19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。
第三次數學危機
數學基礎的第三次危機是由1897年的突然衝擊而出現的，從整體上看到現在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論已經成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。
1897年，福爾蒂揭示了集合論的第一個悖論；兩年後，康托發現了很相似的悖論，它們涉及到集合論中的結果。1902年，羅素發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。
羅素，英國人，哲學家、邏輯學家、數學家。1902年著述《數學原理》，繼而與懷德海合著《數學原理》（1910年-1913年），把數學歸納為一個公理體係，是劃時代的著作之一。他在很多領域都有大量著作，並於1950年獲得諾貝爾文學獎。他關心社會現象，參加和平運動，開辦學校。1968-1969年出版了他的自傳。
羅素悖論曾被以多種形式通俗化，其中最著名的是羅素於1919年給出的，它講的是某村理發師的困境。理發師宣布了這樣一條原則：他隻給不自己刮胡子的人刮胡子。當人們試圖答複下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質：“理發師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那麼他就不符合他的原則；如果他不給自己刮胡子，那麼他按原則就該為自己刮胡子。
羅素悖論使整個數學大廈動搖了，無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷本末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了。當本書等待付印的時候，羅素先生的一封信把我就置於這種境地”。狄德金原來打算把《連續性及無理數》第3版付印，這時也把稿件抽了回來。發現拓撲學中“不動點原理”的布勞恩也認為自己過去做的工作都是“廢話”，聲稱要放棄不動點原理。
自從在康托的集合論和發現上述矛盾之後，還產生了許多附加的悖論。集合論的現代悖論與邏輯的幾個古代悖論有關係。例如公元前四世紀的歐伯利得悖論：“我現在正在做的這個陳述是假的”。如果這個陳述是真的，則它是假的；然而，如果這個陳述是假的，則它又是真的了。於是，這個陳述既不能是真的，又不能是假的，怎麼也逃避不了矛盾。更早的還有埃皮門尼德（公元前6世紀，克利特人）悖論：“克利特人總是說謊的人”。隻要簡單分析一下，就能看出這句話也是自相矛盾的。
集合論中悖論的存在，明確地表示某些地方出了毛病。自從發現它們之後，人們發表了大量關於這個課題的文章，並且為解決它們作過大量的嚐試。就數學而論，看來有一條容易的出路：人們隻要把集合論建立在公理化的基礎上，加以充分限製以排除所知道的矛盾。
第一次這樣的嚐試是策梅羅於1908年做出的，以後還有多人進行了加工。但是，此程序曾受到批評，因為它隻是避開了某些悖論，而未能說明這些悖論；此外，它不能保證將來不出現別種悖論。
另一種程序既能解釋又能排除已知悖論。如果仔細地檢查就會發現：上麵的每一個悖論都涉及一個集合S和S的一個成員M（即M是靠S定義的）。這樣的一個定義被稱作是“非斷言的”，而非斷言的定義在某種意義上是循環的。例如，考慮羅素的理發師悖論：用M表示理發師，用S表示所有成員的集合，則M被非斷言地定義為“S的給並且隻給不自己刮胡子人中刮胡子的那個成員”。此定義的循環的性質是顯然的——理發師的定義涉及所有的成員，並且理發師本身就是這裏的成員。因此，不允許有非斷言的定義便可能是一種解決集合論的已知悖論的辦法。然而，對這種解決辦法，有一個嚴重的責難，即包括非斷言定義的那幾部分數學是數學家很不願丟棄的，例如定理“每一個具有上界的實數非空集合有最小上界（上確界）”。
解決集合論的悖論的其他嚐試，是從邏輯上去找問題的症結，這帶來了邏輯基礎的全麵研究。