從1900年到1930年左右，數學的危機使許多數學家卷入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數學的根本，因此必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這場大辯論中，原來不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論。以羅素為代表的邏輯主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數學哲學學派應運而生。它們都是唯心主義學派，它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。他們在爭論中盡管言語尖刻，好像勢不兩立，其實各自的觀點都吸收了對方的看法而又有很多變化。
1931年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點，哲學的爭論黯淡了下來。此後，各派力量沿著自己的道路發展演化。盡管爭論的問題遠未解決，但大部分數學家並不大關心哲學問題。直到近年，數學哲學問題才又激起人們的興趣。
承認無窮集合、承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論中一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次數學危機表麵上解決了，實質上更深刻地以其他形式延續著。
數學中的矛盾既然是固有的，它的激烈衝突——危機就不可避免。危機的解決給數學帶來了許多新認識、新內容，有時也帶來了革命性的變化。把20世紀的數學同以前全部數學相比，內容要豐富得多，認識要深入得多。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論，數理邏輯也興旺發達成為數學有機體的一部分。古代的代數幾何、微分幾何、複分析現在已經推廣到高維。代數數論的麵貌也多次改變，變得越來越優美、完整。一係列經典問題圓滿地得到解決，同時又產生更多的新問題。特別是二次大戰之後，新成果層出不窮，從未間斷。數學呈現無比興旺發達的景象，而這正是人們同數學中的矛盾、危機鬥爭的產物。
數學是研究現實世界中數量關係和空間形式的科學。簡單地說，就是研究數和形的科學。
由於生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數，並由用手指或實物計數發展到用數字計數。在中國，最遲在商代，即已出現用十進製數字表示大數的方法；至秦漢之際，即已出現完滿的十進位製。在不晚於公元一世紀的《九章算術》中，已記載了隻有位值製才有可能進行的開平方、開立方的計算法則，並載有分數的各種運算以及解線性聯立方程組的方法，還引入了負數概念。
劉徽在他注解的《九章算術》中，還提出過用十進製小數表示無理數平方根的奇零部分，但直至唐宋時期（歐洲則在16世紀斯蒂文以後）十進製小數才獲通用。在這本著作中，劉徽又用圓內接正多邊形的周長逼近圓周長，成為後世求圓周率的一般方法。
雖然中國從來沒有過無理數或實數的一般概念，但在實質上，那時中國已完成了實數係統的一切運算法則與方法，這不僅在應用上不可缺，也為數學初期教育所不可少。至於繼承了巴比倫、埃及、希臘文化的歐洲地區，則偏重於數的性質及這些性質間的邏輯關係的研究。
早在歐幾裏得的《幾何原本》中，即有素數的概念和素數個數無窮及整數唯一分解等論斷。古希臘發現了有非分數的數，即現稱的無理數。16世紀以來，由於解高次方程又出現了複數。在近代，數的概念更進一步抽象化，並依據數的不同運算規律，對一般的數係統進行了獨立的理論探討，形成數學中的若幹不同分支。
開平方和開立方是解最簡單的高次方程所必須用到的運算。在《九章算術》中，已出現解某種特殊形式的二次方程。發展至宋元時代，引進了“天元”（即未知數）的明確觀念，出現了求高次方程數值解與求多至四個未知數的高次代數聯立方程組的解的方法，通稱為天元術與四元術。與之相伴出現的多項式的表達、運算法則以及消去方法，已接近於近世的代數學。
在中國以外，9世紀阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數學的鼻祖，其解法實質上與中國古代依賴於切割術的幾何方法具有同一風格。中國古代數學致力於方程的具體求解，而源於古希臘、埃及傳統的歐洲數學則不同，一般致力於探究方程解的性質。
16世紀時，韋達以文字代替方程係數，引入了代數的符號演算。對代數方程解的性質進行探討，是從線性方程組引出的行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現；從代數方程導致複數、對稱函數等概念的引入以至伽羅華理論與群論的創立。而近代極為活躍的代數幾何，則無非是高次聯立代數方程組解所構成的集合的理論研究。