(2)證明了費馬關於多角形數的猜測，即任何正整數是個角形數的和。這一猜測當時已提出了一百多年，經過許多數學家研究，都沒有能夠解決。
以上兩項研究是柯西在瑟堡時開始進行的。
(3)用複變函數的積分計算實積分，這是複變函數論中柯西積分定理的出發點。
(4)研究液體表麵波的傳播問題，得到流體力學中的一些經典結果，於1815年獲得法國科學院數學大獎。
以上突出成果的發表給柯西帶來了很高的聲譽，他成為當時一位國際上著名的青年數學家。
1815年法國拿破侖失敗，波旁王朝複辟，路易十八當上了法王。柯西於1816年先後被任命為法國科學院院士和綜合工科學校教授。1821年又被任命為巴黎大學力學教授，還曾在法蘭西學院授課。這一時期他的主要貢獻是：
(1)在綜合工科學校講授分析課程，建立了微積分的基礎極限理論，還闡明了極限理論。在此以前，微積分和級數的概念是模糊不清的。由於柯西的講法與傳統方式不同，當時學校師生對他提出了許多非議。
柯西在這一時期出版的著作有《代數分析教程》、《無窮小分析教程概要》和《微積分在幾何中應用教程》。這些工作為微積分奠定了基礎，促進了數學的發展，成為數學教程的典範。
(2)柯西在擔任巴黎大學力學教授後，重新研究連續介質力學。在1822年的一篇論文中，他建立了彈性理論的基礎。
(3)繼續研究複平麵上的積分及留數計算，並應用有關結果研究數學物理中的偏微分方程等。
他的大量論文分別在法國科學院論文集和他自己編寫的期刊“數學習題”上發表。
1830年法國爆發了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十倉皇逃走，奧爾良公爵路易·菲利浦繼任法王。當時規定在法國擔任公職必須宣誓對新法王效忠，由於柯西屬於擁護波旁王朝的正統派，他拒絕宣誓效忠，並自行離開法國。他先到瑞士，後於1832-1833年任意大利都靈大學數學物理教授，並參加當地科學院的學術活動。那時他研究了複變函數的級數展開和微分方程(強級數法)，並為此做出重要貢獻。
1833-1838年柯西先在布拉格、後在戈爾茲擔任波旁王朝“王儲”波爾多公爵的教師，最後被授予“男爵”封號。在此期間，他的研究工作進行得較少。
1838年柯西回到巴黎。由於他沒有宣誓對法王效忠，隻能參加科學院的學術活動，不能擔任教學工作。他在創辦不久的法國科學院報告“和他自己編寫的期刊分析及數學物理習題”上發表了關於複變函數、天體力學、彈性力學等方麵的大批重要論文。
——傳世佳言——
人總是要死的，但是，他們的業績永存。
1848年法國又爆發了革命，路易·菲利浦倒台，重新建立了共和國，廢除了公職人員對法王效忠的宣誓。柯西於1848年擔任了巴黎大學數理天文學教授，重新進行他在法國高等學校中斷了18年的教學工作。
1852年拿破侖第三發動政變，法國從共和國變成了帝國，恢複了公職人員對新政權的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大學辭職。後來拿破侖第三特準免除他和物理學家阿拉果的忠誠宣誓。於是柯西得以繼續進行所擔任的教學工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世時為止。柯西直到逝世前仍不斷參加學術活動，不斷發表科學論文。