比另一個小得多時的三體問題的周期解的論文獲獎，還證明了這種限製性三體問題的周期解的數目同連續統的勢一樣大。這以後，他又進行了大量天體力學研究，引進了漸進展開的方法，得出嚴格的天體力學計算技術。
龐加萊還開創了動力係統理論，1895年證明了“龐加萊回歸定理”。他在天體力學方麵的另一重要結果是，在引力作用下，轉動流體的形狀除了已知的旋轉橢球體、不等軸橢球體和環狀體外，還有三種龐加萊梨形體存在。
龐加萊對數學物理和偏微分方程也有貢獻。他用括去法證明了狄利克雷問題解的存在性，這一方法後來促使位勢論有新發展。他還研究拉
普拉斯算子的特征值問題，給出了特征值和特征函數存在性的嚴格證明。他在積分方程中引進複參數方法，促進了弗雷德霍姆理論的發展。
龐加萊對現代數學最重要的影響是創立組合拓撲學。1892年他發表了第一篇論文，1895-1904年，他在六篇論文中建立了組合拓撲學。他還引進貝蒂數、撓係數和基本群等重要概念，創造流形的三角剖分、單純複合形、重心重分、對偶複合形、複合形的關聯係數矩陣等工具，借助它們推廣歐拉多麵體定理成為歐拉—龐加萊公式，並證明流形的同調對偶定理。
龐加萊的思想預示了德·拉姆定理和霍奇理論。他還提出龐加萊猜想，在“龐加萊的最後定理”中，他把限製性三體問題的周期解的存在問題，歸結為滿足某種條件的平麵連續變換不動點的存在問題。
龐加萊在數論和代數學方麵的工作不多，但很有影響。他的《有理數域上的代數幾何學》一書開創了丟番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數，成為丟番圖幾何的重要研究對象。他在代數學中引進群代數並證明其分解定理。第一次引進代數中的左理想和右理想的概念。證明了李代數第三基本定理及坎貝爾—豪斯多夫公式。還引進李代數的包絡代數，並對其基加以描述，證明了龐加萊—伯克霍夫—維特定理。
——傳世佳言——
我們靠邏輯來證明，但要靠直覺來發明。
龐加萊對經典物理學有深入而廣泛的研究，對狹義相對論的創立有貢獻。他從1899年開始研究電子理論，首先認識到洛倫茨變換構成群。
龐加萊的哲學著作《科學與假設》、《科學的價值》、《科學與方法》也有著重大的影響。他是約定主義的代表人物，認為科學公理是方便的定義或約定，可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據，避開一切矛盾。在數學上，他不同意羅素、希爾伯特的觀點，反對無窮集合的概念，讚成潛在的無窮，認為數學最基本的直觀概念是自然數，反對把自然數歸結為集合論。這使他成為直覺主義的先驅者之一。
1905年，匈牙利科學院頒發一項獎金為10000金克朗的鮑爾約獎。這個獎是要獎給在過去25年為數學發展做出過最大貢獻的數學家。由於龐加萊從1879年就開始從事數學研究，並在數學的幾乎整個領域都做出了傑出貢獻，因而此項獎又非他莫屬。
1906年，龐加萊當選為巴黎科學院主席；1908年，他被選為法國科學院院士，這是一位法國科學家所能達到的最高地位。1908年龐加萊因前列腺增大而未能前往羅馬，雖經意大利外科醫生做了手術，使他能繼續如前一樣精力充沛地工作，但好景不長。
1912年春天，龐加萊再次病倒了，7月9日做了第二次手術；7月l7日在穿衣服時，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，終年僅58歲!